L'hélice a-t-elle un centre
5. Si trois cordes d'une quadrique se coupent mutuellement en parties égales, leur point commun est le centre de cette quadrique.
6. Quand deux surfaces sont homothétiques, si l'une d'elles a un centre, l'autre en a aussi un et les deux surfaces sont homothétiques directes et homothétiques inverses, le rapport de similitude étant le même, au signe près; réciproque.
7. Lieu des centres des quadriques représentées par l'équation
x^-if- yï — ^2 ( ipzx -\~ 1 qyz — -lax — iby -\- icz = o, a, 6, c étant positifs et donnés, et p et q variables. Cas où p et g sont liés
23o CHAPITRE XV.
de façon que l'équation représente un cône. Indiquer la partie du lieu qui correspond à des hyperboloïdes à une nappe et celle qui correspond à des hyperboloïdes à deux nappes. {École Polytechnique, 1862.)
PLANS DIAMÉTRAUX. — DIAMÈTRES.
244. Définition. — On nomme surface diamétrale d'' une surface donnée le lieu des milieux des cordes de cette surface qui sont parallèles à une direction donnée.
Dans le cas d'une surface algébrique d'ordre m, la surface diamétrale conjuguée à une direction donnée sera, en général, une surface algébrique d'ordre ^
Il en résulte que, dans le cas d'une quadrique, les surfaces diamétrales sont des plans. Nous allons étudier plus particulièrement ce cas particulier.
245. Cas du second degré. — Soient .Tq, ^o> ^0 les coordonnées d'un point M et a, ^, y les paramètres d'une direction donnée, D. Les points d'intersection d'une sécante menée par M parallèlement à D et de la quadrique ajant pour équation
sont définis par les formules
-œ = XQ+a^, j=Jo-hPp, -s — 2o-t-Yp, dans lesquelles p est l'une quelconque des racines de l'équation (i) p'-ç(a, p, y)+ p(a/;^-t- py;„ + t/;J ^fixo, Jo, ^o) = o.
Il convient de distinguer plusieurs cas.
PLANS DIAMÉTRAUX. 23 I
Premier cas: 'f(o(., ^,y)^o. — La direction des cordes n'est pas une direction asymplotique. Pour que le point M soit le milieu de la corde parallèle à D menée par ce point, il faut et il suffit que les racines de l'équalion précédente soient égales et de signes contraires, c'est-à-dire que
Le lieu cherché est donc défini par l'équation
Je dis que cette équation représente un plan à distance finie. En effet, on peut l'écrire ainsi :
x^'^-\- y^'a-k- zo'y-{- -iCoL -^ iC ^ -^- 2 G" Y = o.
On ne peut supposer les trois coefficients des variables nuls, car les équations ©^ = o, cp^ = o, cpÇ = o entraîneraient cp (a, [3, y) = o, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Nous arrivons ainsi à cette conclusion : dans toute quadrique, le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction non asymptotique est un plan à distance finie, qu'on nomme le plan diamétral conjugué à la direction donnée.
Deuxième cas : ç)(a, ^,y) = o. — Toute parallèle à la direction donnée D, menée par un point quelconque M, rencontre la surface au plus en un seul point à dislance finie; donc, quelle que soit la position de M, il est impossible que ce point soit le milieu d'une corde parallèle à D. Toutefois, il peut arriver que l'équation ay^-f- ,3y^'. 4- y/-' = o représente encore un plan à dislance finie.
Les équations a^ = o, (p ^ =z= o, cpÇ ^ o n'ont de solution autre que zéro, que si A = o. Supposons donc A^o; dans ce cas, malgré l'hypothèse !:p(a, |3, y) = o, les coefficients des variables ne sont pas tous nuls et l'équation (2) représente un plan P à distance finie, parallèle à la direction a, |i, y, puisque l'on suppose
D'après cela, si par un point M pris dans le plan P on mène une parallèle à la direction (a, p, y), cette parallèle sera dans ce plan, et, comme les coefficients de p^ et de p sont alors nuls, l'équation (i)
s'abaisse au degré zéro, d'où il résulte que la parallèle considérée rencontre la surface en deux points à l'inlini : c'est donc une asymptote. Si l'on suppose de plus que M soit sur la surface/, la sécante sera tout entière sur la surface, carl'équation(i) disparaît alors identiquement. On en conclut que le plan P coupe la quadrique suivant deux droites parallèles à la direction D; ce plan est le plan asymptote parallèle à cette direction.
On peut montrer sans calcul que le plan P est parallèle à D. En effet, ce plan est le lieu des points M tels que la parallèle à A menée par M ne rencontre la surface q«u'à l'infini; donc, si M' est un point de cette parallèle, la parallèle à D menée par M' étant la droite MM' elle-même, M' appartient au lieu et se trouve par suite dans le plan P.
On peut regarder encore ce plan comme un plan diamétral : en effet, considérons une sécante parallèle à D et non située dans le plan P.
Cette sécante rencontrant la surface en un seul point à distance finie, le milieu de la corde correspondante est à l'infini, dans la direction D; c'est donc un point du plan P. Si la sécante est dans le plan P, les deux points d'intersection étant à l'infini, le milieu de la corde est un point quelconque de la sécante, et il en est encore de même si la sécante est tout entière sur la surface. On voit ainsi que tous les points du plan P peuvent être considérés comme des milieux de cordes parallèles à D; ce plan est donc un plan diamétral singulier.
Il resterait à examiner encore le cas où A = o, l'un des trois coefficients tp^, (d'q ou o'y étant différent de zéro; nous y reviendrons plus loin(n°W):
Troisième cas. — Supposons cp^ = o, 93 = 0, (s'y=o, les paramètres a, p, Y n'étant pas tous nuls, bien entendu ; on a donc A = o ; si en outre on suppose Ca -f- G'[3-f- C'y ^ o, on voit qu'en supposant par exemple 5 ^ o, on a A, ^ o. C'est donc le cas des paraboloïdes ; le plan P est alors à l'infini. On a ainsi
a/i+P/j+T/3 = const.
ce qui exprime, comme nous le savons, que les plans du centre d'une paraboloïde sont parallèles à une même droite.
Quatrième cas. — Supposons que dans l'équation (i)le coefficient
PLANS DIAMÉTRAUX. 233
de p soit identiquement nul. On a alors
ce qui exprime que les plans du centre ont une droite commune; c'est le cas des cylindres; la direction asymptotique est celle des génératrices; pour cette direction le plan P est indéterminé.
Remarques. — i° Les plans du centre sont les plans diamétraux conjugués aux directions des axes des coordonnées.
2° Le terme constant de l'équation de la quadrique n'intervient pas dans l'équation du plan diamétral conjugué à une direction donnée : donc le plan diamétral conjugué à cette direction est le même pour une quadrique et pour son cône asymptote. Tl en résulte que, si une droite est coupée en A et B par un hyperboloide et en A' et B' par le cône asymptote de cet hyperboloide, on a
AÂ' = BB'.
246. Théorème. — Dans une surface à centre unique, tout plan diamétral passe par le centre et réciproquement.
En effet, les équations du centre étant f!^ = o, f'y=^ o, f'^ = o, tout plan dont l'équation est de la forme (2) passe par le centre. Réciproquement, les trois plans du centre formant un trièdre, tout plan passant par le centre peut être représenté par une équation de la forme (2) : c'est donc le plan diamétral conjugué à la direction a, p, Y- Mais ce plan peut être un plan diamétral singulier.
247. Théorème. — Dans une sur/ace à centre unique à l'infini, les plans diamétraux sont parallèles à une droite fixe.
En effet, on peut mettre l'équation d'une telle surface sous la forme
PQ + R = o où
P = ax -t- by -f- cz, Q = a'x •+■ b' y 4- c z, R = a' X 4- b'y -\- c" z -+- D,
les coefficients de P et de Q étant d'ailleurs réels ou imaginaires.
On,a
tout plan diamétral est parallèle à l'intersection des plans P, Q, c'est-à-dire des plans directeurs. Les plans du centre sont donc parallèles à cette même droite.
Supposons que
cp( a, p,Y)==(aa-i-6p-i-CY )(«'«-+- 6' p-f-c'Y) = o;
soit par exemple
a% -)- 6p + cy = o.
Dans ce cas, le plan diamétral conjugué a pour équation
P(rt'a + è'P + c'y)+ «"3: -f- 6"p -f- c"-[ = o;
il convient de noter que ce plan est à distance finie tant que la direction considérée n'est pas parallèle à l'intersection des plans directeurs.
Au contraire, si l'on suppose
«a -1- èp -I- cy = o et <z'a -1- 6'^ ■+■ c'y = o,
on ne peut pas supposer en outre
puisque P, Q, R sont trois polynômes distincts; dans ce cas, le plan diamétral est rejeté à l'infini.
218. Théorème. — Tout plan diamétral d^ un cylindre à centre passe par la ligne des centres.
Car les équations/^ = o, /^ = o, /j =: o représentant trois plans ayant une droite commune, l'équation ay^+ ^/y+y/z= o représente un plan passant par cette droite.
249. Théorème. — Tous les plans diamétraux d'un cylindre parabolique sont parallèles aux plans des centres.
En effet, les équations f^ = o, f^. = o, fz = o représentent des plans parallèles.
On peut d'ailleurs étudier ce cas directement. En effet, l'équa-
PLANS DIAMÉTRAUX. 235
lion d'un cylindre parabolique est de la forme
où
P -— ax -\- by -\- cz, Q = a'x -+- b' y -h c' z -t- d' . Donc
a/^+ P/;+Y/; = 2P(«a4-6p-f-CY)-f-2(a'a-f-6'p + c'y).
Le plan diamétral est à l'infini si « a + 6 [3 + c y = o, et indéterminé si en outre a' ci -{- b' '^ -\- c'y = o.
2o0. Plans diamétraux des systèmes de plans parallèles. — En remplaçant dans l'équation précédente Q par une constante et P par un poljnome linéaire complet, on voit que le plan diamétral conjugué à une direction quelconque dans un sytème de deux plans parallèles est le plan équidistant de ces deux plans. Il est indéterminé, si la direction des cordes est parallèle aux plans donnés.
Remarque. — On peut dire que, dans toute quadrique, un pian diamétral passe par le centre ou parle lieu des centres.
2ol. Problème. — Un plan étant donné, ce plan peut-il être regardé comme un plan diamétral d'une quadrique donnée?
II faut que l'on puisse mettre l'équation de ce plan sous la forme (2). Donc ce plan doit passer par tout centre de la surface. Nous avons déjà étudié le cas d'une quadrique à centre unique. Le cas des cylindres à centres est à remarquer. Prenons la ligne des centres pour axe des z\ l'équation du cylindre sera
Aar2-f- A>2-i- D = o.
Il s'agit d'identifier l'équation
ux-^vy-\-wz-\-h=^o avec
Aa.r -f- A' j3/ = o.
On a les conditions tv = o, A = o et pour déterminer a et p :
Aa A'P u ~ V
Il y a donc une infinité de cordes parallèles à un plan et telles que le plan diamétral conjugué à l'une quelconque de ces cordes coïncide avec un plan donné passant par la ligne des centres.
252. Exercice. — Trouver une surface du second degré telle que les plans diamétraux conjugués à deux directions différentes soient parallèles.
La surface cherchée ne peut être de la première classe. Considérons un paraboloïde dont l'équation peut être mise, comme on l'a vu, sous la forme
Les plans diamétraux conjugués à deux directions (a, p, y) et (a', P', y') ont pour équations
A P'jK -+- A'y'z -f- a' = 0.
Ces plans sont parallèles si
ce qui exprime que, si l'on mène par un point une parallèle à l'intersection des plans directeurs et une parallèle à chacune de ces directions, les trois droites obtenues doivent être dans un même plan.
Diamètres.
253. On nomme diamètre l'intersection de deux plans diamétraux d'une quadrique. Tout diamètre passe par chaque centre de la quadrique. Dans une surface à centre unique, toute droite passant par le centre est un diamètre. Dans un paraboloïde, tous les diamètres sont parallèles. Dans le cas d'un cjlindre, il n'y a qu'un diamètre, qui coïncide avec la ligne des centres. Si le cylindre est parabolique, le diamètre est rejeté à l'infini.
254. Théorème. — Les plans diamétraux conjugués à toutes les cordes parallèles à un plan donné P passent par une droite qu'on nomme le diamètre conjugué du plan P et qui est le lieu des centres des sections faites dans la quadrique par des plans parallèles au plan P.
Soit
ux -\- vy ■+- wz = o
l'équation du plan donné, qu'on peut supposer mené par l'origine des coordonnées. Soit
PLANS DIAMÉTRAUX. 287
l'équation du plan diamétral conjugué à une direction (a, |3, y) telle que
Il est évident que le plan diamétral considéré contient la droite ayant pour éciuations
On peut d'ailleurs remarquer que, si l'on suppose, par exemple,
W ^ o, on peut remplacer y par !-; de sorte que 1 équation
du plan diamétral devient
et sous cette forme on voit que, cette équation renfermant le paramètre ^ au premier degré, le plan qu'elle représente pivote autour de la droite ayant pour équations
Lorsque le j)lan P coupe la quadrique suivant une conique à centre, le lieu des centres des sections faites par des plans parallèles au plan P est la droite précédente. Ce résultat est évident géométriquement, car si par le centre M d'une de ces coniques on mène une corde PQ parallèle au plan P(ce qui est possible), le plan diamétral conjugué à la direction PQ passe par M; le point M appartient donc à tous les plans diamétraux considérés et par suite à la droite qu'ils contiennent tous; cette droite est donc bien le lieu des centres des sections faites par des plans parallèles à P.
On établit facilement ce résultat par le calcul. Soit en effet M[xQ,yQ^ So) le centre d'une de ces coniques. Si l'on mène par M une corde de direction (a, p, y) on a, le point M étant le milieu de cette corde,
Cette équation est vérifiée par tous les systèmes de solutions de
l'équation
«a -t- f p -t- ivy = o.
Ces deux équations du premier degré devant avoir les mêmes solutions, ont leurs coefficients proportionnels; donc
Jt„ Jva J^n
rp
255. Remarque. — Il peut se faire que le plan P coupe la quadrique donnée suivant une parabole et que néanmoins le diamètre conjugué à ce plan soit à distance finie. Gela est facile à expliquer : parmi les plans parallèles à P il s'en trouve un qui coupe la quadrique suivant deux droites parallèles; le lieu des centres sera la droite équidistante de ces deux droites et située dans leur plan.
Prenons le plan P pour plan des x, y et rapportons la section à son axe et à sa tangente au sommet et supposons en outre que le plan xOz soit le plan diamétral conjugué à la direction des y. L'équation de la quadrique sera de la forme
y"^ — '>.px -\- A"^2^ -iB'zx -h ^C"z = o.
Le diamètre conjugué au plan des x, y a pour équations
fx = o, /y = o,
c est-a-dire
Or la section de la surface par le plan B'^ — ^ = o a pour équations
Bz-p = 0, J.2-H -g^ +2 -gf =0,
cette section se compose donc de deux droites équidistantes du diamètre trouvé. Si B'= o, le diamètre est à l'infini.
2o6. Théorème. — Le plan diamétral conjugué à la direction du diamètre conjugué à un plan P est parallèle à ce plan.
En effet, la parallèle au diamètre trouvé, menée par l'origine, a pour équations
Si l'on nomme );, ix, v les paramètres directeurs de cette droite, on a donc
le plan diamétral conjugué à la direction (X, a, v) a pour équation
.rca^-H;^cp' -f-3cp^-i- aCX -)-^G'[jL -)- aCv = o,
PLANS DIAMÉTRAUX. 289
c'est-à-dire
UX -h Vy -h IV z -h h = o,
h étant une constante, ce qui démontre la proposition.
On peut donc définir le diamètre conjugué à un plan P : un diamètre tel que le plan diamétral conjugué à sa direction soit parallèle au plan P.
257. Problème. — Mener par un point donné A(a7o,^o>^o) "^ plan gui coupe une quadrique donnée suivant une conique ayant son centre en A.
L'équation du plan demandé est de la forme
u(x -Xo)H-t'(^— 7o)+«^(- — -o) = o; le point A devant être sur le diamètre conjugué à ce plan, on doit avoir
J x„ ./r„ J Zn .
donc l'équation demandée est
{x—x^)f\.^^{y -jKo )/;„-+-(- — -o)/;„= o.
1. Trouver l'équation de la surface diamétrale conjuguée à une direction donnée et relative à une surface algébrique quelconque.
Appliquer la méthode à la surface ayant pour équation
a73|^3| 33 — "^xyz -1-1 = 0.
1° Pour une direction quelconque de cordes; 2" pour des cordes parallèles au plan x -{- y -^ z =■ o.
2. Lieu des centres des moyennes distances des points d'intersection d'une surface algébrique et d'une sécante variable parallèle à une direction donnée.
3. Trouver le lieu des cordes d'une quadrique qui ont leur milieu en un point donné.
4. Lieu des cordes d'une quadrique, telles qu'un point donné les partage toutes dans un rapport donné.
5. Démontrer les théorèmes de Newton, Mac-Laurin {voir t. II, p. 73, les théorèmes relatifs aux courbes) pour une surface quelconque. Appliquer ces théorèmes à une quadrique et considérer en particulier des sécantes issues du centre.
M-^OfiMi ■
