La figure homothétique d^ un cylindre est un cylindre

En effet, si l'on suppose l'axe des z parallèle aux génératrices du cylindre donné, l'équation de ce cylindre étant f(^x, y) = o, celle de la surface homothétique sera de la forme

f{kx -ha, ky -h 6) — o.

Si le premier cylindre est algébrique, le second l'est aussi et du même degré que le premier.

Si l'on déplace le centre d'homothélie parallèlement à l'axe des 5, cette équation ne change pas, ce qui prouve que deux cylindres homothétiques ont une ligne de centres d'homothétie, parallèle à leurs génératrices, que l'on appelle l'acre d^homothétie.

De là résulte immédiatement cette conséquence : un plan coupe deux cylindres homothétiques suivant deux courbes homothétiques, le centre d'homothétie de ces courbes étant la trace de l'axe d'homothétie des deux cylindres sur le plan sécant.

215. On en déduit que deux plans parallèles coupent deux cylindres homothétiques suivant des courbes homothétiques.

Considérons, en effet, deux cylindres homothétiques C, C coupés par deux plans parallèles P, P'. Ces plans rencontrent l'axe d'homothétie des deux cylindres en des points S, S'; les sections des deux cylindres par le plan P sont des courbes homothétiques par rapport à S; soient M et M" deux points correspondants de ces courbes; la génératrice du cylindre C menée par M" rencontre le plan P' en un point M', et la droite MM' rencontre l'axe d'homothétie en un pqint Sj, tel que

SiS SiM SM Si S' ~ Si M' ~ SM" ~ '

ce qui démontre la proposition.

Réciproquement , si l'on prend deux courbes homothétiques

FIGURES UOMOTHÉTIQLES. 201

pour bases de deux cylindres ayant des génératrices parallèles à une même droite, les cylindres obtenus sont homothétiques.

216. On démontre de même que la figure homothétique d'un cône est un cône; les sommets des deux cônes sont des points homologues.

On démontre facilement que les sections de deux cônes homothétiques par deux plans parallèles sont des courbes homothétiques ; il suffit de remarquer que deux plans parallèles coupent un même cône suivant deux courbes homothétiques par rapport à leur sommet; cela étant, soient G et C deux cônes homothétiques, P un plan, P' son homologue; les sections correspondantes sont évidemment homothétiques; or, les sections du cône C par deux plans parallèles P' et P' étant homothétiques, on en conclut aisément que les sections du cône G parle plan Pet du cône G' par le plan parallèle P" sont aussi homothétiques.

217. La figure homothétique d'une surface du second degré est une surface du second degré qui a les mêmes directions asymptotiques que la première.

La réciproque est vraie au point de vue algébrique. Il y aurait à faire une discussion analogue à celle qui a été faite pour les coniques; mais nous regarderons comme étant homothétiques deux quadriques ayant les mêmes directions asymptotiques, même si le rapport de similitude est imaginaire.