DÉTERMINATION BES CORDES PRINCIPALES
265. Théorème. — A une racine simple de C équation en S correspond une direction unique de cordes principales ; à une racine double correspondent une infinité de directions principales qui sont parallèles à un même plan. Quand V équation en S a une racine triple, toutes les directions sont des directions principales.
Supposons, en effet, que S désigne une racine simple; dans ce cas, l'un au moins des mineurs de A(S) est différent de zéro; donc les équations (4) se réduisent à deux. Supposons, par exemple, le mineur (A — S)(A' — S) — B"- 7^ o ; les équations
(A — S)a-f-B"P-^B'Y = o, B"a + (A' -S)P-+- By --- o
déterminent les rapports mutuels de a, [3, y^ à la racine S considérée ne correspond donc qu'une seule direction principale, qui est celle de l'intersection des plans définis par les deux équations précéden tes, quand on y remplace a, ^, y par des coordonnées courantes. D'ailleurs, on tire de ces équations
BB"— B'(A'— S) B'B"-(A — S)' c'est-à-dire
Ba(S — A) = B'j3(S — A')-
On retrouve ainsi un résultat déjà obtenu.
Supposons que S soit une racine double; les mineurs de A (S) étant tous nuls, les équations (4) se réduisent à une seule; supposons que
ce soit la première
il j a, dans ce cas, une infinité de directions principales, parallèles au plan ayant pour équation
{A~S)x-hB"y-+-B'z = o.
B' B" Supposons BB'B"^o; dans ce cas, A — S = ^^> etl'équation
précédente peut s'écrire
Si B" = B' = o et S = A, la première des équations (4) disparait, les deux autres
(A'A)P-f-BY = o,
Bp-t-CA» — A)y = o
sont identiques, puisqu'on suppose (A' — A) (A" — A) = B^. Il j a donc alors une infinité de directions principales qui sont parallèles au plan défini par l'équation
(A' — A) y -h Bz = o.
Enfin, dans le cas de la sphère, les équations (4) disparaissent quand on pose S = A; donc, dans ce cas, toute direction est une direction principale, ce qui est é\'ident a pj'iori.
266. Théorème. — Deux directions principales qui correspondent à deux racines distinctes de Inéquation en S, sont rectangulaires.
En effet, soient S et S' deux racines distinctes et a, [3, y; a', |B', y' les paramètres directeurs des cordes principales correspondantes. On a
doL dp ^ d'( '
^, = 2Sa, jp = ^^^, dY='^^-
On en déduit immédiatement
d'où, en retranchant membre à membre,
o = (S-S')(aa'-f-p?'-+-YY'), ce qui prouve que
aa'-i- PP' -f-YY'= o> et aussi que
, do „, do , do
On voit ainsi que les cordes sont rectangulaires et, en outre, que
chacune d'elles est parallèle au plan diamétral conjugué à l'autre, c'est-à-dire que les deux directions sont conjuguées.
267. Remarque. — De ce qui vient d'être établi résulte une nouvelle démonstration de la réalité des racines de A(S) = o. En effet, si cette équation avait une racine imaginaire p -^ qi, on pourrait déduire des équations (4), pour S =p-i-qi, une solution a ^= a -\~ a' i , ^ =^ b -\- b' i, -^ =c -h c' i; mais ce système serait évidemment vérifié en posant
S'=/J — qi, ce' ^= a — a' i, P'=6 — b'i, y' = c — c' i.
Or la condition aa' -f- p3' -+- yy' = o donnerait
c'est-à-dire
a =z a' -= b := b' = c = c' = o, et, par conséquent,
ce qui est contraire à l'hypothèse.
268. Théorème. — A toute direction principale donnée par une racine, différente de zéro, de V équation A(S) = o, correspond un plan principal à distance finie.
En effet, l'équation du plan diamétral correspondant à une direction principale a, p, y est
^Ça'^Jîa "+~ ^?Y-^ '^Ga -t- aC'P -f- aCy = o,
c'est-à-dire
S(a.r -f- Pjk -^ Y-2) + Ga + G'p + C'y =^ o.
Ce plan ne peut être rejeté à l'infini, ou indéterminé, que si l'on suppose Sa = o, S[i = o, Sy^o, c'est-à-dire si S = o, puisque l'un au moins des paramètres a, [3, y est différent de zéro.
A une racine simple non nulle de l'équation en S correspond un plan principal unique; à une racine double non nulle cori'espondent une infinité de plans pi-incipaux perpendiculaires à un plan déterminé et passant par vine même droite (254).
269. Théorème. — U équation en S ne peut avoir ses trois racines nulles.
En effet, si les trois racines sont nulles, l'équation a une racine
triple; donc
en outre, la racine triple est égale à A; donc il faudrait supposer A -n A' = A' = B = B' = B" = o.
270. Corollaire. — Une quadrique possède au Dioins un plan principal à distance finie.
En effet, une au moins des racines de l'équation en S est diflTérente de zéro.
271. TnÉouisME. — U ne quadrique à centre unique possède au moins un système de trois plans principaux formant un trièdre trirectangle.
En effet, supposons d'abord les trois racines de l'équation en S distinctes; le terme constant de l'équation en S est égal au discriminant A de la fonction '•o{x, y, z); il est différent de zéro, ce qui montre que chacune des racines est différente de zéro, et, par suite, qu'à chacune d'elles correspond un plan principal à distance finie. Si l'on mène par le centre trois droites OA, OB, OC parallèles aux cordes principales, ces trois droites forment un Irièdre trirectangle. Le plan diamétral conjugué à la direction OA est précisément le plan OBG; OAC est le plan diamétral conjugué à OB, et enfin OAB le plan conjugué à OC 5 les trois faces du trièdre sont donc les trois plans principaux.
Supposons, en second lieu, que, l'une des racines étant simple, les deux autres soient égales; appelons S, la racine simple et Sa la racine double. Menons par le centre une droite OC parallèle à la direction principale correspondant à S,. A la racine So correspondent une infinité de directions principales perpendiculaires à Si^ |)Our mieux dire, toute droite perpendiculaire à OC est une direction principale; donc, si l'on prend deux droites OA, OB formant avec OC un trièdre trirectangle, les faces de ce trièdre seront des plans principaux ; on obtient ainsi une infinité de systèmes de trois plans principaux rectangulaires deux à deux. Les plans principaux correspondant à la racine double passent tous par une droite qui est le diamètre conjugué au plan parallè.le aux cordes principales fournies par celte racine double.
Enfin, si les racines de l'équation en S sont égales, la quadrique est une sphère et tout système de trois plans diamétraux rectangulaires deux à deux constitue un système de trois plans principaux.
272. Théorème. — Un paraboloïde a au moins un système de deux plans principaux rectangulaires, parallèles à la direction des diamètres.
L'équation ea S, relative à un paraboloïde, a une racine nulle à laquelle correspond un plan principal à l'infini. Pour le pi'ouver, il suffît de remarquer que les paramètres directeurs des cordes principales qui correspondent à la racine nulle sont déterminés par les
équations
B"a + A'p-)- By = o,
Or, si l'on regarde a, [^, y comme des coordonnées courantes, ces équations sont précisément celles des plans du centre; on sait que ces plans sont parallèles à une droite déterminée, et de plus on ne
peut pas supposer
Ga-^G'P^C"Y = o,
car la quadrique serait alors un cylindre; le premier membre de l'équation du plan principal conjugué à la direction a, [3, y se réduit donc à une constante différente de zéro.
Les deux autres racines de l'équation en S, si elles sont distinctes, fournissent deux directions principales distinctes; on a ainsi trois directions principales, rectangulaires deux, à deux; les plans principaux qui correspondent aux racines non nulles sont donc perpendiculaires entre eux et parallèles à la direction des diamètres.
Si les racines non nulles sont égales, il correspond à la racine double une infinité de cordes principales perpendiculaires à la direction des diamètres; en choisissant deux directions quelconques, perpendiculaires entre elles et aux diamètres, on aura une infinité de systèmes de deux plans principaux rectangulaires passant par une même droite.
273. Théorème. — Dans le cas des cylindres, le plan principal correspondant à la racine nulle de l'équation en S est indéterminé.
Prenons pour axes des x et àes y les axes de symétrie d'une section droite d'un cylindre à centres, l'axe des z étant perpendiculaire
oux deux premiers axes; l'équalion du cjlindre est alors de la forme
Aarî^ A>2-f-D = o.
L'équation en S i*elative à ce cylindre est
S(A— S)(A.'~S) = o; les racines sont
Si = o, S» "A, Sa = A'.
La direction principale correspondant à Si est délînie par les
équations
Aa = o, A'^ = o,
Cette direction est celle de l'axe des z; le plan principal correspondant est visiblement indéterniiné.
On vérifie immédiatement que les denx autres racines donnent pour plans principaux le plan xOz et le plan j/'Oz. Si ces racines sont égales, A = A', le cylindre est de révolution et tout plan passant par son axe est un plan principal. r
Considérons maintenant le cas d'un cylindre parabolique. On peut
évidemment mettre l'équation d'un cylindre parabolique sous la
forme
y"^ — o.px — o.
L'équalion en S se réduit alors à S-(i — S) = o. A la racine nulle, qui est double, correspondent une infinité de cordes principales parallèles au plan ^O^; le plan principal correspondant à chacune de ces cordes est à l'infini, sauf celui qui correspond à la direction Oy et qui est indéterminé. A la racine simple correspond la direction Oy et le plan principal est le plan xOz. Le cylindre parabolique a donc une infinité de plans principaux perpendiculaires à ses génératrices et un plan principal qui est parallèle aux plans du centre. Ces résultats se vérifient d'ailleurs sur la forme générale
{ax ■+- by -r- czY-^ ia' -^ 'i-l>' y -H ac's -h c?' = o.
Conditions pour que l'équation du second degré /(a?, y, z) = o représente une quadrique de révolution (axes rectangulaires).
27i. Nous savons déjà que la forme de l'équation d'une quadrique de révolution est
Aa+ Pî==o,
0- étant le premier membre de l'équation d'une sphère, A une constante et P un polynôme du premier degré, qu'on peut d'ailleurs, sans inconvénients, supposer homogène.
On a donc, dans ce cas,
cp(ar, y, z) = k{x'^-^y^-r- z^) -h P2
et, par suite,
^{cr, y, z) - A(a72-4-72|- ^2) ^ p2.
Ce qui prouve que A est une racine double de l'équation en S relativeà cette quadrique.
Réciproquement, si l'équation en S a une racine double non nulle S, on a identiquement
<p (a;, JK, ^ ) — S (072 -H j2 -4- ^2 ) = /i p2^
p désignant un polynôme entier homogène en x, y, z et h une constante, l'équation de la quadrique est donc
S(;r2-i-j^2|^2)|. /j.p2| iQx^%Cy^-i.G'z + D = o,
c'est-à-dire
S ( a;2 + JK^-h22 i 2 a7|2j j-2^-i j t- AP2
ou
Sa-+-/iP2 = o.
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une quadrique soit de révolution est que V équation en S relative à cette quadrique ait une racine double et différente de zéro.
Équations de l'axe. — Supposons d'abord B, B', B" différents de zéro. Par hypothèse,
B'B" B"B ,, BB'
S désignant la racine double; on a donc
cp(:r,7,^) = S(:r2-H^2 i^2)^BB'B"(|^^, et, par suite,
L'axe est la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère t sur le plan P; ses équations sont donc
Supposons, en second lieu,
B"=o, B'=o et (A-A')(A -A"; — B2 = o.
On a, dans ce cas,
cp(a-, j, ;:).-- A(a72-i-j^2^^*)-H(A'—A)72-f-(A"—A)52-^ iByz;
donc
(A'— A)Pî=[(A'— A)jK + B^]2.
Les équations de Taxe sont alors
II est facile de vérifier que l'axe est le diamètre conjugué au plan auquel les cordes principales qui correspondent à la racine double sont parallèles.
