OLL
{z — iY-+-x
L'équation caractéristique en 5, {z une racine double, nous poserons
ayant
ce qui donne
z = l-^ II,
u^-\- X — (1 + uY x'^ = o.
Il n'y aura évidemment à considérer que les deux termes «^ et x, auxquels
correspondent, sur le réseau de Newton, les points A et B {fig. 25). Il est
clair qu'il n'y a aucun point à l'intérieur de l'aire OAB, et,
p- 25 par suite, il y a une seule détermination de [x, savoir ]x = \.
; Nous serions ainsi conduits à poser u=:^vx^; mais, quand ""*~ le dénominateur de la valeur de \j. est pair, il faut savoir si x ]" doit être positif ou négatif; car si l'on a, d'une manière générale, u.=: — 5 — étant irréductible; si q est pair, p sera q q
impair, et le symbole x^ = '^xp ne désigne un nombre réel que si x est po-
sitif. D'après cela, au lieu de poser u z^ zxl , il est préférable de poser a? = e/^^, (e =± i), m = s/t/'. C'est ce que nous ferons dans notre exemple;
en posant
on obtient l'équation
X — zh'^, u = vh,
• £ = o. Pour que v soit réel, il faut = o, dont les racines sont réelles et
l'équation caractéristique est donc p'^
e = — I, et l'on obtient l'équation v"^ —
simples, Pi = i, ('2 = — i. Il en résulte, en vertu d'un raisonnement que nous
avons déjà fait, que l'on peut poser
ÉTUDE d'une courbe ALGÉBRIQUE, ETC.
a et p étant des infiniment petits réels. On en déduit les ordonnées yi et ^2 de deux branches distinctes de la courbe
ji = X -h ce y/ — a- (i -i- a),
On aura la forme de ces branches (Jiff- 26) en construisant les courbes auxiliaires
on a ainsi les deux arcs OAi et OA2 tangents à la
bissectrice de l'angle xOy, situés de part et d'autre de cette bissectrice et dans l'angle x' Oy' ; l'origine est donc un point de rebroussement de première espèce.
Nous trouvons deux valeurs de jji, (Jlg- 27) : 1° [ji = |; les termes correspondants sont X'-i-y''.
Posons y = zx'^ ; si l'on pose x = h^, il \ienty = zh^, et l'équation caractéristique en z sera ^'-1-1 = 0; donc
et
yi:^ — (i + (x)x^
c'est-à-dire
Ji =
ri
Le rapport -^ est infini quand x tend vers zéro; d'ailleurs, — x^ < o.
On a ainsi une première branche tangente à l'axe des y et présentant un rebroussement de première espèce formé de deux arcs OAi, OA2 (y?^- 28).
Fig. 28.
3° [j. = 2, jK = ^^*' J^' suffit de considérer les deux termes x^y — 5*; l'équation en z est donc z — 1 = 0. On a ainsi une nouvelle branche définie par
JK2 = ^-(n-p)^^
tangente à l'arc des x et représentée par l'arc BOC.
35. La méthode de Puiseux conduit à un résultat fondamental que nous ne ferons qu'indiquer ici; en voici l'énoncé :
Soit y une fonction algébrique de x, et soit x^ une valeur de x pour laquelle plusieurs déterminations de y prennent une valeur commune yo. Pour toutes les valeurs de x telles que le module de x — Xq soit inférieur à une limite déterminée, ces déterminations de y se répar^
tissent en groupes distincts entre eux. Toutes celles qui forment un groupe peuvent être représentées sous la forme suivante
n étant le nombre des déterminations appartenant à ce groupe.
En partant de ce théorème dû à Puiseux, G. Halphen a fait une étude très approfondie des points singuliers des courbes algébriques, que le lecteur trouvera dans le Traité de Géométrie analytique de G. Salmon , p. 54o (Courbes planes), traduit par M. 0. Chemin (Paris, Gauthier-Villars).
