PLANS PRINCIPAUX. — CORDES PRINCIPALES. — AXES. ÉQUATION EN S

258. On nomme plan principal tout plan diamétral perpendiculaire aux cordes qu'il divise en parties égales; la direction de ces cordes est alors appelée direction principale.

1° Supposons les axes de coordonnées rectangulaires. Le plan diamétral conjugué à la direction (a, [3, y) ayant pour équation

(i) ^?cx+J'?3+ •^?y + '^^"^ ^~ aC'P -I- 2G"y = o;

la direction donnée sera une direction principale si

cp,, T

En prenant comme inconnue auxiliaire la valeur commune de ces rapports, que nous appellerons 2 S, nous devrons trouver des valeurs non toutes nulles de a, [^, y, vérifiant le système

(3) f<Fâ=S«, i?p=Sp, i<pV=SY,

ou, en développant,

(A — S)a4-R"p + B'Y = o, B"a + (A'— S)^-+-By =o, B'a4-Bp-l-(A*- S)y = o.

Pour que ces équations soient vérifiées par des valeurs de a, ^3, y non toutes nulles, il faut et il suffît que S soit racine de l'équation suivante, dite équation en S,

ou, en développant,

— A(S) = S3 — (A + A'-}-A")S2+(a-ha'-Ha")S - A = o,

rt, «', a!' étant les mineurs symétriques du déterminant A, de sorte quea = A'A"-BS a,'=A"A — B'^, «"zzz AA'— B"».

'1° Supposons les axes obliques. Dire que le plan diamétral conjugue à la direction a, p, y est perpendiculaire à celte direction revient à dire qu'il est parallèle au plan diamétral conjugué à la même direction dans une sphère. Donc, la direction considérée sera une direction principale si

Ta ?^ ?Y Si l'on désigne par S la valeur commune de ces rapports, on a alors

L'équation en S provenant de l'élimination de a, p, y s'obtient donc en égalant à zéro le discriminant de la forme

Discussion de l'équation en S.

MÉTHODE DE MM. KtlONECKER ET WALECKI.

2o9. A(S) est le discriminant de la forme

Soit a -^ bi une racine de l'équation A (S) = 0; pour cette valeur de S, la forme précédente est la somme de deux carrés au plus, et l'on peut poser

<:^{x,y,z) — {a^bi){x^-\-y^+z-^)^{V^'P' iy -;- ( Q -+- Q' t )2,

P, P', Q, Q' désignant des polynômes entiers en x, y, z à coefficients réels; quelques-uns de ces polynômes pouvant d'ailleurs être identiquement nuls. Or on peut, et cela d'une infinité de manières, attribuer à x, y, z des valeurs Xo, yo, Zo non toutes nulles pour lesquelles les polynômes P' et Q' (qui sont, au plus, au nombre de deux) se réduisent à zéro. On a, pour ces valeurs,

fi^o,yo, ^0) -ia-^ bi){xi-^yl-+- zi) = Pi-r- qi,

Po et Qo étant ce que deviennent P et Q après la substitution. Le second membre de cette égalité étant réel, il en est de même du premier, ce qui prouve que 6(a-g -f- j§ -t- z^) = o, c'est-à-dire 6 = 0.

La démonstration précédente s'étend à l'équation obtenue en égalant à zéro le discriminant de la forme

a{Xi,Xi, ...,Xn) — S(fi{Xi,X.2, . . ., Xn),

'^{xijXi, ...,x„} désignant une forme quadratique quelconque, et

ç>,(a-,,a:2, ...,x„) NiEWENOLOWSKI. — G. an., III. 16

une forme quadratique définie. En particulier elle s'applique à l'équalion en S relative à des axes obliques (2S9, 2°).

Conditions pour que l'équation A(S) = o ait une racine multiple. — Il s'agit de savoir si l'on peut déterminer S de façon que A(S) = o et A'(S) = 0. Or, on trouve

en désignant par «g, «g, «g les mineurs symétriques de A(S). Mais, en vertu de la remarque faite plus haut (224), si A(S) =0, S étant dès lors réel, deux mineurs symétriques de A(S) qui seraient différents de zéro auraient le même signe; la somme de ces trois mineurs devant être nulle, chacun d'eux est nécessairement nul, et il en est alors de même des trois autres mineurs. Réciproquement, si tous les mineurs du premier ordre de A(S) sont nuls, il est clair que A(S) = o et A'(S) = o. Donc, pour que l'équation en S ait une racine multiple, il faut et il suffit qu'il y ait une valeur de S pour laquelle les mineurs du second degré de A(S) soient nuls, c'est-à-dire :

( (A — S)(A'— S) — B"2=o, B"(A"— S)-BB' =0.

Pour que S soit racine triple, il faut en outre que A"(S) = o, c'est-à-dire :

Mais, en vertu des équations (6), deux des trois^différences A — S, A' — S, A" — S qui ne seraient pas nulles, devant avoir le même signe, on en conclut que, chacune de ces différences doit être nulle, et par suite, toujours en vertu des équations (6), on doit avoir

Réciproquement, si ces conditions sont remplies, on voit immédiatement que A(A) = o, A'(A) = o, A"(A) = o, et par suite, dans le cas de la sphère et seulement dans ce cas, l'équation en S a une racine triple, égale au coefficient de x'^. Si les équations (6) peuvent être vérifiées et si la surface n'est pas une sphère, l'équation en S a donc une racine double.

Si aucun des coefficients B, B' ou B" n'est nul, on tire des équations (6)

c A B'B" ^ B"B j^ „ BB' S=A g-, S = A ~, S = A ^,

et par suite on doit avoir

B'B" B"B „ BB'

Ces conditions sont donc nécessaires pour que l'équation en S ait une racine double, quand B, B', B" sont différents de zéro; elles sont suffisantes, car si elles sont remplies et si l'on remplace S par la valeur commune de ces expressions, on voit que les équations (6) sont vérifiées.

Supposons en second lieu B" = o ; la dernière des équations (6) montre qu'un second coefficient des rectangles, par exemple B', doit être nul : donc si un seul des coefficients des rectangles est nul, l'équation en S a ses trois racines siniplos.

Supposons enfin B"= o, B'=: o et B j^^ o; les équations (6) donnent alors

Si B — B' = B" = o, les équations (G) se réduisent à

et il suffit alors que deux des coefficients A, A', A" soient égaux, et leur valeur commune est alors la racine double. En résumé, si B" = o, les conditions sont

B'=o, (A'— A)(A"— A)-B-2 = o et S == A

ou

B = o, (A — A') (A"— A') — B'2 = o et S = A'.

Ainsi, il faut deux conditions pour que l'équation en S ait une racine <iouble, quand les coefficients sont réels.

On peut résumer ainsi la discussion :

Pour que l'équation en S ait une racine double, il faut et il suffit qu'il existe une valeur de S telle que (^{x,y,z) — S(x^-\- y^-h z^) soit un carré parfait; et pour qu'elle ait une racine triple, que cette forme soit identiquement nulle.

APPLICATION DE l'ÉQUATION EJV X.

260. L'équalion en S n'esl pas autre chose que l'équation en À relative aux deux coniques ayant pour équations, dans le plan xOy,

\x--i- iWxy -+- A'j'2}-2B'a:-f- iBy -+- A"= o, x--{-y^-^i — o.

l.a seconde équation représentant une conique imaginaire, les quatre points communs aux deux coniques considérées sont nécessairement imaginaires, ce qui prouve que l'équation en \ relative à ces coniques a ses trois racines réelles.

En second lieu, pour que l'équation en À ait une racine double, il faut et il suffit que les deux coniques soient tangentes; le point de contact étant nécessairement imaginaire, les deux coniques sont alors tangentes en deux points imaginaires conjugués; donc si l'on remplace \ par la racine double S, on a

o{x,y, I) — S(a:-2-i-^2+i) = sP«.

L'équation en "k aura une racine triple si les deux coniques ont un contact du second ordre; mais, le point de contact étant imaginaire, il j aurait un second contact du second ordre, imaginaire conjugué du premier, ce qui est impossible à moins que les deux coniques ne coïncident; dans ce cas, la quadrique proposée est une sphère.