Soit

F{x,y,z) = kx''--^ k'y^-\- M' z^

-+- 2 Byz -\- 2 B' zx -(- 2 B" xy -\- ^C,x -\- 2 C'y -h 2 C z + D = o

l'équation d'une quadrique.

CLASSIFICATION DES QUADRIQUES. 2O7

Nous supposerons dans tout ce qui suit, sauf avis contraire, tous les coefficients réels.

Le cône des directions asjmploliques ayant pour sommet l'origine des coordonnées a pour équation

ç(ar, 7, z) = o.

Premier cas A ^ o. — Ce cas se subdivise en deux ;

." c?(^,7,5) = s(P2-f.Q-2-f-Rî),

P, Q, R désignant des polynômes distincts, à coefficients réels.

Le cône des directions asymptotiques est imaginaire, la surface est limitée dans toutes les directions. Un plan mené par le sommet du cône la coupe suivant deux droites imaginaires; donc toute section plane de la surface est une ellipse. Celte surface est un ellipsoïde réel ou imaginaire ou un cône imaginaire.

Le cône des directions asymptotiques est réel; en effet, il peut

être considéré comme engendré par la droite mobile ayant pour

équations

P = Rcoso, Q=:Rsino.

Les sections planes peuvent donc être d'espèce quelconque. Les surfaces de cette nature sont des hyperholoïdes ou des cônes réels.

Deuxième cas A ^ o. — Un mineur symétrique différent de zéro, par exemple AA' — B"- ^ o. Alors (^(x,y, z) est la somme de deux carrés distincts.

Une seule direction asymptotique réelle, définie par les équations P = o, Q = o. Le cône des directions asymptotiques se réduit à deux pians imaginaires conjugués, qu'on nomme plans directeurs. Toute section faite par un plan non parallèle à la direction asymptotique réelle, coupant les plans directeurs suivant deux droites imaginaires conjuguées, coupe la surface suivant une ellipse. Tout plan parallèle à la direction asymptotique réelle coupe les plans directeurs suivant deux droites parallèles; donc la surface est coupée

par un pareil plan suivant une parabole. Une surface de cette espèce se nomme une paraboloïde elliptique.

Le cône des directions asjmptotiques se réduit à deux plans réels, appelés ^^<2/z5 directeurs. Tout plan non parallèle à l'intersection des plans directeurs coupant l'ensemble de ces deux plans suivant deux droites concourantes coupe la surface suivant une hyperbole; tout plan parallèle à l'intersection des plans directeurs donnera une parabole. Une surface de cette espèce est appelée /xxraboloïde hyperbolique.

Troisième cas. — Les mineurs du premier degré de A sont nuls. Dans ce cas

L'équation de la surface est donc de la forme

P et Q désignant des formes linéaires; si P et Q sont des polynômes distincts, de sorte que l'intersection des plans P = o, Q = o est à distance finie, la surface est un cylindre parabolique, car la section par un des plans coordonnés ayant une équation de la forme Pj -t- Q) = o est une parabole si, ce qu'on peut toujours supposer, ce plan n'est pas parallèle à l'intersection des deux plans P, Q.

Si Q=2aP + 6, a Ql b étant des constantes, l'équation /*:= o représente deux plans parallèles.

CLASSIFICATION PAR LA DÉCOMPOSITION DE f [x , y j Z, t) EN CARRÉS.