Définition. — Soit

(l) /(37, JK, 5, «) = 0

l'équalion d'une surface dépendant d'un paramètre arbitraire a. Les surfaces correspondant à deux valeurs infiniment voisines a et a-\-1i du paramètre déterminent une courbe définie par les deux équations

f{x,y,z,a)^o, f{x, y, z, a-^rh)=o,

OU encore par

La couibe d'intersection a donc pour limite, quand h tend vers zéro, la courbe définie par les deux équations

(2) /{x,y,z,a) = o, fa{x,y,z,a) = o.

Cette courbe se nomme une caractéristique. On nomme enveloppe de la famille de surfaces définies par l'équation (i) le lieu de

ses caractéristiques. L'équation de l'enveloppe s'obtient donc en éliminant a entre les équations (2).

Chacune des surfaces de la famille (i) se nomme une enveloppée.

La propriété suivante justifie ces dénominations.

194. En tous les points d'une caractéristique V enveloppe est tangente à l'enveloppée correspondante .

Considérons, en effet, un point M(^, j-, ^) appartenant à la caractéristique qui correspond à une valeur déterminée «o du paramètre, et dont les équations sont, par suite,

f{x,y,z,ao) = o, J'aS^, y, z, a^) = o.

Si l'on regarde x, y comme des fonctions de z et de a définies par les équations (2), ces deux équations définissent l'enveloppe F. Les équations de la tangente en M à une courbe tracée sur F étant

dx dy dz

dx^ dy., dz vérifient l'équation

~ dx -^ ^ dy -^ ■— dz -h -f- da = o, ox oy dz oa

OÙ a = «0 5 ou, plus simplement, en vertu de la seconde des équations (2),

-^ dx -^ ~ dy -^ -^ dz = o, dx dy -^ dz

ce qui prouve que toutes les tangentes de M à l'enveloppe sont dans le plan représenté par l'équation

c'est-à-dire, puisqu'on suppose « = «oj dans le plan tangent en M à l'enveloppée qui a pour équation

f{x,y,z,aQ) = o;

ce qui démontre la proposition.

195. Mais les enveloppes que nous venons de considérer ne sont

pas les seules. On peul, en elïet, considérer des enveloppes de surfaces dépendant de deux paramètres arbitraires. EflTcclivement, soit

une équation dans laquelle a ci b désignent deux paramètres variables.

Attribuons à a et Z> des accroissemenls arbitraires infiniment petits h, k, et considérons la surface infiniment voisine de la première et ayant pour équation

(4) f{T,y,:i,a-hh,b + k) = o.

La courbe d'intersection peut être considérée comme définie par le système formé par l'équation (3) et par celle-ci

fi^,y,^, «~/i, h + k) —f{T, y, s, a, b) = o,

qu'on peut écrire

hf;,{x,y,z,a-^^h,b-i-^k)-\-kf,,(x.y,z,a-hOh,b-i ()k) (o<0<i.)

Si l'on suppose que ^ ait une limite \ la courbe d'intersection a pour limite la courbe définie par les deux équations

/{x,y,z,a, b) = o, fa(^,.r,^, a, b ) -^ !/'/,( x, j, z,a, b) = o.

Mais, quelle que soit la valeur arbitraire A, les points dont les coordonnées sont déterminées par les trois équations

sont sur cette courbe. On appelle encore enveloppe le lieu de ces points, qui ont reçu le nom de points caractéristiques.

196. En chacun des points caractéristiques Vemeloppe est tangente à V enveloppée.

Les équations (5) peuvent être regardées comme définissant a:, y, z en fonction de a et b. Soient x, y, z les coordonnées d'un point M de l'enveloppe, correspondant à des valeurs «„, b^ des para- NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. la

mètres; la tangente en M à une courbe quelconque tracée sur cette enveloppe est définie, comme plus haut, par les équations

dx dy dz

les différentielles dx, dy, dz devant vérifier l'équation

dx dy '' dz da db

OÙ « = «Q, b = b^. Mais on suppose y- == o, -jj =: o; on voit donc, comme dans le cas d'un seul paramètre, que chacune des tangentes considérées est dans le plan

c'est-à-dire dans le plan tangent en M à l'enveloppée («„, 6„).

Exemples.