B'B" BB" BB

on vérifie immédiatement que A(S) = o, A' (S) = o.

Les conditions précédentes sont donc nécessaires et suffisantes pour que A(S) = o ait une racine au moins double.

Conditions pour que Véquaùon en S ait une racine triple. — Il s'agit de trouver à quelles conditions il existe une valeur de S

telle que

A(S) = o, A'(S) = o, A"(S)=o. Or

Mais en vertu des deux premières conditions A — S, A' — S et A" — S ont le même signe, celui de BB'B"; donc on doit avoir A = A'=A"^S, ce qui est impossible, car A — S étant égal à

—j5— n'est pas nul; donc,, si BB'B"^ o, l'équation n'a pas de racine

triple. Supposons donc, par exemple, B" = o, B' = o. Dans ce cas, l'équation ne peut avoir une racine triple que si B ^ o el A = A' = A".

En résumé, l'équation en S ne peut avoir ses trois racines égales que si l'équation y(^,jV'5 s) ^ o représente une sphère.

Remarque. — La méthode de discussion de Gauchy s'applique à une équation A(S) = o, dont le premier membre est obtenu en retranchant S à chacun des éléments de la diagonale principale d'un déterminant symétrique. Les racines de l'équation obtenue en annulant le déterminant mineur formé au moyen des p premières lignes el des p premières colonnes séparent les racines de l'équation obtenue en annulant le mineur formé avec les jo -h i premières lignes et les/?-+-i premières colonnes.