AXES
275. On appelle axe d'une quadrique un diamètre perpendiculaire au plan auquel il est conjugué. C'est donc le diamètre conjugué à un plan principal.
Un axe ainsi défini est l'intersection de deux plans principaux.
En effet, rapportons une quadrique à trois axes rectangulaires, l'axe des x étant un axe de cette quadrique, c'est-à-dire le diamètre conjugué au plan j)/-05. Ce diamètre a pour équations
OU, en développant,
B"x -^ A> + B5 -+- G' = o, B'a- -+- BjK -h iVz -f- G" = o.
Ces équations doivent se réduire aux suivantes
B''==B'=G'^GV^o.
NiEWKNGLowsKi. — G. an.. III. i-j
Ces conditions sont nécessaires; si elles sont remplies, les deux équations considérées se réduisent à
A'y -4- B^ = o, By -h M' z = o,
ce qui montre qu'on doit supposer
L'équation de la surface est donc
Plx'^-\- A'72-i- A"z2 4 'x'Qyz + 2Ga7+ D = O.
La section par le plan yOz est, d'après ce qui précède, une conique à centre; son centre est l'origine. On peut supposer que les axes Oy et O^ sont les axes de cette conique et, par conséquent, supposer B =: o ; l'équation de la quadrique est donc enfin
On voit ainsi que le plan xOy est conjugué à Oz et le plan xOz conjugué à Oy\ donc O^r est bien l'intersection de deux plans principaux.
Réciproquement, supposons que deux des plans de coordonnées soient des plans principaux et quey'= o se réduise ky = o etyj = o à ^r=o; on voit immédiatement que l'équation de la surface est de la forme trouvée plus haut.
276. Remarque. — Un axe est un axe de symétrie, comme cela résulte de la forme de l'équation précédente, mais la réciproque n'est pas vraie.
Cherchons en effet les conditions pour que l'axe des x soit un axe de symétrie, les axes de coordonnées étant toujours supposés rectangulaires. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les deux équations
Xx'^^X'y^^M' z^-^iByz + iB' zx-^iW xy + iCx-^'iCy + iC" z-^ D = o
et
S.x^'^k'y^-\-K"z''--^'}.Byz — iB'zx — iWxy-^iQ,x — -i.Gy—iC"z-+- h — o
soient équivalentes, ce qui peut avoir lieu de deux manières; ou bien
B'==B"== C'=C"=-o; dans ce cas, l'axe des x est bien un axe de symétrie; ou encore A = A'=A"=B==C = D = o;
l'équation se réduit alors à
B'zx 4- B'x-y -f- C'y -+- G"z = o.
Or le diamètre conjugué au plau/0;; a pour équations
il est donc, en général, rejeté à l'infini. Par exemple, si l'équation est
on voit que l'axe des z est un axe de symétrie et aussi un axe ; mais l'axe des a: est un axe de symétrie et non un axe; cela tient à ce que la surface est engendrée par une droite mobile perpendiculaire à l'axe Ox.
1277. Équations des axes : i'* Quadriques à centre unique. — Soit S) une racine de l'équation en S; les paramètres de la direction principale correspondante sont proportionnels à
B(S,— A)' B'(Si — A')' B"(St — A")'
l'axe parallèle à cette direction étant le diamètre conjugué du plan qui lui est perpendiculaire, cet axe a pour équations
2° Paraboloïdes. — L'équation en S ayant une racine nulle s'abaisse au second degré : on pourrait donc former les équations des plans principaux qui correspondent aux deux racines non nulles S2. S3 ; on aurait ainsi les équations de l'axe unique du paraboloïde considéré. On peut procéder autrement.
Les paramètres de la direction principale répondant à la racine nulle sont fournis par les équations
Aa -hB'P-^B'y = 0, B'a-^ A'P + By =0, B'a-+-B3 -+-A"y = o.
Supposons AA' — B"2 ^ o; les deux premières équations sont dislinctes et la troisième en est une conséquence. On a donc
Iv'axe étant le diamètre conjugué du plan perpendiculaire à cette
26o CHAPITRE XVI.
droite a pour équations
On peut donner à ces équations une forme plus symétrique. En effet, on peut les écrire ainsi
Vx= ^/>= -^fz
ou, en tenant compte de l'identité bb' — a"b",
bf:c=b'f;.^b"fL.
On peut mettre encore ces équations sous une autre forme. En effet, on en déduit
et, par suite, en posant
bi^b'-^-^a" ~ ''
les équations de l'axe peuvent s'écrire
(0 f'^^ikb', f'y=ikb, f'.^ika".
On en déduit facilement les coordonnées du sommet, c'est-à-dire du point de rencontre du paraboloïde et de son axe. En effet, en écrivant l'équation du paraboloïde sous la forme
^fx + yf'y -^ ^f'z -^tft^o,
on voit que les coordonnées du sommet vérifient les équations (i), lesquelles se réduisent à deux, et l'équation
(2) k{b'x-\-by-^a"z) + (lx-^C'y -^Cz-^D = 0.
278. Équations du faisceau des axes d'une quadrique. — Soient a, p, y les paramètres directeurs d'un axe ; cet axe est parallèle à une direction principale; donc
d'autre part, le diamètre conjugué à un plan perpendiculaire à cet axe a pour équations
fx __ Jj[ __ fz
Il en résulte que, pour tout axe,
Jx J y Jz
OU, sous forme explicite,
a/;-4-by;+b7^ ^ By;-i-A'/;-i-B/: ^ B7;-+-B/;+Ay^
ces équations, qui se réduisent à deux (voiV* Exercice 1), représentent le faisceau des axes de la quadriquey.
Exemples :
1° Aa:2-f- A'72-4- A"^2-4-D = o,
on trouve
Aa? A> Pi-'z X y z
ou, sous forme entière,
(A — A')ar7 = o, (A'— A")j5 = o, (A" — A) 2^ = 0,
ce qui donne
a: = O, JK = O ou ^ = O, 2 = 0 ou 5=0, 37 = o.
ou, sous forme entière,
279, Proulème. — Exprimer qiHune droite est un axe d^une quadrique.
Soient
x — x^ .r — ro -g — -^0
les équations d'une droite. Cette droite est un axe si elle coïncide avec le diamètre conjugué au plan qui lui est perpendiculaire, c'està-dire avec le diamètre conjugué au plan défini par l'équation
(i) aa?-l- p^-H Y^ = o.
Ce diamètre a pour équations
/„\ fx Jy fz
On exprime que les deux droites représentées par les équations (i) et (2) coïncident en écrivant qu'elles ont deux points communs, par
