CHAPITRE XVI. — PLA>S PRINCIPAUX

exemple le point [xq, yo-, ^o) et le point à l'infini dans la direction a, ^, V. Ecrivons donc que ce diamètre passe par le premier point, ce qui donne

et, en second lieu, exprimons qu'il est parallèle à la direction a, [3, y ; donc

Les conditions (3) et (4) sont nécessaires et suffisantes. Les conditions (4) étaient d'ailleurs évidentes a priori.

280. Problème. — Exprimer qu'un plan donné est un plan principal.

Soit

ux -\-vy -\- wz-{-h=i <^

l'équation d'un plan. Le plan diamétral conjugué à la direction perpendiculaire à ce plan a pour équation

Les conditions demandées sont donc

Remarque. — Un plan principal est un plan de symétrie et réciproquement. 11 peut cependant y avoir exception. Si l'on considère le système formé par deux plans rectangulaires P, Q, l'un de ces plans, P par exemple, peut être considéré comme un plan de symétrie, et n'est cependant pas un plan principal.

1. Trouver les directions principales d'une quadrique sans se servir de l'équation en S.

— Il suffit de remarquer que les cordes principales sont les génératrices communes aux cônes ayant pour équations

yiz— z^y — o, 5cp!p— a7o'; = o, a7o^ — jK<?x— o.

RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 203

Les deux premiers cônes ont quatre génératrices communes, mais, en général, trois de ces droites appartiennent au troisième cône, tandis que la droite if = o, ^2= o ne lui appartient pas, excepté dans le cas où les deux premiers cônes sont tangents suivant cette droite.

2. Trouver directement les cordes principales de la quadrique ayant pour équation

— On a à résouilre le système