B'B"— AB, B"B — A'B', BB'— A"B

CLASSIFICATION DES QUADRIQLES. 2o5

Nous ferons, relativement à ces mineurs, les remarques suivantes, qui nous seront très utiles :

1° Lorsque A= o, si Van des six mineurs précédents est différent de zéro, V un au moins des mineurs symétriques est différent de zéro, et si deux mineurs symétriques sont différents de zéro, ils ont le même signe, si tous les coefficients sont réels.

En effet, la fonction ^{x,y,z) est la somme de deux carrés, puisqu'on suppose A = o et qu'au moins un mineur de premier ordre est supposé diflférent de zéro. Donc

^{x,y, z) = z{ax -+■ by -h czy -f- -J{a' x -h b' y -h c' zy ,

£ et s' ayant la signification habituelle. Les deux carrés étant distincts, l'un des déterminants ab' — ba' , ca' — ac' , bc' — cb' est diff^érent de zéro. Soit par exemple ab' — ba! ^ o; alors, en faisant ^ =: o dans l'identité précédente, on obtient

kx"*--^ iWxy 4- A'72 = z{ax -\- by^ -\- z {a'x-^ b'y)-;

donc AA' — B"2^o. En outre, AA' — B"- a le signe du produit es'. Donc les mineurs symétriques diff'érents de zéro ont le même signe.

2° Il résulte de là que, si ^ = o et si les mineurs symétriques sont nuls tous les trois, il en est de même des trois autres mineurs.

La proposition est fausse quand on suppose A ^ o; en effet, si les six mineurs sont nuls, A = o.

Ainsi, par exemple, les mineurs symétriques du discriminant de x--\-y--{-z- — 2yz — 2ZX — 2xy sont nuls et les autres mineurs sont égaux à + 2.

3" Quand on suppose BB'B"^o, 5/ les mineurs non symétriques sont nuls, les mineurs symétriques sont aussi nuls.

En effet, on suppose