Posons
f{cc,y,z, t) = o{x,y,z)-^- 7.{Cx -<r- G'j -h G"z)t-hT)t^,
et soient A le discriminant de cp {x,y, z) et H celui de /{x, y, z, t).
Premier cas .• A ^ o. — La fonction (uÇx,y, z) est alors la somme de trois carrés distincts; nous poserons
^{x.y, z) = z{ax -+-hy -\- cz'Y
+ z\a' X -\-h'y -\- c' zY ^ t" {a" x ^ b"y -^c" z)"^.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES. 2O9
En raisonnant comme dans le cas de trois variables (t. I, p. 269), on peut trouver des constantes </, cV ^ d" ^ D, telles que
f{x^y^ z^ 0 = t{,ax -h by -h cz-\- dt)^ h- z'{a'x ■+■ b'y -\- c' z -f- d' t)^
-^ t' {a" X -^ h" y -\- c" z-\- d' ty -\- Di/2;
et, en remarquant que /(:r, y, ^, ^) — D, «^ egj \^ somme de trois carrés et que par suite son discriminant est nul, on trouve
Si l'on pose - = £"'L-, réquation/(^,jK, z, t) -=0 peut se mettre
sous la forme
et si l'on pose enfin, en supposant H ^ o,
on obtient les équations suivantes :
(2) „ X2-t-Y2-f-Z2-hI=0,
(3) ^ , 7- , x2-hY2— Z2— I =0,
Si H = o, on a les équations
(6) ' 'I X2 + Y2-hZ2 = 0.
Deuxième cas : A = o. — Ce cas se subdivise : supposons un mineur symétrique, par exemple, AA' — B"^ ^ o. Nous désignons ce mineur par o.
La fonction <o{x^y, z) est la somme de deux carrés distincts
^{x,y, z) = z{ax -+■ by -h czy -+- z'{a'x + b'y -^ c' z)-; ab' — ba' ^ o.
Si l'on pose
ax -\- by -\- cz = Y* , a'x -h b'y -h c' z = Q, on a
\r^'y.^tbP-hz'b'Q;
il en résulte que P et O sont des fonctions linéaires de 4 'j'. et tcs' . NiEWENûLOWSKi. — G. an., III. i4
CHAPITRi; XIII.
Si l'on pose on a
Dr-;
la condition pour que les polynômes P, Q, R soient distincts est la même que la condition pour que j'f^, | ç^ et R soient distincts, puisque P et Q étant des fonctions linéaires de cp^, o^, et réciproquement, si les trois premiers polynômes sont liés linéairement, il en est de même des trois autres et réciproquement. Or le discriminant des trois polynômes ^ «pi, ifj? ï^ ^st le déterminant
Nous sommes ainsi conduits à supposer :
1° 0 ^ o, A, ^ o. Les plans P = o, Q = o, R = o se coupent en un seul point, et il en est de même si l'on remplace R par un plan parallèle R, ayant pour équation aR + D == o; en prenant ces trois plans pour plans de coordonnées, on obtient donc
sP2 + £'Q2+ Ri =^ o;
en remarquant que S a le signe de es', on a des équations de la forme suivante :
(7) o>o, Y2-f-Z2- aX = o,
(8) . o<o, Y2 — Z2 — .iX = o,
X, Y, Z étant trois polynômes distincts à coefficients réels. 2'' A,= o. Alors
Cx + C'y -+- C"z = s/iP + z'h'Q,
f(x,y, z, t) = £P2 + 2£/jP -+- £'Q2+ 2£'/i'Q + Df2
f^x,y, z, I) ^ £(P + hy + £'( Q + h')^ + Dif2
Di= D — £A2£'/j'2;
ce qui conduit aux équations suivantes, si D, ^ o,
(10) ( X2+ Y2-t- 1 = 0, (il) 0<0, X2 — Y2— 1 = 0.
donc
ou
en posant
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES. 2 I I
Dans chacun de ces cas, H = o; mais un mineur du troisième degré de H est différent de zéro.
Si D, ^ o, on a les équations suivantes :
Les mineurs du troisième degré de H sont alors tous nuls, mais au moins un mineur du second degré est différent de zéro.
Troisième cas .'1 = 0. — Les mineurs symétriques de A sont nuls, mais un des coefficients, par exemple A ^ o. Dans ce cas
o{T,y, z)-^z{ax -{- by -\- czy-^ a^o
on a ainsi
f{x,y, z, t) ^ EP2-+- i{Qx + C'y + a'z)t^\)tK
Deux nouveaux cas se présentent, suivant que les équations
ax -+- by -^ cz — o, Cx -\- G y -\~ C" z = o
représentent des plans qui se coupent ou des plans parallèles. Dans le premier cas, l'équation de la surface se ramène à la forme
X = o, Y = o représentant des plans qui se coupent. Dans ce cas, un mineur du troisième degré de H est différent de zéro. Si, au contraire,
C^ 4- C'y -H C"z = eAP -+- A, on a
et par conséquent on a les équations suivantes :
(17) Xî = o.
Si la fonction (^(x,y, z) s'abaisse au premier degré, l'équation f(x^y^z,l) = o représente deux plans dont l'un au moins est le plan de l'infini. En laissant ce cas de côté, nous avons obtenu 17 formes différentes.
228. L'équation (i5) représente deux plans parallèles réels; l'équation (16) représente deux plans imaginaires conjugués, parallèles à un plan réel; l'équation (17) représente un seul plan; mais comme son premier membre est un carré, on dit qu'elle représente un plan double qui est d'ailleurs réel.
L'équation (14) représente un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite définie par les équations X = o, Y =: o. Supposons que cette droite ne soit pas parallèle à l'axe des z; dans ce cas, la trace du cylindre sur le plan xOy a pour équation
Xf — 2Yi = o,
en désignant parX, et Y, ce que deviennent les polynômes X et Y pour z=o. Cette dernière équation étant celle d'une parabole, on a affaire à un cylindre parabolique.
L'équation (12) représente deux plans concourants réels et l'équation (i3) deux plans imaginaires conjugués.
L'équation (9) est celle d'un cylindre elliptique; l'équation (10) représente un cylindre elliptique imaginaire, et enfin l'équation (11) représente un cylindre hyperbolique. On vérifie ces résultats comme dans le cas du cylindre parabolique.
Enfin on voit immédiatement que l'équation (5) est celle d'un cône réel et que l'équation (6) définit un cône imaginaire; dans les deux cas, le sommet est le point défini par les équations
Il ne nous reste donc à étudier que les équations (i), (2), (3), (4),(7)et(8).
229. Ellipsoïdes. — Prenons pour plans de coordonnées les trois plans définis par les équations X = o, Y = o, Z ^ o, et désignons par;», j', z les nouvelles coordonnées d'un point quelconque M; on
a (225), en désignant par a, b, c trois constantes, X = -, Y= j, Z= -; l'équation (i) devient ainsi
Sous cette forme, on reconnaît que «, 6, c désignent trois longueurs; rien n'empêche de supposer «, b, c positifs.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES. 21 3
Il est facile de se rendre compte de la forme de la surface représentée par l'équation (i)'. Nous voyons d'abord que les sections par les plans de coordonnées sont les ellipses ayant respectivement pour équations, dans ces plans,
On obtient ainsi des ellipses rapportées chacune à un système de diamètres conjugués.
Prenons sur O x {fig. 26) une longueur 0A=: a; sur Oy, 0B= è, et sur Oz, OC = c; OA et OB forment un système de diamètres conjugués de l'ellipse située dans le plan xOy^ etc. On voit immédiatement que la surface peut être engendrée par l'ellipse mobile définie par les deux équations
Fis. 26.
dans lesquelles h désigne un paramètre variable. Cette ellipse variable a pour diamètres conjugués les deux cordes déterminées dans les deux ellipses (OC, OA), (OC, OB) ayant OC pour demi-diamètre commun, par le plan PwQ, {z = h) parallèle au plan xOy.
La section par le plan z = h n'est réelle que si — c <i h <Cc.
Cette surface peut être engendrée par une ellipse mobile, de la manière suivante : Considérons un trièdre OABC; OB et OC sont les deux demi-diamètres conjugués d'une ellipse E, ; OAet OC deux demi-diamètres conjugués d'une ellipse Eo, et enfin OA et OB doux demi-diamètres conjugués d'une ellipse E3. Le lieu engendré par une ellipse mobile E qui rencontre les ellipses E| et E2, reste hoinothétique à l'ellipse E3 et dont le centre se meut sur la droite CC; C, étant le symétrique de C par rapport au point O, est la surface représentée par l'équation (i).
On n'a représenté sur la surface que les arcs d'ellipses appartenant au trièdre Oxyz. Cette surface a reçu le nom d^ ellipsoïde.
Le cône des directions asymptotiques ayant pour sommet l'origine a pour équation
-pî yî z^
^-^fï + ^ = o;
ce cône étant imaginaire, on voit que toute section plane de l'ellipsoïde est une ellipse.
L'équation (2) peut se mettre sous la forme
elle représente évidemment une surface entièrement imaginaire qu'on a nommée ellipsoïde imaginaire.
230. Hyperholoïdes . — En adoptant les mêmes notations que dans le numéro précédent, on peut mettre les équations (3) et (4) sous la forme
e ayant la valeur -h i ou — i ; si nous admettons aussi la valeur e = o, nous comprendrons encore, sous la même forme, l'équation (5).
i" Soit £ =: + i ; l'équation est
iF2 «2
La surface définie par cette équation est coupée par le plan xOy suivant une ellipse ayant pour équation, dans ce plan
En prenant OA = <a!, OB ^ 6, on voit que OA et OB sont deux
demi-diamètres conjugués de cette ellipse.
La section par le plan xOz {fig- 27) est une hyperbole ayant, dans ce plan, pour équation
de sorte que, si OC = c, la diagonale OD du parallélogramme construit sur GAet OC comme côtés est une asymptote de cette hyperbole. On obtient de même une hyperbole pour section par le plan yOz. Nous ne représentons qu'un arc de chacune de ces courbes.
CLASSIFICATION DES QUADRIQLES. 2l5
La seclion par un plan parallèle au plan^rOjK est une ellipse a^ant pour diamètres conjugués les cordes déterminées par ce plan dans les deux hyperboles précédentes; les équations de cette ellipse sont
elle est donc réelle quand h varie de — go à +00. La surface représentée par l'équation (3)' peut être considérée comme engendrée par cette ellipse, dont nous n'avons représenté qu'un arc PQ.
Ainsi la surface considérée peut être engendrée par une ellipse qui se déplace et se déforme en restant homothétique à une ellipse fixe et en s'appujant sur deux hyperboles fixes ayant un diamètre imaginaire commun auquel sont conjugués, dans chacune de ces hyperboles, deux diamètres conjugués de l'ellipse fixe, le centre de l'ellipse mobile se déplaçant sur le diamètre imaginaire commun aux deux hyperboles.
On peut obtenir un autre mode de génération. Eff'ectivement, si nous coupons la surface par un plan parallèle au plan xOz, et ayant pour équation y =: A", la section est une hyperbole définie par les équations
Si l'on suppose A- <^ 6^, cette hyperbole est homothétique à la section faite par le plan xOz] si A = ± 6, la section se compose de deux droites, et le plany=6 ou y ■= — b est un plan langent; enfin, si l'on suppose k- >> 6-, la section est homothétique à la conjuguée de la section faite par le plan xOz.
On peut regarder la surface comme engendrée par l'hyperbole variable définie par les deux dernières équations.
De même, on peut la regarder comme engendrée par l'hyperbole ayant pour équations
Cette surface a reçu le nom à^ hyperboloïde à une nappe. 2" Soit £ = — I ; l'équation est alors
2l6 CHAPITRE XIII.
La section par un plan parallèle au plan x Oy a pour équations
c'est une ellipse qui n'est réelle que si l'on suppose A^ >> c-. Donc si l'on prend sur l'axe des y deux points G, C symétriques par rapport à l'origine et tels que OC z= c = — OC, on voit que la surface n'a aucun point réel situé entre les plans parallèles au plan xOy et menés par les deux points C, G'. On voit ainsi que la surface a deux nappes distinctes. Le plan des .r, y ne la coupe pas ou,
si l'on préfère, la section par ce plan est une ellipse imaginaire. La section par le plan xO z {fig- 28) a pour équation, dans ce plan.
Fig. 28.
c'est une hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués, OG étant un demi-diamètre réel. De
même, la section par le plan yOz est une hyperbole ayant pour
équation, dans ce plan,
La surface peut être engendrée par une ellipse ayant pour diamètres conjugués les cordes déterminées dans ces deux hyperboles par un plan mobile parallèle au plan xOy.
Elle peut aussi être engendrée par l'hyperbole définie par les équations
ou par l'hjperbole
On a donné à cette surface le nom à^ hyperholoïde à deux nappes.
Dans les exemples précédents, comprenant les ellipsoïdes et les hyperboloïdes, l'origine des coordonnées est un centre; car à tout
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES. 217
point M (^, y, g) de la surface comprend le point M'( — x, — y, — z), symétrique du premier par rapport à l'origine {voir n" 23i).
231. Paraboloïdes. — Les équations (7) et (8) peuvent se mettre sous la forme
en prenant pour plan de coordonnées les plans définis par les équations X = o, Y = o, Z = ().
Deux cas se présentent suivant que/) et q sont de même signe ou de signes contraires. Dans le premier cas, en modifiant, s'il le faut, le sens des x positifs, on peut supposer p el q positifs. Dans cette hypothèse, on voit sur l'équation même, qu'on doit supposer ;r > o pour tous les points réels de la surface; donc tous les points de cette surface sont, par rapport au plan j'O;; du côté des x positifs.
Le plan xOy {fig- 29) coupe la surface suivant la parabole
ayant pour équation J ^ ^ Fig. 29.
y"^ — t.px^o,
et le plan xOz, suivant la parabole ayant pour
équation
nous n'avons représenté que les arcs OA et OB de ces courbes.
La section par le plan j' Os est composée de deux droites imaginaires passant par l'origine; ce plan est tangent en O à la surface.
La section par un plan parallèle au plan y Os a pour équations
X = h, 1 =ih:
c'est une ellipse qui n'est réelle que si h > o. La surface peut être considérée comme engendrée par cette ellipse. Un plan parallèle à xOz donne une parabole
= ÎX
Cette parabole est égale à la parabole-section par le plan xOz\
2l8 CIIAPITKE XIII.
si A" varie, elle se déplace en restant parallèle à elle-même et de telle sorte qu'un de ses points décrive la parabole-section faite parle plan des X, y.
Pareillement, la surface peut être engendrée par la parabole ayant pour équations
Cette surface a reçu le nom àe paraboloïde elliplique. Supposons en second lieu y? et ^ de signes contraires ou mieux, supposons l'équation mise sous la forme
p el q étant positifs. Les sections par le plan xOy et par le plan xOz sont alors des paraboles dont les concavités sont disposées en sens contraires, et dont les équations sont
2 = 0, y^ — -i-px = o, J^ = o, z^~r- iqx =^ o\
Fig. 3o.
nous avons représenté seulement les arcs OA et OB de ces paraboles {fig. 3o).
Les sections par des plans parallèles au plan yOz sont des hyperboles, définies par des équations de la forme
Le planyOscoupe la surface suivant deux droites auxquelles les asymptotes des hyperboles considérées sont parallèles.
La surface peut être engendrée par l'hjperbole mobile définie par les équations précédentes.
Les sections par des plans parallèles au plan xOz sont des paraboles égales à la parabole-section faite par le plan xOz. La surface peut être ainsi engendrée par le mouvement d'une parabole qui se déplace en restant égale et parallèle à une parabole fixe, de manière qu'un de ses points décrive une seconde parabole fixe, ayant avec la
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES. 219
première un diamètre commun, mais celle fois les concavités des deux paraboles fixes étant dirigées en sens contraires. On peut en effet obtenir l'équation de la surface en éliminant k entre les équations
on peut aussi considérer la surface comme engendrée par la parabole z = l,
Celte surface porte le nom de paraboloïde hyperbolique.
232. Nous pouvons dresser le Tableau suivant qui résume la classification des quadriques :
JkTf O...
/A.Tio.
Un mineur du 2*degré de A est diffé- ' rent de zéro, par^ exemple
S = AA'— BVo..
Les mineurs du 2 sont tous nuls, u est différent de exemple \ ^ o. .
degré de A
n coefficient
zéro , par
X»+ Y»+Z= — I = o, ellipsoïde réel (H <o). X»+ Y^-t- Z»+ I = 0, ellipsoïde imaginaire (H > o). X?+ Y' — Z" — I =0, hyperboloïde à une nappe (II >o). \ X'+ Y» — Z'+i = o, hyperbol. à deux nappes (H <o). X'+ Y'— Z» = 0, cône réel.
X'+ Y'-i- Z' = 0, cône imaginaire.
Y»+Z»— X = o, paraboloïde elliptique (H<o). Y»— Z^— X = o, paraboloïde hyperboloïde (H > o). X^-hY»— I = 0, cylindre elliptique
réel.
X' + Y^-(- I =0, cylindre elliptique
imaginaire.
X' — Y"— I = 0, cylindre hyperbolique.
X^ — Y' = o, deux plans concourants réels.
X=-hY'=o, deux plans concourants imaginaires.
H = o,un mineurdu 3* degré de H est différent de zéro.
Les mineurs du 3* degré de H sont tous nuls.
Un mineur du a* degré est différent de zéro.
iLes mineurs du 2»
degré de H sont tous nuis.
Un mineurdu 3"degré de H est différent de zéro . .
Les min. du 3' degrédeHsonttous nuls, un mineur du 2° degré est différent de zéro.
' X'-f- Y = o, cylindre parabolique.
I =0, deux plans parallèles réels
1=0, deux plans parallèles imaginaires
Dire ce que représentent les équations suivantes :
4372+ yy'^-+- 932 | i^yz -+- 8zcp -4- 8^7;'+ 8.V -{- ly -h iz -+- B = o,
■\x'^-\- 7J^2|. 5^2 i i^yz -+- 8zx ■+- 8xy + Sa; -f- 2/ + gis -t- D = o,
4a;2-i- 7^2 ^ yz^-h i^yz -+- 8zx + 8xy -\- ^x -i- 2y -h "îz = o,
x^-h 3y^ — z^ — 4xy -+- lyz — 8 y -h \z — 11 = 0,
Zx'^-T- 5y'^-\-iz^-\-iyz -\- Ç)zx — ^x-\- iy — 2Z 4- D = o,
ip2 — 3^2 — 6^5 -h izx — 8xy — ^x -+- iy — 1 z -\- T> = o ,
2 072 + j)/2+ z2+ I — 2JK-3 -^ ^ ZX ^Xy — Zx — ^-t-D— O,
2 5^2 -h ^2 | ^2 |. I — 2^Z -1-42^ 4^/ — 437-(- iy 2 2 + D = o.
D étant une constante.
233. Définition. — On appelle centre d'une surface un point fixe P tel que, M étant un point quelconque de cette surface, le point M' symétrique de M par rapport à P soit encore un point de la même surface.
234. Conditions pour que l'origine des coordonnées soit centre d'une surface. — Il faut et il suffit que l'équation de la surface f[x.,y, jî):=o ne change pas quand on change x, y, z en — .r, — y, — z respectivement; car si un point M a pour coordonnées ^, y^z^Xe point M', symétrique de M par rapport à l'origine, a pour coordonnées — x, — y^ — z.
On déduit immédiatement de cette remarque, que, si l'équation de la surface est algébrique et entière, son premier membre doit être un
polynôme tel que les degrés de tous ses termes soient de même parité. On le voit en coupant la surface par une droite quelconque menée par l'origine, c'est-à-dire en posant x = ap, y = ^p, 5 = yp et en exprimant que les degrés des diiTérents termes de l'équation en p obtenue sont tous de même parité.
D'une manière plus générale, pour exprimer que le point P(a'o, J'o> -0) est un centre, il suffira d'exprimer que l'équation
/( j»o -+- a?, 7o -f- ?p, -So + TP ) = o
ne change pas quand on change p en — p, et cela quels que soient a, P, T-
235. Recherche du centre dans les qiiadriques. — On procède comme pour les coniques : on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes et l'on écrit que la nouvelle origine est un centre. On obtient ainsi, pour déterminer le centre d'une quadrique, les équations
fx = 0, /^ = O, f. = O.
Discussion. — Les équations du centre sont
Ax -{- B"j -f- B'z -1- G = o, B"x-hXy-^-Bz -4-G'=o, B'x -\- Bj -i-A"z-\-C" = o.
Ces équations définissent trois plans qu'on nomme les plans du centre. Nous poserons, comme plus haut, AA' — B"- = 0 et nous nommerons A, le caractéristique correspondant.
Premier cas .• A ^ o. — Les plans du centre se coupent en un seul point, situé à distance finie. On obtient ainsi une première classe de surfaces du second degré; ce sont les quadriques ayant un centre unique à distance finie. Cette première classe contient les ellipsoïdes, les hyperboloïdes et les cônes.
Les coordonnées homogènes du centre sont c, c', c", A.
Deuxième cas ; A=o; un des mineurs symétriques de A diffère de zéro, par exemple 8 72^ o et A, ^ o. Deux des plans du centre se coupent et le troisième est parallèle à leur intersection ; ces trois plans forment une surface prismatique. La quadrique n'a pas de centre. Comme les trois plans du centre ont un point commun à
l'infini, on peut dire que la quadrique a un centre unique à l'infini, dans la direction ayant pour paramètres c, c' , c"; on obtient ainsi une seconde classe de surfaces : ce sont les paraboloïdes.
Troisième cas : A ^ o, 0 =?^ o, A, = o. — Les trois plans du centre ont une ligne droite commune : on obtient ainsi une troisième classe de quadriques, ayant une ligne de centres à distance finie : ce sont les cylindres elliptiques ou hyperboliques, et les systèmes de plans concourants.
Quatrième cas ; A := o ; tous les mineurs du second degré de A nuls, un coefficient, par exemple A^o; l'un des deux caractéristiques AC'-B"Gou AC"-B'C^o.
Les plans du centre sont parallèles. On a une quatrième classe de quadriques : les quadriques ayant une ligne de centres à l'infini, ou cylindres paraboliques.
Cinquième cas : A = o; les mineurs du second degré de A tous nuls, A^o, AC'-B"C=:o, AC"-B'G = o.
Les trois plans du centre sont confondus. Cinquième classe de surfaces du second degré, ayant un plan de centres. Ce sont les systèmes de deux plans parallèles.
236. Premièhe classe : Surfaces à centre unique (à distance /inie) . — Transportons l'origine au centre et conservons la direction des axes primitifs, en posant
si ^ojJKoj -o sont les coordonnées du centre, la nouvelle équation sera
?('2^',y>-3')-i-Di =0.
En raisonnant comme pour les coniques, on trouve
Di = Ga-o + G>o + G"^o -^ D, et aussi
L'équation d'une quadrique à centre unique, rapportée à trois axes parallèles aux premiers axes et passant par le centre de cette
THÉORIE DU CENTRE. 2a3
quadrique est donc, en supprimant les accents,
tf{x,y,z)-i- ^ =0.
Dans les Chapitres suivants nous ramènerons cette équation à une forme plus simple.
Dkl'xièmk classe : Sur/aces à centre unique rejeté à l'injini. A étant nul et 8 ^z^ o, l'ensemble des termes du second degré est la somme de deux carrés ; l'équation est donc de la forme
z{ax-\- hy -\- c z^- -i- ^ {a x -t- h' y -\- c' z)^ -+■ -xCx -{-iCy -t- -xC" z -l- D = o.
On suppose 8^0; donc ab' — ba! y^ o; on en conclut, en suivant une méthode déjà expliquée, qu'on peut mettre l'équation sous la forme
t{ax -^ h y -\- c z -\-\Y -\- t\a' X ■+- b'y •+- c'-z -(- [ji)2h- aC'î^ -+- D, — o.
Si l'on pose
ax ■+- by -\- c z -^\ — '?, a' x -+- b'y 4- c' z -f- iji, = Q,
les équations du centre sont
saP -(- î'a'Q = o, zbV-^t'b'Çl = o, £cP-+-£'c'Q-)-Cï =0.
On doit supposer G'| ^ o, sans quoi les plans du centre auraient une droite commune.
Troisième classe : Quadriques ayant une ligne de centres. — Ce cas correspond à C'| = o; l'équation de la surface est alors
On reconnaît bien l'équation d'un cylindre, si D, ^ o. C'est d'ailleurs ce qu'on peut vérifier ainsi. Transportons l'origine en un point de la ligne des centres. L'équation prendra la forme
?(^>r>^) -+- Di = 0;
d'ailleurs A = o : donc
9(:r,7, i;) = £Pî+£'Qî, etc.
Si en outre D, = o, l'équation de la surface est alors
elle représente deux plans concourants.
Quatrième classe. — L'équation est de la forme
t{ax -h bj -h- czy-+- 2Gx -i- 2G'7 + iC'z ^- D = o.
Les plans du centre sont déterminés par les équations
saP H- G = o,
tbP-hG'=o,
£cP + G"=o, où P ^ aa- -h by + cz.
Ces plans ne sont confondus que si l'on peut trouver une constante h telle que
G = ha, C = hb, G" = hc ;
s'il n'en est pas ainsi, l'équation est
£P2 hQ = o,
P = o, Q = o représentant deux plans qui se coupent : la surface est un cylindre parabolique, puisque la trace sur un des plans de coordonnées a une équation de la forme
P? + Qi = o.
Cinquième classe. — Les plans du centre étant confondus, l'équation de la surface est de la forme
ou
(P + A)2 + Di = o;
elle définit bien deux plans parallèles.
237. Remarque. — On démontre, comme pour les courbes, que, si une surface a deux centres, elle en a une infinité situés régulièrement sur une droite, et si cette surface est algébrique, tous les points de cette droite sont des centres ; si elle a trois centres non en ligne droite, elle en a une infinité qui sont les sommets d'un réseau de parallélogrammes et, si elle est algébrique, elle a un plan de centres; enfin, si une surface a quatre centres non dans un même plan, elle en a une infinité qui sont les sommets d'un ensemble périodique de parallélépipèdes.
Cône asymptote.
238. On nomme cône asymptote d'une quadrique de la première classe, le cône des directions asymptotiqiies ajant pour sommet le centre de celte quadrique.
239. Equation du cône asymptote d'une quadrique à centre rapportée à des axes quelconques. — L'équation d'une quadrique à centre unique rapportée à un système quelconque d'axes étant f{x^y, z) = o, l'équation de la même surface rapportée à des axes parallèles aux premiers et passant par son centre est
a{x,y,z )+ - =0, et l'on a l'identité
L'équation du cône asymptote étant, par rapport aux nouveaux axes,
est donc, par rapport aux anciens,
240. Quadriques conjuguées. — L'équation d'une quadrique homothétique et concentrique à la proposée, rapportée aux nouveaux axes, étant
on voit de même que l'équation de cette quadrique, rapportée aux anciens axes, sera
Si l'on suppose k infini, on retrouve l'équation du cône asymptote; si A"^ = — I , on aura l'équation de la quadrique conjuguée a
la première, c'est-à-dire
-, , ail
Si l'équation proposée est celle d'un liyperboloïde, la seconde sera celle de l'hyperboloïde conjugué.
NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. i5
Ainsi les équations
xi y2 ^2 .7.2 yl
représentent deux hjperboloïdes conjugués. Si l'on coupe ces deux surfaces par une même droite ayant pour équations
l'une d'elles sera coupée en deux points M, M' qui correspondent à p = p' et p = — p'; la seconde sera coupée aux points N, N' qui correspondent à p = p'/ et p = — p'i'; de sorte que, si M et M' sont réels, N et N' sont imaginaires conjugués et réciproquement. On voit que deux quadriques conjuguées ont le même cône asymptote.
241. Asymptotes d'une quadrique à centre. — Rapportons la quadrique à trois axes passant par son centre et soit
son équation. Soient
les équations d'une sécante. L'équation en p étant
p2cp(a, p, y) + P(^»^^ +? j^ +Y3T;j^?(^o,ro,^o)-^Di =0, les deux points d'intersection sont à l'infini si l'on suppose
ce qui exprime que la droite considérée doit être parallèle à une génératrice du cône asymptote et située dans le plan tangent à ce cône, mené par la génératrice considérée.
Si en outre cp(^Q,yoj ^0) + Di = o, l'équation en p est indéterminée et la droite est tout entière sur la quadrique. On en conclut que tout plan tangent au cône asymptote coupe la quadrique suivant deux droites parallèles à la génératrice de contact. C'est ce que l'on peut d'ailleurs vérifier par un calcul direct. Supposons, en effet, que le plan des x, y soit un plan tangent au cône asjmptote, la généra-
Irice de contact étant l'axe des y, l'équation de ce cône sera de la
forme
AiF'-j- A'^--^- 2B75 -f- ïB'zx = o,
et celle de la quadrique
A 37'-+- A"52-+- iByz-h iB'zx-h D = o.
La section de la quadrique par le plan œOy a pour équation A^r^ H- D = o et celle du cône : Ax^ = o ; ce qui démontre la proposition.
242. Théorème. — Tout plan passant par le centre coupe le cône asymptote suivant les asymptotes de la section faite par ce plan dans la quadrique.
La démonstration est immédiate, si l'on prend le plan sécant pour plan des x,y.
Recherche des points doubles d'une quadrique.
243. Soient a7o, joi^o» h et.r, ;>', 3, t les coordonnées de deux points Mq, M. Les coordonnées homogènes d'un point quelconque P de la droite MqM sont de la forme
xq-^\x, yo-^'^y, zq-^\z, îQ+lt.
Le point P sera un point de la quadrique définie par l'équation
f{x,y, z, 0 = 0, si X est une racine de l'équation
/{xo-h Ix, yo-i-'ky, zo-hlz, to-^lt) = o, c'est-à-dire, en développant,
Si le point Mo est un point de la quadrique, cette équation a une racine nulle. Nous dirons que Mo est un point double de la quadrique si, quelle que soit la direction de la sécante MqM, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs de x,y, z, t, coordonnées de M, deux points communs à la quadrique et à la sécante sont confondus avec Mq, ce qui revient à dire que les deux racines de l'équation précédente sont nulles. Pour qu'il en soit ainsi, quels que soient x, y, z, t, il faut et il suffit que Xq, yo, -Zq, t^ vérifient les équations
df àf df df
(^) àr""^ é="' Â' ^=°'
qui entraînent l'équation /(a^oj/o) ^oj ^o) = o. II résulte de là qu'un point double d'une quadrique est un centre situé sur cette surface.
On peut discuter les équations précédentes; mais il est préférable de suivre une méthode employée par M. Méray {Nouvelles Annales de Mathématiques, 1892). Pour cela nous établirons les propositions suivantes :
1° Une droite joignant un point quelconque d'une quadrique à un point double de cette quadrique est tout entière sur cette surface.
En effet, si Mq est un point double et M un point de la surface/, les coordonnées de tout point P de MqM vérifient l'équation (i),
2° Si une quadrique a deux points doubles Mq, Mj, tout point de la droite MoMi est encore un point double de cette quadrique.
En effet, si ~- = o et —~ = o, on voit que -j- — o quand on remplace x
(JXq 0JC\ ox
^ ^ ^ àf df . df .,
par xo-\- >^Xi, y par /o -+- A/j • • • 5 ^^i' o" ^ alors -— = -^ ^ ^' t~" ' ^'- " ^"
UX OXq OXi
est de même pour les autres dérivées.
3° Tout plan passant par un point d'une quadrique et par deux points doubles distincts appartenant à cette quadrique fait partie de cette surface.
Effectivement, soient a^o, ^o» -^oi ^oj ^uju z\, t^ et x^y, z, t les coordonnées de deux points doubles Mo, Mi et d'un point quelconque M d'une quadrique. Les coordonnées d'un point quelconque du plan MqMiM sont de la forme
x,^-^\xx -V- \xx^ JKo + ^JKi + HJK7 z^-\-\zx-\- ]i.z, ^o-t- A^i + [J-^j
et l'on vérifie aisément, en vertu de l'hypothèse, que
f{XQ'\-\Xi-^ ]XX, yt^-^ \y\-\- H-JK, ZQ-^r\Z\,+ \xz, tç^-\-\tx-\- )i.t) — o.
Le premier membre est en effet identique à
-\-f{\xY-\-]XX, Xjl-f-lJ.^, \Zx-\-\XZ, Iti-i- lit).
Chacune de ces trois parties est nulle.
D'ailleurs on peut encore raisonner ainsi : une droite du plan MqMjM menée par M rencontre MqMi en P ; tout point P de Mo Mj est un point double de la quadrique; donc MP est située tout entière sur la quadrique.
4° Si une quadrique a trois points doubles Mo, Mi, M2 non situés en
ligne droite, tous les points du plan M0M1M2 sont des points doubles.
r^ ■ df df df df j
Car, si -r— = o, -~— = o, -~- =0, on a encore -^ = o quand x est rem-
0X0 OXi 0x2 ox
placé par Xq + \xi-\- ^x^, y par 70-+- l^yi + [J-72;
Gela posé, on voit d'abord que la condition nécessaire et suffisante pour que le système (2) admette au moins une solution différente de zéro est H = o. Ainsi les seules quadriqu»s admettant des points doubles sont les cylindres, les cônes et les systèmes de plans.
Si H = o, il y a plusieurs cas à distinguer :
1° Les équations (2) se "réduisent à trois; la quadrique a un point double unique. Dan3 ce cas, toute droite joignant le point double à un point de la surface en fait partie; la surface est donc un cône si le point double est à distance finie, ou un cylindre, s'il est à l'infini.
2° Les équations (2) se réduisent à deux ; la quadrique a une ligne de points doubles. Dans ce cas, tout plan mené par la ligne des points doubles et un point de la quadrique fait partie de cette quadrique; donc la quadrique se compose de deux plans qui sont nécessairement distincts, sans quoi elle aurait un plan de points doubles. Si la ligne des points doubles est à distance finie, les deux plans sont concourants; si elle est à l'infini, ils sont parallèles.
3° Les équations (2) se réduisent à une seule; la quadrique a une infinité de points doubles, qui sont tous les points d'un plan. Dans ce cas, la forme / est un carré parfait et la surface se compose de deux plans confondus avec le plan des points doubles.
EXERCICES
1. Chercher le centre de chacune des surfaces définies par les équations données en exercice au Chapitre précédent.
