Appliquer la méthode de Puiseux aux exemples suivants

y'*-hx^y — x'*-\-x^ —y^ = o; xy^ — ix^y-^ix^+y^ — ^x^y^ — laa:'' = 0.

3. Construire et discuter, dans le voisinage de l'origine, les courbes ayant pour équations

j^ = y/i -h ax — v^i -i- bx; (y^ — x^y = ax^-\- by^.

37. Définition. — • On dit qu'une droite AB {fig- 3o) est asymptote d'une branche de courbe infinie si la distance MP d'un point M, pris sur cette branche, à la droite AB, tend vers zéro quand le point M s'éloigne indéfiniment en restant sur la branche de courbe considérée.

Si l'on mène par le point M une parallèle à une direction fixe, non parallèle à AB et rencontrant cette droite

au point H, on a

MP = MHsinw,

tù désignant l'angle MHP. Il en résulte que, dans ces conditions, pour que MP tende vers zéro, il faut et il suffît que MH tende vers zéro .

D'après cela, pour que AB soit asymptote à la branche infinie considérée, il faut et il suffit que la distance d'un point M pris sur cette branche, à la droite AB, cette dislance étant comptée parallèlement à une droite fixe non parallèle à AB, tende vers zéro quand le point M s'éloigne indéfiniment sur la branche infinie.

Recherche des asymptotes eu coordonnées rectilignes.

38. Nous distinguerons deux cas. Nous déterminerons d'abord les asymptotes parallèles à l'axe des^ et ensuite les asymptotes non parallèles à cet axe.

PREMIER CAS. — ASYMPTOTES PARALLÈLES A L AXE DES y.

Supposons qu'une courbe possède une asymptote parallèle à Oy et ayant pour équation x ^= a.

Menons par un point M {Jig- 3i), pris sur la branche correspondante, MQ parallèle à Ox et soit Q le point de rencontre avec l'asymptote. Pour que AB soit asymptote, il faut et il suffît que MQ tende vers zéro quand M s'éloigne indéfiniment, c'est-à-dire quand l'ordonnée du point M grandit indéfiniment; d'ailleurs, dans le cas présent, la distance MP est donnée par la formule

|MP1 = liP— a|sinO.

FiK. 3r.

Donc il faut et il suffit que l'une des déterminations de y grandisse indéfiniment quand x tend vers a^ x ely désignant les coordonnées d'un point de la courbe. Par suite, si la courbe donnée est représentée par l'équation /(:r, y) = o, on cherchera pour quelles valeurs finies de x l'équation précédente Qn. y admet une racine infinie. Supposons que l'équation f(a,y) = o ait une racine infinie; il

faudra encore chercher si y grandit indéfiniment par valeurs réelles quand x tend vers a.