Soit

l'équation d'une courbe de degré m. Nous posons y=i^; pour abréger l'écriture, nous remplacerons <fp{i, t) par fp(t); nous obtenons, en divisant par x"^,

(2) fm{t) -+- ~ fm-l{t) + ^ A-2(0 -+-...= O.

Les coefficients angulaires des asymptotes sont donc les racines de l'équation fm{t) = o. Soit c une racine de cette équation; posons

j^ = ca; + 8, c'est-à-dire t = c-\ En tenant compte des identités

suivantes :

et en se rappelant quey^(c) = o, on trouve :

(//..(c)+^[SA(c)+A„i(c)]

Mais fjn{c) = o; donc — ^o est une solution de cette équation. En supprimant le facteur - on obtient l'équation

Discussion. — i*' Supposons y^(c) ^ o; la racine c de l'équation y;;i(f) = o est une racine simple. Si la courbe possède une asymptote ayant pour coefficient angulaire c, son ordonnée à l'ori-

THÉORIE DES ASYMPTOTES RECTILIGNES. 5l

gine d est la limite de 5 quand — tend vers zéro ; d'où il résulte que l'équation (4) doit être vérifiée quand on y fait - ^ o, S ^ <i, donc

Réciproquement, l'équation (4) étant vérifiée quand on j pose - = o, S = â?; une détermination de S, et une seule, tend vers d^

d étant défini par l'équation (5), quand - tend vers zéro par valeurs

positives ou négatives. La courbe (i) a donc une branche infinie du €Ôté des X positifs et une branche infinie du côté des x négatifs, toutes les deux asymptotes à la droite ayant pour équation

2" Supposons fln{c) = ^7 fm-i{c) 7^^- Daus ce cas, le premier membre de l'équation (4) se réduit à son terme constant quand -

tend vers zéro, si o conserve une valeur finie; on en conclut qu'aucune détermination de S ne peut tendre vers une limite finie; par suite, la branche infinie correspondant à la racine double c n'a pas d'asymptote : c'est une branche parabolique.

On peut dire encore dans ce cas que l'asymptote est rejetée à l'infini. Pour expliquer ce langage, supposons que les coefficients de l'équation (i) soient variables. Les racines de l'équation y„i(^) = o sont des fonctions continues de ses coefficients; soit c une racine simple correspondant à un système de valeurs attribuées à ces coefficients, de sorte que /^^(c) soit différent de zéro. Supposons que ces coefficients varient de façon que c tend vers une limite y telle que/^(Y) = o^fm-\ (y) ^ o. La courbe (i) est pourvue d'une asymptote dont le coefficient angulaire c tend vers y et dont l'ordonnée à l'origine grandit indéfiniment.

3° f'tn{c) = o, fm-{ (c) = o. Dans ce cas, il faut reprendre l'équation (3); ses deux premiers termes sont nuls, de sorte que son

premier membre contient alors — en facteur; après suppression de

ce facteur, nous obtenons l'équation

P désignant un polynôme entier en S et -• D'après cela, quand -

tend vers zéro, il j a deux détermi. nations de 8 qui tendent vers les racines de l'équation

— /ot(c) + 0/^i(f 0 +//«-2(c) = O.

En répétant le raisonnement fait p lus haut, on peut affirmer que, si dJ et d!' sont les racines de l'équati;ron précédente, la courbe (i) possède les deux asymptotes définies par les équations

le faisceau de ces deux droites a tpour équation

KjK— ca7)2/7«(c) -h (r j- ca7)/,;t i(c) +/,„2(c) = o.

Si f^{c) tend vers zéro, l'une dles racines, ûf'par exemple, augmente indéfiniment et l'asymptote cc)rrespondante est rejetée à l'infini; il en est de même de la seconde, j si f^-ii^) tend aussi vers zéro.

4" Le raisonnement précédient est général. Supposons que c soit racine d'ordre p de multiplicoité de fm{t) = o; racine d'ordre p — i de fm-i {t) = o, ... d'ur le manière générale, racine d'ordre p — q de fm-p+q{t) = Oi ({ V8\rîant de o à p — i ; de sorte que c soit racine simple àe f„i-p+\ {t)-~o et non racine de fm~p{t) =■ o; dans ce cas, la courbe (i) a /? «o^symptoles parallèles dont les équations sont

y — ex — «il - - o, y — ex — d^— o, ..., y — ex — dp=o,

û?, , rfaj . • • •> d p étant les racines de l'équation

cette équatiom pouvant d'ailleurs avoir ses racines réelles ou imaginaires, distincV.es ou non. Si les q premiers coefficients de cette équation tendront vers zéro, q de ces asymptotes sont rejetées à l'infini. \

48. Discussiâ n de la réalité des branches infinies; disposition des branches rebelles. — Supposons que les q premiers coefficients

de l'équation (3) deviennent nuls, de sorte que — soit en facteur;

en supprimant ce facteur nous obtiendrons une équation de la forme

Soit d une racine de l'équation (|;(8) = o; en posant û = ^+p,

- = ^, nous aurons une équation en p et 2 dont nous aurons à étudier

les racines infiniment petites. Nous sommes ainsi ramené à une question connue.

49. Interprétation géométrique des résultats précédents. — L'équation (3) a pour racines les abscisses des points communs à la courbe donnée et à la droile ayant pour équation y =■ ex + S. Tant que l'on suppose /„i(c) ^ o la courbe et la sécante ont m points communs à distance finie. Si y„j(c) = o, f'^(^c)y^o, un au moins des points d'intersection est à l'infini, car l'équation (3) est alors

vérifiée pour - = o ; si en outre 8 est racine de l'équation

deux au moins des points d'intersection sont à l'infini. Donc, quand c est racine simple, on peut définir l'asymptote correspondante : une droite qui rencontre la courbe (i) au plus en tw — 2 points à distance finie et par suite au moins en deux points à l'infini. Plus généralement, supposons que les q premiers coefficients de l'équation (i) soient nuls, de sorte que cette équation se réduise, après suppression

du facteur — ? à la forme

Dans ce cas, si (|;(8)^o, la sécante ayant pour équation y = cx-\- S rencontre la courbe donnée en m — q points à distance finie et en q points à l'infini; pour que cette droite soit asymptote, il faut que ^{^(8)=:o, c'est-à-dire qu'un nouveau point commun avec la courbe, au moins, disparaisse à l'infini.

Lorsque c est racine d'ordre p de multiplicité de l'équation fjf^(^t) =10, nous dirons que la direction asymptotique ayant pour

coefficient angulaire c est une direction asymptotique d'ordre p de multiplicité. D'après cela, pour qu'une parallèle à une direction asymptotique d'ordre p soit asymptote, il faut et il suffit qu'elle rencontre la courbe au moins en /? + i points à l'infini. On peut donc énoncer cette proposition : quand une courbe d'ordre m sl p asymptotes parallèles, toute parallèle à ces asymptotes rencontre la courbe en p points à l'infini et chacune de ces asymptotes la rencontre au moins en p -\- i points à l'infini.

Il résulte de là que si p droites parallèles rencontrent la courbe chacune en p -\- i points au moins à l'infini, leur direction est une direction asymptotique d'ordre p au moins; car, si cet ordre était p — q^ il y aurait seulement p — q droites parallèles rencontrant la courbe en plus dep — q points à l'infini.

50. Nous pouvons, en appliquant ce qui précède, déterminer les asymptotes d'une courbe algébrique par une méthode s'appliquant aussi bien aux asymptotes parallèles ou non à l'axe des y.

Soit

l'équation d'une droite. L'équation f(cco-\- ap, yQ-h- bp) = o développée étant

(8) p"^^„,{a,b) + p'n-i l'o.o ^ -f- jo ^' + <fm-i{a, è)J -+-...- o.

Si l'on pose

^m{a, b) = o, ^0-^ '^^^dF ^ ^'«-i^'^'^) ~ °'

la droite représentée par l'équation (7) sera une asymptote de la courbe

fi^i y) — o, pourvu que l'une au moins des dérivées -p^ ^ -Jr- soit différente

de zéro. L'équation d'une asymptote correspondant à une direction asymptotique simple (a, b) est donc

Cette équation représente une droite parallèle à la direction considérée. Si <fm(ct, b) — 0, -^ = o, -^ = o, çp;„i(a, 6) =0; toute parallèle à la direction (a, b) rencontre la courbe / en deux points à l'infini; il y a alors au moins deux asymptotes parallèles à cette direction, à distance finie ou

infinie, qui sont déterminées par l'équation

■). da^ -^ dadb 2"^ db^ da -^ db t"' -îv ' /

et ainsi de suite.

51. Exprimer qu'une droite donnée est asymptote d'une courbe algébrique. — En mettant l'équation de la droite sous la forme (7), on formera d'abord l'équation en p

/(iFo -H « p, 70 -4- 6 p ) = O,

et l'on écrira que le coefficient de p"* est nul, puis on annulera le premier des coefficients de l'équation précédente ordonnée suivant les puissances décroissantes, qui n'est pas identiquement nul quels que soient ^o?^o-

S2. Applications. 1° x^-^y^ — "iaxy^^o (exemple traité directement plus haut).

On a :/3(«) =:i-f-«^/2(f) = — 3«<.

L'équation i-^ t^= o a une seule racine réelle, c = — i ; l'ordonnée à l'origine est déterminée par l'équation Sc^S — 3ac = o, ou, en remplaçant c par — I ,

L'équation (3) est, dans ce cas,

X ÔX^

ou enfin, en posant 0 -h a = v,

ou

a et p étant infiniment petits, ce qui montre que, si l'on suppose a > o, t^ est infiniment petit positif.

2° xy'^ — x'^y^-\- ixy^ — 1 = 0.

cp4(a:, j') = 37^3 — x^y^^^ xy'^i^y ~ x)\ donc, trois directions asymptotiques.

L'axe des y est une asymptote. En mettant l'équation donnée sous la forme

X (ar2 — 257) T = o ou 37(1-1- a) ^ = o,

on voit que a est un infiniment petit réel quand y est infiniment grand réel;

X a donc le même signe que y quand y grandit indéfiniment. Il y a deux branches infinies Al , A2 asymptotes à l'axe des^ {fiê^- 44)- ■ En second lieu, si l'on écrit

ou

on voit que, si - tend vers zéro par valeurs a?

réelles, y ne peut être réel ; donc pas de branches réelles asymptotes à l'axe des x.

Il nous reste encore une direction asymptotique à étudier; posons

on a

pour Z = I, cette équation donne §-+-2 = 0; donc </ = — 2. D'ailleurs par suite, l équation en - et 0 e^t

Quand — tend vers zéro, une seule détermination de 8 tend vers — 2;

a est donc un infiniment petit réel et 8 -4- 2 a le signe de a;; on a donc les branches infinies Bj, B2.

3° a-\-bx~{-cx^-\-...-h lx"'= a'-+- b'y -J-. . .+ k'yP.

Il y a trois cas à distinguer : i" /> > n. Les directions asymptotiques sont données par l'équation jk^ = o, mais, le coefficient de x"- étant une constante, la courbe n'a pas d'asymptote. 1° p <^n\ les directions asymptotiques sont parallèles à l'axe des y, mais le coefficient de yP étant une constante, la courbe n'a pas d'asymptote. 3° jo = w; les directions asymptotiques sont alors données par l'équation Ix"^ — k'y"'^o. Si n est impair, la courbe a une asymptote réelle à distance finie; si n est pair, elle a au plus deux asymptotes réelles.

Propriétés générales des asymptotes des courbes algébriques.

53. Théorème. — Une courbe algébrique d'ordre m a au plus m asymptotes.

Rapportons la courbe donnée à deux axes quelconques. On peut toujours supposer que l'axe des y ne soit pas une direction asjmptotique; alors «p7re(i) t) est du degré m en t\ or à une racine c d'ordre q de multiplicité de l'équation cpm(i) ') = Oj i' correspond au plus q asymptotes; donc le nombre total des asymptotes est au plus égal à m.

54. Théorème. — Le nombre des branches réelles asymptotes à une droite réelle est pair, le nombre de branches paraboliques est pair et le nombre total de branches infinies^ réelles ou non, est égal au double du degré de la courbe.

Prenons pour axe des y une asymptote; l'équation de la courbe sera

Le polynôme F(^) contient, par hypothèse, une certaine puissance de X en facteur, soit xP. Donc, quand - tend vers zéro, p déterminations de X tendent vers zéro. Si - est positif, p — iq déterminations réelles de x tendent vers zéro, et, si — est négatif, il y en a

p — 2 ^' qui sont réelles et tendent vers zéro ; en tout, ip — iq — iq déterminations réelles de x sont infiniment petites, ce qui constitue un nombre pair de branches asymptotes à l'axe des y.

Je dis, en second lieu, que le nombre total de branches infinies réelles qui correspondent à une direction asymptotique réelle donnée est pair^ en effet, soit c le coefficient angulaire d'une direction asymptotique réelle ^ue nous pouvons supposer non parallèle à l'axe àesy, en posant y =^.r, nous obtenons une équation de la forme

Supposons que c soit une racine d'ordre p de multiplicité de

l'équation fjn{t)=.o. Si - tend vers zéro, par valeurs positives^

p — iq déterminations réelles de t tendent vers c et pareillement

p — iq' déterminations de t tendent aussi vers c quand - tend vers

zéro par valeurs négatives; donc, en tout, ip — iq — iq' branches réelles infinies correspondent à la racine c; or chacune des asymptotes parallèles à la direction considérée est accompagnée d'un nombre pair de branches infinies; donc le nombre de branches paraboliques est également pair.

Remarquons enfin que le nombre total de branches infinies est égal à im. En effet, supposons que l'axe à.&% y ne soit pas une direction asymptotique; quand x croît indéfiniment par valeurs positives ou par valeurs négatives, chacune des m déterminations dey constitue une branche infinie, ce qui fait m branches infinies de chaque côté; en tout, im branches infinies, réelles ou imaginaires.

55. Équation générale des courbes de degré m ayant m asymptotes données. — Soient ai = o, aj = o, . . . , a,„ = o les équations de m droites données; supposons que les directions de ces droites soient distinctes. Si l'on pose

ai= Mia7-f- PiJ -i- (Vl, a2= «2^ -t- t^2j' + «^2; •••, ^m'=- U,nX -^Vmy-^ Win-,

il est évident que l'équation d'une courbe de degré m ayant pour asymptotes les droites données est de la forme

ki^U'^x -^ Vxy){.u^.^ -^ v.i y). . \um.x -^ Vmy)^ f\{x,y) = o. Il en résulte immédiatement que cette équation peut se mètre sous la forme

(t) aia2...a,„-t-F(a7, j) = o,

F(a7, y) désignant un polynôme entier de degré m — i au plus. La droite ai doit couper cette courbe au plus en /w — i points à distance finie; or les points communs sont déterminés par les équations ai = o, F(a;, ;^) = o. Donc, si cette dernière équation est de degré m — i, il est nécessaire que la droite ai soit parallèle à une direction asymptotique de la courbe F (a;, y) = o. Le même raisonnement est applicable pour chacune des m asymptotes données; donc la courbe de degré m — i, F{x, y) — o devrait avoir m directions asymptotiques distinctes, ce qui est impossible. On en conclut que le polynôme F{x,y) = o est de degré m — 2 au plus.

Réciproquement, toute équation de la forme (i), dans laquelle F{x,y) désigne un polynôme entier de degré m — a au plus, représente une courbe admettant pour asymptotes les m droites données. En effet, la droite ayant

THÉORIE DES ASYMPTOTES RECTILIGNES- 5g

pour équation aj = X rencontre cette courbe en m — ^i points à distance finie : donc la droite aj = o n'ayant plus que m — i points communs, au plus, à distance finie est une asymptote; il en est de même de toutes les droites données.

L'équation (i) dans laquelle F(x,y) est le polynôme le plus général de degré m — i est donc l'équation générale cherchée.

En particulier, l'équation a^oi^-^ h = o, dans laquelle h est une constante, est l'équation générale des coniques ayant pour asymptotes les deux droites^ non parallèles ai = o, «2 = o.

Considérons maintenant le cas où quelques-unes des asymptotes données sont parallèles. Supposons, pour simplifier, que les asymptotes données sont parallèles à trois directions distinctes, et soient ai=:o, a2 = o, ..., ttp = o ; ^1 = 0,^2=0, . . . , p^ = o ; Yi = o, Y2 = o, . . . , Yr = o les asymptotes données, la somme p ^ q -k- r ~- m et les droites qui correspondent à une même lettre étant parallèles. On voit d'abord que, si /(a?, jk) = o est l'équation d'une courbe de degré m ayant pour asymptotes les m droites données, l'ensemble des termes de degré m du polynôme f{x, y) est le même, à un facteur constant près, que dans le produit des premiers membres des équations des droites données; donc, l'équation de la courbe considérée peut se mettre sous la forme

aia2...apPip2...PyYiT2---Tr-+-F(a7, ^) = o,

¥{x, y) étant un polynôme entier de degré (Ji inférieur à m. Je dis que l'on a [L<i m — I . En effet, supposons [i.^= m — i ; les points à distance finie communs à la courbe / et à l'asymptote ai sont déterminés par les équations «1 = o, F(x, y) = o. Le nombre de ces points est au plus égal à m — p — i ; donc la direction a doit être une direction asymptotique d'ordre p au moins de la courbe F; pareillement la direction ^ devrait être une direction asymptotique d'ordre q et la direction y ""e direction asymptotique d'ordre r, ce qui est absurde, car la somme p -h q ^ r est supérieure à m — I ; donc (Ji est au plus égal à m — i.

Donc, si une courbe de degré m a pour asymptotes m droites quelconques a, p, — , X, son équation est de la forme

ap...X + F(a7,jK) = o,

F(x,y) étant un polynôme de degré au plus égal à m — 2. La réciproque n'est vraie que si les directions des asymptotes sont distinctes.

Il résulte de cette discussion que si deux courbes ont les mêmes asymptotes, elles sont du même degré, et si /(se, y) = o, /i{^, y) ^ o sont les équations de ces deux courbes, on peut multiplier le premier membre de l'une de ces équations par un facteur constant choisi de façon que les équations des deux courbes ne diffèrent que par les termes de degré moindre que m — 1. En d'autres termes

F(x,y) étant un polynôme de degré m — 2 au plus.

6o CHAPITRE V.

La proposition peut être en défaut si les courbes ont des branches paraboliques.

56. Théorème (Newton). — Si l'on coupe par une même droite A deux courbes algébriques ayant les mêm,es asymptotes, les deux systèmes de points d'intersection ont le même centre des moyennes distances.

11 suffit en effet de remarquer que les équations aux abscisses des points d'intersection de A avec les deux courbes auront les mêmes termes en x'"- et en a7'"-i. On peut remplacer l'une des courbes par le système de leurs asymptotes communes.

Ce théorème est la généralisation du théorème relatif à l'hyperbole : les segments d'une sécante compris entre une hyperbole et ses asymptotes sont égaux.

1 Application au second degré.

o7. Soit Aa72-4- aBa^K -+- Gy^-H aDa? -+- aEjK -H F = o l'équation d'une conique, G étant différent de zéro. Les coefficients angulaires des directions asymptotiques sont les racines de l'équation

G 7^2 4- aBm. + A = o.

1° Supposons 8<o (en posant AG — B2 = 8): l'équation précédente a, dans ce cas, deux racines réelles et inégales. 'Soïl y =^ mx -\- h l'équation d'une asymptote : h est déterminé par l'équation

/i(G/n -f- B) + D + Em = o, d'où

__ D-4-Ew B + Gt/î*

Si l'on pose y = mx-\-v, l'équation de la conique peut s'écrire 2(B + Gm)((; — A)-t- - (G/i2+2E/i + F + a) = o,

a étant infiniment petit en même temps que - •

Or

Gm= — B + s/ — 8 (s = ±i),

et un calcul facile donne

G/i2+2EA + F= |.

On peut le vérifier, car nous savons déjà que le faisceau des asymptotes a pour équation

donc, en faisant x = o et y = h, on a bien le résultat annoncé.

THÉORIE DES ASYMPTOTES RECTILIGNES. 6l

Il en résulte que l'équation de la conique est

On connaîtra donc aisément la disposition des branches infinies, car l'équa-

tion précédente montre que, si — est infiniment petit, z(ç — h) et - ont le

même signe.

D'ailleurs l'équation aux ordonnées des points d'intersection de l'hyperbole considérée avec l'axe desj^' est

Si les racines de cette équation sont imaginaires, les branches infinies de la courbe sont placées : l'une, dans celui des angles des asymptotes qui n'est pas traversé par l'axe des y et l'autre dans l'angle opposé par le sommet. Si, au contraire, l'axe desjK rencontre l'hyperbole en deux points réels A, B, soient A', B' les points où le même axe rencontre les asymptotes. Deux cas peuvent se présenter : i° GA < o; alors A et B sont entre A' et B'. 2" GA > o; c'est le contraire.

2" 0 > o; les asymptotes sont imaginaires.

3° 0 = 0; les directions asymptotiques sont confondues. Si l'on suppose GD — BE y^ o, la courbe n'a pas d'asymptote; c'est le cas de la parabole. Si GD — BE = o, l'équation représente deux droites parallèles; en l'écrivant

ainsi

(y — /na7)2-4-2E(j' — /wa7)-i-F = o,

on trouve

les asymptotes sont les droites elles-mêmes.

08. Asymptotes du cercle. — En appliquant les formules générales, on trouve que les asymptotes d'un cercle sont les droites isotropes menées par son centre. Mais il convient de remarquer que la définition générale des asymptotes ne s'applique pas ici, car, si A est une droite isotrope, nous savons que la distance d'un point quelconque du plan à cette droite est infini. Si l'on mène par le centre d'un cercle rapporté à deux axes rectangulaires une droite de coefficient angulaire c, on trouve que l'équation aux abscisses des points d'intersection s'abaisse au degré zéro, si c = ± i et si en outre la droite passe par le centre du cercle. G'est à ce point de vue que l'on peut dire que les droites isotropes menées par le centre d'un cercle sont ses asymptotes. On peut encore remarquer que ces droites peuvent être regardées comme des tangentes dont le point de contact coïncide avec l'un ou l'autre des points cycliques.