Soit

ux -\- vy -^ ivz -+-/-; = o

l'équation d'un plan; si u, v, w, r sont des fonctions d'un seul paramètre, l'enveloppe de ce plan sera une surface réglée, puisque les caractéristiques sont des droites. En outre, le plan langent à l'enveloppe sera le même en tous les points d'une caractéristique «oj car ce plan sera évidemment celui des plans considérés qui correspond à la valeur «o du paramètre; en d'autres termes, l'enveloppe est une surface développable. Les équations d'une génératrice sont donc

iix -\- vy -\- wz -^ r = 0, u' x -+- v' y ■+- w' z + /-' = o,

où u' , v' , w\ r' désignent les dérivées de u, v, w, r prises par rapport à a.

On peut se proposer de trouver Varête de rebroussement. Pour cela, si nous considérons un point M de la génératrice, dont les coordonnées a?, y soient des fonctions de z et du paramètre a, quand on passe d'une génératrice à la génératrice infiniment voisine, le point M prend une nouvelle position M' et, si M appartient à l'arête de rebroussement, la droite MM' a pour limite la génératrice elle-même. Or les paramètres directeurs de MM' ont pour limites les différentielles dx, dy, dz définies parles deux équations

u dx -f- V dy -\- w dz -\- { u' x -f- v' y -\- w' z -\- /•' ) da = o, u' dx -+- i>' dy -{- w' dz -\- { u" x -+- v" y -\- w" z -\- r" ) da — o.

Le coefficient de da est nul dans la première équation; or, il faut que dx,

KNVELOPPES. 179

clf, ds soient proportionnels à vw' — wv', wii' — uw' , iw' — vu'; donc on

doit avoir

Cette équation, jointe à celles de la génératrice, achève de déterminer l'arête de rebroussement ; on peut, en effet, tirer des trois équations obtenues x,y, z en fonction du paramètre a.

Ainsi, l'enveloppe d'un plan mobile, dont l'équation ne dépend que d'un seul paramètre, est une surface réglée, lieu des tangentes à une courbe gauche. On peut démontrer que, réciproquement, une pareille surface réglée est l'enveloppe d'un plan mobile.

En effet, le plan tangent en un point d'une génératrice rectiligne est le même tout le long de cette génératrice et coïncide avec le plan osculateur au point de contact de cette génératrice avec la courbe gauche donnée; il en résulte que la limite de l'intersection des plans tangents, le long de deux génératrices infiniment voisines, est la limite de l'intersection de deux, plans osculateurs en des points infiniment voisins de la courbe gauche donnée; or on démontre facilement que cette limite n'est autre que la tangente à la courbe gauche, c'est-à-dire précisément la première génératrice considérée. L'enveloppe des plans tangents est le lieu de ces génératrices; c'est-à-dire la surface considérée elle-même.

D'ailleurs, pour faire comprendre la proposition relative aux plans osculateurs sur laquelle nous venons de nous appuyer, il suffit de remarquer que, si Mj, M2, IM3, iMv sont quatre points infiniment voisins d'une courbe gauche, les plans M1M2M3 et M.2iM3M; ont pour intersection la ligne M2M3et, en général, celte ligne a pour limite la tangente en M. En tout cas, la démonstration par le calcul n'offre aucune difficulté.

198. Si x^ y, z sont les coordonnées d'un point d'une surface, on peut regarder z comme fonction de a? et de /; si l'on pose

dz__ dz ^ . ^^^ d'^z

di~P' dy~'^' ôx^ ~ '"' d^oj ~ *' d]^ ~ ''

une surface développable sera caractérisée par l'équation

ri — s"^ — o.

C'est ce qu'il est aisé de prouver. Remarquons d'abord que, si l'on se déplace sur une génératrice quelconque d'une surface développable, p cl q demeurent constants; on peut déjà en conclure que q est une fonction de /?; mais nous allons établir directement cette proposition. Les coordonnées d'un point d'une surface développable peuvent se mettre sous la forme

x — az -^ et, y = bz -\-'^,

où «, b, a, [î sont fonctions d'un paramètre u, vérifiant la condition (186)

l8o CHAPITRE X.

On peut dire que les équations précédentes définissent z et u comme fonctions de 37 et de j'; par conséquent, en prenant les dérivées par rapport à x et y successivement, on obtient

, , ,, du , , ,^ du

i = ap-\-{az-i-ix)-j-) o=aq-\-{az-\-ix)-y-,

,.. . du du

et, par conséquent, en éliminant — et -r— ,

ap — I aq a'z -+- a'

bp bq — I 6 -S -t- ji'

Mais la condition a'P' — 6'a' = o montre que le dernier rapport est indépendant de z\ donc

ap — \ aq a'

bp bq — 1 P'

et, par suite, en éliminant u entre ces deux équations, on arrivera à upe relation entre/? et q. Or, si l'on suppose q — fip), on en tire

^ = f'(p\ ^, dx ^ ^^ ' ôx''

dq r, . ^ àp

d'où il résulte que le déterminant des dérivées partielles de p et q, c'està-dire rt — 5^, est nul.

199. Réciproquement, si rt — 5^ = 0, q est une fonction de p. En effet, soient p = ¥ (x,y), q = Fi (x,y) ; en éliminant y, on aura une relation entre p, q et X qu'on peut écrire ainsi

g =fip, ^), et d'où l'on tire

dq^ ^à£dp^^dj^ dq ^ df dp ^

dx dp dx • dx dy ôp dy'

mais, par hypothèse, les dérivées de /> sont proportionnelles à celles de q\

donc J- ■=■ o, et, par suite, /(/», x) est indépendant de x. On peut donc po-

ox ser q =f{p). L'équation du plan tangent au point (x, y, z) de la surface

considérée étant

nous pouvons écrire

Z =pX -h qY -\- z — px — qy.

Mais, si q =f(p), je dis que z —px — qy est aussi une fonction de/); en

elTet, si l'on pose on a

de sorte que

V = px -\- qy — z

dv dv

^^^rx + sy, -=sx + ty-

àv dv

<)y ôx ''

Les dérivées de v étant proportionnelles à celles de />, v est une fonction de/?. D'après cela, l'équation du plan tangent peut s'écrire

Z=y,X+/(/?)Y-Ho(/>):

l'enveloppe de ce plan est une surface développable.

200. Lorsque rt — s^ jzé o, l'équation du plan tangent renferme deux paramètres et, si l'on met cette équation sous la forme générale

ux -^ vy -\- w z -h /i = o,

la surface enveloppe pourra être considérée comme définie par cette équation jointe aux équations

du dv dw dh du dv dw dh

da "^ da da da db -^ db db db

Mais il n'est pas inutile d'ajouter que toute surface peut être considérée comme étant l'enveloppe de ses plans tangents; la proposition a déjà été établie dans le cas des surfaces développables. En prenant comme variables indépendantes x et ^, le plan tangent ayant pour équation

nous devons égaler à zéro le-s dérivées du premier membre par rapport à x et /, ce qui donne, tout calcul fait,

Si l'on suppose rt — s^^ o, on a donc bien X = a:, Y =^y et par suite Z = s, X, Y, Z désignant un point de l'enveloppe, ce qui prouve que l'enveloppe est le lieu des points de contact.

On voit ainsi que tout plan tangent à une surface non développable ne peut toucher la surface qu'en un nombre limité de points. Dans le cas du second degré, un plan tangent coupe la surface suivant deux droites, il est vrai, mais il n'est tangent qu'au point de rencontre de ces deux droites.

201. Cas de plusieurs paramètres liés par des équations données. — Soit à trouver l'enveloppe des surfaces définies par l'équation

f{^, Ji -> «i> «2, ..., a„) = o,

les paramètres étant assujettis an — t équations de condition :

?/;(«!, «2, • • -, an) — O,

oùp=^i, 2, ..., n — I. On obtiendra dans ce cas l'enveloppe en procédant comme en Géométrie plane, c'est-à-dire en adjoignant aux n équations données l'équation qu'on obtient en égalant à zéro le déterminant formé, avec les dérivées prises par rapport aux paramètres, des n fonctionsy, «fi, ^z, ..., cp,;. Supposons maintenant que les n paramètres ne soient assujettis qu'à n — 2 équations de condition. Pour simplifier, considérons trois paramètres liés par une équation, et soit proposé de trouver l'enveloppe de la surface ayant

pour équation

sachant que

cf(rt, b, c) =o.

Traitons c comme une fonction de a et de 6; on doit poser

df df de da de da

àf df de

àb àe db

Mais

()© d<Sj de

da de da '

à'9 àd^ de

db '^ àS db ~ ^'

d'où l'on tire

da dcp d^

àf àb dcp db

àf de àdji àc

On écrira donc que les dérivées de la fonction / par rapport aux paramètres a, b, c sont proportionnelles aux dérivées de cp par rapport aux mêmes paramètres respectivement, et il ne restera plus qu'à éliminer a, b, e entre quatre équations.

On en conclut, en imitant la démonstration donnée en Géométrie plane (t. I, 401), que l'on obtient l'enveloppe de la surface définie par l'équation

homogène par rapport aux paramètres u, i>, w, r satisfaisant à une relation

homogène

tp (m, V, w, r) = 0,

en éliminant les paramètres entre l'une des deux équations précédentes et celles qu'on obtient en écrivant que les dérivées de / et de cp par rapport à ces paramètres sont proportionnelles :

àf àv

Et àw

àf àr

<^Cp

do àv

0*9 àw

ào dr

ENVELOPPES. l83

Ainsi, pour avoir l'équation de l'enveloppe du plan ux -\- vy -\- w z -h r t = o, dont les coefficienls vérifient l'équation homogène

il suffit d'éliminer les paramètres u, c, (v, r entre l'une de ces équations et les suivantes

L'équation F = o est V équation tangentielle de l'enveloppe, et l'on voit que les coordonnées ponctuelles d'un point de l'enveloppe sont proportionnelles aux dérivées de la fonction F.