B'(A'— P) — BB

Si les deux numérateurs des fractions précédentes sont différents de zéro, on a le tableau suivant :

SI — co a P H- 00 A(S)| -+-—+ —

Dans ce cas, les trois racines sont réelles, distinctes et séparées par les intervalles précédents. L'équation B'(A'— S) — BB"=o étant du premier degré, il peut arriver que l'un des nombres a ou ^ soit une racine de cette équation 5 supposons que ce soit a. Dans ce cas, A(a) = o. L'équation en S a alors une racine égale à a et une racine comprise entre ^ et 4-oc; sa troisième racine est donc réelle et peut d'ailleurs être égale à a ou en être distincte.

Deuxième cas. — IJ un des coejficients des rectangles, par exemple B"= o.

En suivant la méthode précédente, on reconnaît que les Irois racines sont réelles et toujours distinctes.

Troisième cas. — Deux des coejjicients des rectangles sont nuls.

Les trois racines sont réelles et égales à A, a, [îi.

Dans ce cas, il y aura une racine double si A.= a ou A=:P,

c'est-à-dire si

et il ne peut y avoir de racine triple. Qlatkièmê cas. — B = B'= B"= o,

Les racines sont mises en évidence. Il y a une racine double si <leux des coefficients A, A' ou A" sont égaux. Si A= A', la racine double est égale à A. Si A = A'= A", A est racine triple.

Conditions pour que V équation en S ait une racine double. — Nous n'avons plus à nous occuper que du cas oîi B, B', B" sont différents de zéro. Il résulte de la discussion faite dans le premier cas que l'équation A(S) = o ne peut avoir de racine double différente de a ou de (3. On doit donc avoir, si S est racine double,

(A'— S)(A"— S)-B2=o, B'(A'— S) — BB"=o et A'(S) = o.

On tire des deux premières équations