OA = AB = BC
La courbe rencontre l'axe des x en chacun des points dont l'abscisse est donnée par la formule x = A-tt, k désignant un entier quelconque. En chacun de ces points il y a inflexion, la tangente étant parallèle à la bissectrice de l'angle xOy ou cette bissectrice elle-même {fig. 33).
o{xy
f{x) et (p(a7) étant deux polynômes entiers, premiers entre eux. Pour que la fraction précédente soit infinie, x étant fini, il est nécessaire et suffisant, que X soit égal à l'une des racines de l'équation (^(x) = o. Soit
9(a7) = (a- — a)«çi(a7),
4o CHAPITRE V.
'■i>i(x) désignant un polynôme entier, et supposons en outre oi(a) ^ o. Lorsque x atteint et dépasse a, le polynôme (f{oc) s'annule sans changer de signe si n est pair et en changeant de signe quand n est impair. Dans le premier cas, y est infini pour x= a et a le signe de , , dans le second cas, y
passe de -+- 00 a — oo, si , \ est négatif et de — ce a + oc, si '^— - — - est po-
(pi(a) ® œi(«)
sitif. La droite a; = a est donc une asymptote et il y a de chaque côté de cette droite une branche infinie dans les deux cas.
Pour fixer les idées, soit — > o. Si n = ip, nous aurons la disposition
représentée {/iff. 34), y étant infini positif pour x = a.
Fig. 35.
Fig. 34.
Si /i = 2/)H-i, les branches infinies seront disposées de cette manière (^g. 35), jK passant alors de — co à -1- 00 quand x atteint et dépasse a.
Asymptotes parallèles a l'axe des y, d'une courbe algébrique
DONT l'équation n'eST PAS RÉSOLUE.
40. L'équation d'une courbe algébrique peut se mettre sous la forme suivante, en l'ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de y,
(i) yPF{x) -i-yl'-lFi{x)-^.. .-4- Fp(x) = o,
F(^), Fi [x), . . ., ¥ p{x) étant des polynômes entiers en x.
Attribuons à x une valeur finie et déterminée «, et considérons l'équation
(2) yP¥{a)-^yP-'^¥^{a)-^... = o. |
Pour que cette équation ait une racine infinie, il faut et il suffît que
F(a) = o. Il en résulte que l'équation F(a;) ^ o représente les asymptotes parallèles à l'axe desjK-
Remarque. — Il peut arriver que F (a?) se réduise à une constante; dans
ce cas, la courbe n'a pas d'asymptote parallèle à l'axe des y\ c'est ce qui
arrivera, par exemple, si, la courbe étant de degré m, son équation contient un
terme de degré m en y. Mais il peut aussi arriver que l'équation ne renferme
pas de terme en y'"- et que le coefficient du terme de degré le plus élevé
en^, c'est-à-dire le polynôme ¥{x), renferme des coefficients variables; par
exemple, supposons que F(a:) ^ Plx -\- B. La courbe considérée a une asym-
ptote représentée par l'équation x = -\-—' Si l'on suppose que A tende vers
zéro, B restant fixe ou conservant une valeur finie et différente de zéro, cette asymptote disparaît en s'éloignant indéfiniment. On dit alors que la branche infinie correspondante est parabolique.
Plus généralement,/) étant supposé donné et inférieur au degré m, le polynôme F(a7) sera de degré m — /? au plus, et la courbe aura, au plus, m — p asymptotes parallèles à l'axe des y, définies par l'équation F(a7) = o. Si le degré de F(a7) s'abaisse de q unités, q de ces asymptotes seront rejelées à l'infini.
41. Disposition des branches infinies. — Posons y ^= -■, ce qui permet d'écrire l'équation (i) sous la forme
(3) F(5;)-i-2Fi(a7) + z2F2(a^)+...= o,
et soit a une racine de l'équation F (a:) --=■ o. Quand ûo tend vers a^ un certain nombre de racines de l'équation en ;; tendent vers zéro.
En posant x = a->rU, on aura nne équation entre u et z, et il faudra étudier les déterminations infiniment petites et réelles de x correspondant à u infiniment petit et réel. Nous sommes ainsi ramené à un problème déjà traité.
Supposons, par exemple, que a soit racine simple de l'équation F{x) ^ o et que F, (a) soit différent de zéro. En posant
nous pourrons mettre l'équation (3) sous la forme
(4) (J7 — a)[G(a) + «]-h3[Fi(a)-f-p] = o,
a et P étant infiniment petits et réels, quand x tend vers a, par va-
Fis;. 36.
leurs réelles, attendu que, dans ces conditions, une seule détermination de z tendant vers zéro, cette détermination est nécessairement réelle. Cela étant, si l'on suppose, pour fixer les idées, G(a)F, (a)>>o, x — a et z auront des signes contraires, et, par conséquent, les branches infinies qui correspondent à l'asymptote x = a seront disposées comme le montre \dijig. 36.
Ce cas, qui est évidemment le cas général, comprend une branche infinie de chaque côté
de l'asymptote et à chacune de ses extrémités.
Trouver les asymptotes parallèles à l'axe des y de la courbe {x — i)'^y'* + {se — i)y^ — iF^ — o. En posant x = i-\- u, y == -■> l'équation donnée se transforme en celle-ci :
M^-u. HZ — (iH- m)2^4= o.
Employons la méthode de Puiseux. Nous obtenons (yfig. 87) deux déterminations de [X. 1° [i. = i. En faisant 5 = pm, nous aurons Fig. 37. l'équation
qui a une seule racine réelle p = — i, de sorte que
a étant infiniment petit et réel, ce qui donne une détermination infiniment petite de z ou, ce qui revient au même, une première détermination infiniment grande de jk>
Exemple.
définie par
"ni ' ?
En supposant OA = i, nous obtenons deux branches infinies, Bi , Bj {fig. 38), asymptotes à la parallèle à l'axe des y me-
née par le point A. 2° (Jt = |. On posera z — vu^; l'équation caractéristique correspondante est i — v^^=o; elle n'a qu'une seule racine réelle, p = i. Donc v — i-\-^, P étant un infiniment petit réel et, par suite,
-(^-OMi+P)-
On obtient ainsi deux nouvelles branches infinies Ci, G2, asymptotes à la même droite.
Second cas. — Asymptotes kojv parallèles a l'axe des y.
42. Nous établirons d'abord la proposition suivante : Si une branche infinie possède une asymptote A ayant pour équation Y^cX + û?, en désignant par x,y les coordonnées d^un point M pris sur cette branche, on a
Y (i) lim— — c, \iva{y — ex) = cl
quand x croît indéfiniment, et réciproquement, si ces conditions sont remplies, la droite A est asymptote.
En effet, la distance MP du point M à la droite A a pour expression
