APPLICATION AUX SECTIONS PLANES D UNE SURFACE

218. Théorème préliminaire. — Une section plane d'une surface algébrique et sa projection sur un plan sont de même degré.

Formons Téquation du cylindre projetant la section plane considérée, les génératrices étant parallèles à l'axe des z) l'équation du cylindre est la môme que celle de sa projection rapportée aux axes Ox, Oy. Faisons une transformation de coordonnées, le nouveau plan des x.,y étant le plan sécant; l'équation du cylindre, dans le nouveau système, l'axe des z ayant gardé la même direction, sera la même que celle de la section plane rapportée aux nouveaux axes

202 CHAPITIIE XII.

des X et des y. Or le degré de l'équation du cylindre n'a pas changé, donc les degrés de la section plane considérée et de sa projection sont les mêmes. La démonstration géométrique est d'ailleurs évidente.

Dans le cas du second degré, il est évident que la section et sa projection sont de même espèce.

219. Théorème. — Les sections d' une quadrique par des plans parallèles sont des courbes homothétiques .

En effet, on peut supposer le plan des x^ y parallèle aux plans sécants. Si l'équation de la quadrique est alors

les équations d'une section sont

Si h varie, la seconde équation représente des cylindres homothétiques et l'on sait que les sections de deux cylindres homothétiques par des plans parallèles sont des courbes homothétiques.

220. Théorème. — Les sections de deux quadriques homothétiques par des plans parallèles sont des courbes homothétiques.

En effet, soient

/(^, 7,2) = o, fi{T, y,z)=o

les équations de deux quadriques homothétiques; les sections par

des plans parallèles au plan des ^,y sont définies par des équations

de la forme

et

^ = h', . fi{x,yJi') = o\

on a donc encore à considérer les sections de deux cylindres homothétiques par des plans parallèles, puisque les termes du second degré sont les mêmes dans les équations des deux quadriques et, par suite, dans les équations des deux cylindres projetants.

221. Corollaire. — Les sections d'une quadrique et du cône de ses directions asymptotiques, de sommet quelconque, par des plans parallèles, sont des courbes homothétiques.

FIGURES HOMOTHÉTIQUES. 2o3

En effet, une quadrique et le cône de ses directions asymptoliques ayant pour sommet un point quelconque sont des surfaces homolhétiques dont le rapport d'homothétie est nul ou infini; d'ailleurs les termes du second degré étant les mêmes pour ces deux surfaces, la démonstration précédente s'applique sans modification.

Il convient toutefois de remarquer, à l'égard des théorèmes précédents, que si deux sections parallèles sont des hyperboles, l'une peut être homothétique à la conjuguée de l'autre.

222. Sections planes d\in cône du second degré. — Considérons un cône du second degré et soit P un plan ; si nous menons par le sommet du cône un plan P' parallèle au plan P, les sections du cône par les plans P, P' sont des courbes homotliétiques. Or le plan P' coupe le cône suivant deux droites qui peuvent être réelles et distinctes, confondues en une seule droite réelle, ou imaginaires conjuguées, en supposant que les équations du cône et du plan aient tous leurs coefficients réels.

Si les génératrices situées dans le plan P' sont imaginaires conjuguées, la section faite par le plan P devant être h omo thé tique à un système de deux droites imaginaires conjuguées est nécessairement une ellipse.

Si ces génératrices se confondent en une seule, la section par le plan P, homothétique à une droite double, est une parabole; enfin si ces génératrices sont distinctes et réelles, la section par le plan P est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles à ces génératrices.

Quelle que soit la courbe du second degré, ellipse, parabole ou hyperbole que l'on donne comme directrice d'un cône du second degré, on peut donc, en verlu de ce qui précède, obtenir une section plane d'espèce donnée; on peut même obtenir un cercle. En effet, si un plan P coupe un cône du second degré suivant un cercle, le plan P' parallèle à P et mené par le sommet du cône coupe ce dernier suivant deux droites isotropes et réciproquement; il suffit donc de chercher les génératrices communes au cône donné et au cône isotrope ayant même sommet; soient G, G'; G), G', ; les deux couples de droites isotropes imaginaires conjuguées obtenus; les deux plans menés par G et G' ou par G, et G', sont réels et tout plan parallèle à l'un de ces deux plans coupe le cône considéré sui-

vant un cercle. Un cône réel du second degré peut donc être regardé, de deux manières, comme un cône circulaire.

!. Sections planes d^un cylindre du second degré. — Les sections planes d'un cylindre du second degré donné sont de même espèce, quel que soit le plan sécant; on a donc trois espèces de cylindres du second degré : le cylindre elliptique, le cylindre parabolique et le cylindre hyperbolique.

EXERCICES

1. On nomme figure semblable à une figure donnée toute figure égale à une figure homothétique directe de la proposée.

Former l'équation générale des surfaces semblables à une surface donnée.

2. Lieu des points qui partagent dans un rapport donné les cordes d'une quadrique issues d'un point donné.

CLASSIFICATION DES QUADRIQUES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES PONCTUELLES.

Soit