partie du groupe précédent, on ait

■^ -h [10 ^ a -\- [Jip,

Admettons qu'il en soit ainsi et, pour fixer les idées, supposons qu'il y ait trois ternies dans ce groupe. En posant pour un instant a -i- [Ji^ = to, on voit que l'équation proposée peut s'écrire ainsi

x'^ikz^-h A.'z^'-irA"z?°) -+-a7wp = o,

P désignant un polynôme entier en z, mais dont chaque terme contient en facteur une puissance positive de x. En supprimant le facteur a;Wj nous obtenons l'équation

qui, pour a? = o, se réduit à la suivante

Xz^+A'z^'-hA"z'?"=o.

Supposons p > P' > P"; cette dernière équation a p" racines nulles et p — ji" racines finies et différentes de zéro, qui sont les racines de l'équation

(2) A3p-P"4-A'zP'-P"+A" = o.

Si nos hypothèses sont réalisées, quand x tend vers zéro, ^ — P" déterminations de z tendent vers des limites finies et différentes de zéro, et par conséquent p — P" déterminations de ^ sont des infiniment petits d'ordre (x.

Si Zi est une racine simple de l'équation (2), il lui correspondra une détermination jki, dont la partie principale sera égale à Z\xV-. Si z^ est une racine multiple d'ordre A', k déterminations àe y auront une partie principale commune et égale à Z\xV-. Il ne nous reste plus qu'à prouver l'existence de (x et à calculer sa valeur.

33. Traçons deux axes rectangulaires OX, OY et, après avoir choisi une unité de longueur, menons des parallèles à l'axe des Y dont les abscisses soient les nombres entiers successifs i, 2, 3, ... et aussi des parallèles à l'axe des X ayant pour ordonnées i, 2, 3, ... ; nous formerons ainsi une sorte de quadrillage.

Les coordonnées des sommets des carrés obtenus par ce procédé sont des nombres entiers et positifs. A chaque terme A.x'^y^ de l'équation donnée nous ferons correspondre un point ayant pour coordonnées X = a, Y = p, c'est-à-dire un sommet de l'un des carrés. Nous marquerons ainsi sur la figure autant de points qu'il y a de termes dans l'équation, A un terme de la forme Kx"^ correspondra un point de l'axe des X ayant pour abscisse a, et à un terme de la forme A^P, un point de l'axe des Y, ayant pour ordonnée P; il pourra y avoir plusieurs points de chacune de ces deux catégories.

Cela posé, soient M, M' deux des points représentatifs de deux termes

ÉTUDE d'une courbe ALGÉBRIQUE, ETC.

{fig. 22), et soient (a, ^) et (a', P') leurs coordonnées droite passant par M peut être mise sous la forme •

Cette droite passera par M' si a ce qui donne

[x^ =a'-+-[xp',

d'où il résulte que \t. sera nécessairement commensurable. Remarquons que la droite MM' coupe l'axe

des X au point ayant pour abscisse a -i- [x^; d'après cela, la parallèle à MM' menée par le point P(a'', P"), coupant l'axe des x au point ayant pour abscisse a"-!- [JLJÎ", on aura : i" a*-!- {Ji^'^ a -f- |J.p, si le point P est sur la droite MM' ; 1" a"H- \l^" > a -i- [x^, si l'origine O et le point P sont de part et d'autre de MM', et enfin Z^ a"-|-[ji.p"<a-i-[Jip, si ces deux points sont du même côté par rapport à MM'. De là résulte la règle suivante.

Imaginons une droite mobile coïncidant avec Oy, et faisons tourner cette droite dans le sens direct, autour de celui des points marqués sur Oy qui a la plus petite ordonnée, jusqu'à ce que cette droite rencontre l'un au moins des points marqués; considérons tous les points situés sur la droite arrêtée en cette position et faisons tourner de nouveau cette droite autour de celui de ces points en ligne droite qui a la plus grande abscisse jusqu'à ce qu'elle rencontre un nouveau point marqué. Nous aurons ainsi une nouvelle position de la droite mobile sur laquelle se trouveront deux ou un plus grand nombre de points représentatifs. Continuons à faire tourner la droite autour de celui de ces points qui a la plus grande abscisse, et ainsi de suite; nous finirons évidemment par tracer une brisée dont les deux extrémités seront dune part le point situé sur Oy et correspondant au terme du plus bas degré de l'équation (i) contenant y seulement et, d'autre part, le point situé sur Oa: et qui correspond au terme du plus faible degré contenant x seulement.

Si ABCDE est la brisée obtenue de cette façon {Jig. 23), aucun des points représentatifs ne se trouvera dans la région limitée par OA, OE et cette brisée. A chaque côté de la brisée correspond une valeur de jx que l'on obtient en divisant la longueur de la projection de ce côté sur OX, par la longueur de sa projection sur OY. Le nombre de racines infiniment petites d'ordre fx est égal au nombre qui mesure la projection du côté considéré sur OY; par suite, le nombre total des racines infiniment petites dont l'ordre infinitésimal est déterminé est égal à OA, c'està-dire à n; ce qui démontre la proposition énoncée plus haut.

NiEWENGLOWSKi. — G. an., IL S

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Quelques exemples simples vont mieux faire comprendre la méthode. 34. Exemples :

lo {y — xY-^x'^ — y'*^=o.

En développant, on obtient

y"^ — ixy -h x'^-[- x"^ — y'* =: o.

Formons les carrés de Newton. On voit immédiatement {Jig- 24 ) que ^^ Prisée se réduit à un seul côté, correspondant aux termes du second degré et l'on a [ji = I. Nous sommes ainsi conduits à poser j^ = zx; c'est ce que nous aurions fait immédiatement en employant la première méthode. Nous obtenons ainsi l'équation