Orljfceut dire que l'équation

(7) (A — S)aH-B"p + B'Y = o

est l'équation en S, pourvu que a, p, -{ soient regardés comme définis par les

équations

( B"a-v-(A'— S)p-i-BY=o,

B'a + Bp-f-(A" — S)y = o,

en supposant, en outre, par exemple, a^ -+- ^2 [ ^2 — j .

Je dis que, si l'équation A(S) = o a une racine double, les mineurs de A(S) sont tous nuls. En effet, posons

(A' — S)(A"— S) — B'- = a, BB'-B"(A"-S) = 6", BB"— B'(A'— S)= 6',

et supposons que l'un au moins des mineurs «, 6", b' soit différent de zéro. On tire alors des équations (4),

a — Xrt, ^ = \b", Y = ^^', d'où

Mais on doit annuler la dérivée du premier membre de l'équation (7) par rapport à S ; donc on doit poser

(A — S)a'-4-B''p'+B'Y' = a, B''a'-+-(A' — S)P'~By' =-- p, B'a'-i-B!B'^(A''-S)Y' = Y,

a', 3', y' étant les dérivées de a, !3, y prises par rapport à S.

En ajoutant membre à membre, après multiplication par «, 6", b' , on trouve

c'est-à-dire

Mais, d'après ce qui précède, les deux facteurs de cette équation sont différents de zéro; il est donc impossible de supposer un mineur difterent de zéro (voir Nouvelles Annales, 1891, p. 5o3, où la méthode est généralisée).

264. Théorème. — Les coejfficients de Véquation en S sont des invariants.

Le discriminant de la forme o{x,y, z) — 'à'^{x,y, z) est un invariant relativement à toute substitution linéaire, quel que soit S ; il en est donc de même des coefficients des différentes puissances de S.

En particulier, dans le cas d'une transformation de coordonnées rectangulaires, le module de la substitution est égal à i, et, par suite, si l'onjiommc Al, A',, ... les coefficients de l'équation transformée, et Ai(S) le^ouveau discriminant, on a

A,(S) = A(S); il en résulte que

a H- «' -f- a" = ai -+- a'i -t- a'[ .

A ::= Al.

On voit que les racines de l'équation en S ne changent pas quand on fait une transformation de coordonnées. On en conclut immédiatement que S' est une racine double si pour S = S' tous les mineurs du premier ordre du discriminant A(S) sont nuls, que les axes soient rectangulaires ou obliques et que l'équation en S n'a une racine triple que dans le cas de la sphère.

25o CHAPITRE XVI.