MÉTHODE DU PARALLÉLOGRAMME

32. La méthode élémentaire que nous venons d'exposer ne peut sufflre dans tous les cas; aussi allons-nous exposer sommairement une méthode dont la première idée est due à Newton et porte souvent le nom de règle du parallélogramme de Newton; méthode qui a été perfectionnée par Puiseux et employée avec le plus grand succès par ce géomètre dans son Mém,oire sur les fonctions algébriques {Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. XV, i85o).

Nous supposei'ons, comme plus haut, la courbe rapportée à deux axes passant par le point considéré, de sorte que l'équation de la courbe ne contiendra aucun terme constant. Cette équation sera de la forme 'Lh.x'^y^= o: l'un des exposants a ou p pouvant être nul, sans que l'autre le soit. Il y a nécessairement au moins un terme indépendant de y, sans quoi y serait en facteur dans tous les termes, et, par suite, l'équation se décomposerait; de même, il y a au moins un terme indépendant de x. D'après cela, l'équation précédente sera de la forme

(1) Bj«-+- G 7«+i ^- . . . -r- hy"-+P-\- SAa^ajP^: o,

a pouvant prendre des valeurs positives seulement, la somme figurant sous le signe S contenant un ou plusieurs termes indépendants de y. On voit que, si X tend vers zéro, n racines de l'équation en y tendent vers zéro, car pour a: = o l'équation précédente se réduit à l'équation

By^ + G7«-+-i + , . . -H Ly"-^P = o,

qui a n racines nulles. Il convient de remarquer qu'il n'y a aucune relation entre le nombre n et l'ordre de multiplicité du point O.

Gela étant, nous allons d'abord prouver que chacune des n racines infiniment petites de l'équation en y est d'un ordre infinitésimal déterminé par rapport à x regardé comme infiniment petit principal et nous calculerons l'ordre de chacune d'elles. Pour cela, posons j' = zx\'-; un terme quelconque Ax^y? devient A.z?x^+\>-^, de sorte que, si pour une valeur positive de [i, convenablement choisie, z a une limite finie quand x tend vers zéro, ce terme sera infiniment petit d'ordre a ■+- (x^. Je dis que l'on peut toujours choisir un nombre positif p. de telle sorte qu'il y ait deux ou un plus grand nombre de termes Aa:*jP, A'x^'y?', A."x'=^'y?'', . . ., pour lesquels

et que pour tout autre terme Bxfy^ de l'équation donnée, ne faisant pas