MP

6 désignant l'angle des coordonnées. Par hypothèse, la droite A n'est pas parallèle à l'axe des y, et nous supposerons, en outre, quelle ne soit pas isotrope; le dénominateur de l'expression précédente a, dans ces conditions, une valeur finie et difTérente de zéro. Pour que MP tende vers zéro, il faut donc et il suffit que y — ex — d tende vers zéro. S'il en est ainsi, nous pouvons poser

(a) y ^ ex -\- d-\- V,

V désignant une fonction de x ayant pour limite zéro quand x croît indéfiniment. On déduit de l'équation précédente :

— — CH 5 Y — cx = a-\-v.

Mais il résulte de ce qui précède que a pour limite zéro ; donc

les équations (i) sont établies.

Réciproquement, si l'on suppose que lim(y — cx)=^d, on voit que y — ex- — d a pour limite zéro quand x grandit indéfiniment, et, par suite, MP ayant pour limite zéro, la droite A est asymptote à la branche considérée.

On doit remarquer que, si y — ex a pour limite d, — a nécessairement

pour limite c, puisqu'on peut alors poser y — ex = d -]- v , v ayant pour limite zéro, et recommencer la démonstration donnée plus haut.

D'ailleurs, y — cx = xl — — cl; le premier facteur étant infiniment

grand, le second doit être infiniment petit pour que le produit ait une limite finie.

Remarquons encore que, si la droite A est réelle, il résulte de la remarque faite au n° 37 qu'il suffit d'exprimer que la différence 7 — Y a pour limite zéro quand x croît indéfiniment.

Quand les équations (i) sont vérifiées, la branche de courbe considérée peut être représentée par l'équation (2); mais il ne suffît pas que c et d soient réels pour que cette branche soit réelle : il faut encore que V tende vers zéro par valeurs réelles. S'il en est ainsi, quand a: est infiniment grand positif et aussi quand il est infiniment grand négatif, l'équation (2) représentera deux arcs infinis asymptotes à A à ses deux extrémités.

Supposons la courbe donnée algébrique et soit /{x, y) — o son équation ; l'équation y(a7, ex -h- d-{- ç) = o définit v comme fonction de x. Si la droite A est asymptote à la courbe, parmi les m déterminations de v, il y en aura au moins une, v/i, ayant pour limite zéro quand x grandit indéfiniment en valeur absolue. Supposons iP>o; on pourra trouver un nombre positif A tel que l'équation y = ex -+- d-h i>/^ représente une branche déterminée asymptote à A pour toutes les valeurs de x supérieures à A. Si a? décroît à partir de A, cette équation conviendra encore à la même branche, tant que x n'aura pas atteint une valeur pour laquelle i^/j devient égale à une autre détermination V^:.

43. Exemples. — 1° y = ^ — {> fi^) ^t ^{x) sont deux polynômes en-

tiers, et le degré def{x) surpasse d'une unité celui de 'f{x). En effectuant la division, on a

y = ex -{- d

Il en résulte immédiatement que y = c x -{- d représente une asymptote. En

outre, y — ex — da le signe de ^^ — ; on pourra donc déterminer la posi-

tion de chacune des branches infinies aux deux extrémités de l'asymptote.

En extrayant la racine cubique, on obtient

a étant infiniment petit. Cette équation prouve que la courbe donnée a une asymptote ayant pour équation y = x — i .

En outre, y — x -\- \ et a" ont des signes contraires quand x croît indéfiniment, ce qui détermine immédiatement la position de la courbe par Fig. Sg. rapport à son asymptote. L'équation X — i=\/x^ — 3>r2 ou, sous forme entière, "àx — i — o, montre que l'asymptote rencontre la courbe à distance finie au point ayant pour coordonnées x =^ ^, y = — -|. On voit aisément que l'origine est un point de rebroussement de première espèce et que l'axe des a; rencontre la courbe en outre, au point (3,o), qui est un

point d'inflexion, la tangente étant parallèle à l'axe des y. La courbe a donc la forme représentée par la Jiff. Sg.

yar^-H 7.x — i

On a

yx^ — SwT*

et, par suite.

a étant infiniment petit.

La droite y = x — i est asymptote ; y — x -hi aura le signe de -f- s pour x infini positif, le signe de — £ pour x infini négatif. On en déduit la position des branches infinies.

La droite j^ = x est asymptote du côté des x positifs, et d'ailleurs/ — x a le signe -f-; la courbe est tout entière du côté des j^ positifs.

y est infini en même temps que x. Lim — = lim r = - >

I X — xe

i-he-^j

Le dénominateur tend vers 4; pour trouver la limite du numérateur, nous

l'écrirons ainsi :

Fig. 4o.

Les deux termes de la fraction tendant vers zéro, nous cherchons la limite du

rapport des dérivées en regardant - comme la variable; ce rapport est

égal à — e^ , dont la limite est — i ; donc d = — \; l'asymptote a pour équation^ — \x -H 1^ = 0. Nous savons déjà que l'origine est un point saillant; la courbe a la forme représentée par la Jig. 4o.

Courbes algébriques.

44. Sohf{x,y) = o l'équation d'une courbe algébrique dont on cherche les asymptotes non parallèles à Oy. La méthode consiste à poser y = tx^ ce qui donne f{oc^ tx) = o, et à chercher la limite de t quand x grandit indéfiniment. On pourra toujours mettre cette équation sous la forme

F(0-H-Fi(0+.-- = o.

Soit c une racine de l'équation F(t) = o: quand - tend vers zéro,

une ou plusieurs déterminations de t tendent vers c; on pose ensuite

ce qui donne une équation en ;r et S que l'on met sous la forme

çp(o)H cpi(8)-h...= 0,

de sorte que, si - tend vers zéro, S tend vers une des racines de l'équation <^{ù) = o. Soit d cette racine; on pose ù ^ d -i- ç et l'on est conduit à une équation en ç' et - dont on doit étudier les racines infiniment petites, ce que nous savons faire. D'ailleurs, x et r peu-

vent être regardées comme des coordonnées; car, à chaque système de valeurs .ce = ^o^ v ^ Vo coi'respond un point M (Jig- 40 q"e ^on obtient ainsi : AB étant la droite, y = ex -+■ d, de sorte que OD ^= <f, on construit le segment DE ^ f ; le point M est à l'intersection de la parallèle à AB menée par le point E et de la parallèle à l'axe des y ayant pour abscisse jfo- Il est

clair que le signe de v détermine le côté où se trouve le point M par rapport à AB; de même que le signe de a'o détermine vers quelle extrémité de AB est situé le point M.

45. Exemples : i° x^ -^- y^ — "^axy = o. La substitution y ^ tx donne

{t^-\- 1)373— ^atx^-= o et, par suite,

t^-T-i — Zat — — o.

Donc, quand — tend vers zéro, t tend vers une racine de l'équation ^s-h i = o. Cette équation n'a qu'une racine réelle t = — i. Nous posons ensuite

d'où

En développant, on trouve, toutes réductions faites,

3(S-Ha)- -38(8-+-tt)-^ + -^ =0 ^ X x^ x^

ou, en supprimant la solution — = o.

3(o-Ha) — 38(5 + a)-4- —

Quand — tend vers zéro, une racine de cette équation et une seule tend

vers — a; on voit donc que la courbe a une asymptote ayant pour équation

Pour étudier la disposition des branches infinies, posons S -i- a = p, de sorte que l'équation en o et aprend la forme

3Ki + a)+^(-«3-f-?)=o,

a et p étant infiniment petits réels; donc t'>o; ce qui donne cette disposition {fig. ^i).

Remarque. — On pouvait procéder plus rapidement dans ce cas particulier. En effet, on peut écrire l'équation donnée ainsi :

d'où

3 a xy

— xy+y^ x^ — xy -+- y^

donc, en supposant a > o, on voit que x -h y -+- a est toujours positif; tous les points de la courbe sont donc dans la région positive par rapport à l'asymptote. Nous construirons plus loin cette courbe, qu'on a nommée le folium de Descartes.

'1° Soit encore la courbe définie par l'équation

y^ — x^-\-'hx''~= o,

et que nous avons déjà considérée (43). L'équation en t est

fi—\-\- ~ =0.

Quand — tend vers zéro, une détermination réelle de / tend vers i, ce qui

nous conduit à poser

y = X -{- 0 ou t = I -\ •,

et, par suite,