ASYMPTOTES CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE TANGENTES

59. Considérons une branche infinie pourvue d'une asymptote correspondant à une direction asjmptotique simple ajanl pour paramètres directeurs a, b. Je dis que la tangente en un point M de cette branche a pour limite cette asymptote quand le point M s'éloigne indéfiniment. En effet, soient x,y^ z les coordonnées homogènes du point M; la tangente en M a pour équation

-f- Z[ç„i i(a7, y) -T- 2-5cp,„2(a7, jk) -+-.••]= o;

pour avoir la limite du premier membre de cette fonction entière, Il suffit de remplacer ^, y, z par a, 6, o. On obtient ainsi

(jui représente précisément l'asymptote.

Mais ce calcul suppose que le point à l'infini considéré est simple. Nous allons démontrer cette proposition plus générale : Si la tangente en un point M d'une branche infinie a pour limite une droite déterminée A, quand le point de contact M s'éloigne indéfiniment, cette droite A est asymptote à la branche considérée.

Effectivement, en désignant par x, y les coordonnées de M et par y' la dérivée de ^ par rapport à x, la tangente en M ayant pour équation

\ =y'\-i-{y~xy'),

nous supposons que jk' et ^ — ^y' ont des limites déterminées c, d. Ecrivant

y — xy' ns a; I - — jk' ) » on voit que, ce produit ayant une limite finie o? quand

y X croît indéfiniment, il faut que " y' ait pour limite zéro, et, comme j^' a

pour limite c, on peut écrire

Z-(c-l-a) = p ou

a et P étant deux infiniment petits; donc lim ^— — c.

D'autre part,

y — ex =^

pour trouver la limite de jk — ca?, formons le rapport des dérivées, c'est-

xy'—y

à-dire

■> ou plus simplement j' — -^JK'; par hypothèse

donc on a aussi lim(^ — ex) = d et, par suite, la droite A est une asymptote. Mais la réciproque n'est pas vraie : une asymptote n'est pas nécessairement ia limite d'une tangente. En voici un exemple simple. Si l'on considère la courbe ayant pour équation

sina; •^ X

il est évident que, si x croît indéfiniment, y tend vers zéro; donc l'axe des x est asymptote à la courbe donnée. Or

X cosa? — sina^ x^

a évidemment pour limite zéro quand x croît indéfiniment, car on peut écrire

cosa7 sina7 I"'ig- 45- «

mais

ne tend vers aucune limite déterminée. La courbe rencontre l'axe des x en une infinité de points ayant pour abscisses x = kTz {k entier). L'axe des y étant évidemment un axe de symétrie, nous ne représentons que la portion située dans la région des x positifs {Jiff. 45).

ÉTUDE DES POINTS A l'iNFINI.

60. On peut étudier les points à l'infini soit directement par la méthode de Painvin,soit à l'aide d'une transformation due à Newton.

Méthode de Painvin.

Soient «, 6, c les coordonnées homogènes d'un point à l'infini d'une courbe algébrique de degré m, de sorte que fmict, 6) = o; ce qui revient à dire que (f,„(x,y) est divisible par bce — ay. Une sécante passant par le point {a,b,c) est une parallèle à la droite bx — ay = o; une pareille sécante a donc une équation de la forme

z =^\{bx — a y ) ,

X désignant un paramètre. L'équation du faisceau des droites joignant l'origine aux points communs à cette sécante et à la courbe donnée est

. l <?m(a^,y)-+-'^(bx — ay)<fm-i(ac^, y)

\ -^\^{bx — ayY^,n-2{x,y)-^... = o.

1° Supposons d'abord

"^mix, y) = {bx — ay) '\,n-i{x, y),

avec l'hypothèse ij;„j i( a, 6) ^ o.

Le premier membre de l'équation (i) admet le facteur bx — ay au premier degré, et par suite cette équation représente un faisceau de m droites dont l'une seulement est parallèle à la direction {a, b). En d'autres termes, toute sécante parallèle à cette direction a un point commun à l'infini avec la courbe : le point (a, b, o) &X. m — i autres points communs à distance finie. Pour qu'un second point d'intersection se confonde avec le point (a, b, o), il faut que X ait une valeur particulière, déterminée par l'équation

La droite représentée par l'équation

bx — ay—— -} r

est l'asymptote correspondante à la direction (a, b). 1° Supposons en second lieu

"^niix, y) = {bx — ay)P'\/m-p{x,y), ^m-p{a, 6) ^ o,

et supposons en outre (p„j i(a, b)^ o; toute parallèle à la direction (a, b) n'aura qu'un point à l'infini commun avec la courbe, car, après suppression du facteur bx — ay, le premier membre de l'équation (i) se réduit à

{bx — ay)P-'>- '\/,n-p{x, y) -^1 cp,„i {x, y) + \'i{bx — ay) tç,„2(a7, y)+....

Pour que la sécante ait deux points confondus avec {a, b, o), communs avec la courbe donnée, il faut faire X = o, de sorte que l'asymptote est rejetée à

l'infini. Ainsi, lorsque Ç/H(a7, y) est divisible par(6j; — «j)'', (jo > i) et que <f„i-i{^, y) n'est pas divisible par bx — ay, le point {a,b,o) est un point simple et la courbe est tangente en ce point à la droite de l'infini. 3° Supposons maintenant

9'n{x, y) = {bx — ayy- ^,n-i(^, y), o>n-i(^, y)^{bx — ay) 0,„2(a7, y),

et en outre

Dans ce cas, le faisceau des droites joignant l'origine aux points communs à la courbe et à la sécante X a pour équation

l (bx — ayy-['!^,n-zia:, y)-hlfi,n-2(.3^, y)

( -i-'>^^^m-t{^,y)^'>^\bx — ay)f„i-^(x,y)+...] = o.

La sécante considérée rencontre donc la courbe, quel que soit X, en deux points qui sont confondus avec le point (a, b, o) et en m — 2 autres points. Pour qu'un troisième point vienne se confondre avec le premier, il faut et il suffit que X soit racine de l'équation

t};,„2(a, 6) + Xe,„2(a, b) -h l^o, n-2{ct, b) = o;

on obtient ainsi deux asymptotes et le point à l'infini considéré est un point double. Si les deux racines de l'équation précédente sont égales, on dit que c'est un point de rebroussement à l'infini.

Nous ne développerons pas davantage cette méthode qui a été donnée par Painvin (voir, par exemple. Nouvelles Annales de Mathématiques, année i864).

Méthode de Nevsrton.

61. Soient x, y, z les coordonnées d'un point M rapporté à deux axes quelconques, et x' , y', z' les coordonnées d'un point M' rapporté aux mêmes axes ou à un second système d'axes. Si nous supposons que M et M' se correspondent de façon que

on voit qu'à un point M correspond un seul point M' et réciproquement. A une droite de la première figure correspond une droite de la seconde et réciproquement. En effet, à ux -\- vy -v- wz = o correspond uz' -\- vy' -+- wx' = o et réciproquement. On voit immédiatement que le coefficient angulaire de l'une des droites est égal à l'ordonnée à l'origine de sa transformée. En particulier, à la droite de l'infini de l'un des systèmes correspond l'axe des y dans l'autre. Une courbe algébrique de degré m a pour transformée une courbe algé- NiEWENGLOWSKi. — G. an., II. 5

brique du même degré; en effet, soit

<F/« (^. r) -t- -5 <P/n-l {oc, y) -+- 22 ^,n^{x, Jk) +• . . + 2"» «o = O

l'équation d'une courbe dans le premier système; sa transformée a pour équation

Orn{z', y') -+- X' <p,n-l (2', / ) -+- x"^ ^ m-i{x' , f) + . ■ .^x''^ (po = O.

Aux points d'intersection d'une courbe G et d'une droite D correspondent

les points communs à leurs transformées; on en conclut immédiatement qu'à

la tangente en M à la courbe G correspond la tangente en M' à la courbe G',

M' et G' étant les transformées de M et de G. Il est d'ailleurs facile d'établir

cette proposition par le calcul, comme nous le montrerons plus loin.

Pour plus de simplicité, posons z = ^'= i ; les formules de transformation

sont alors

on a ainsi

et

62. Il est facile d'interpréter géométriquement cette transformation, en supposant les axes rectangulaires. En désignant par a et b deux longueurs, considérons deux plans de projections rectangulaires {/i^- 46) et soit (0, o')

un point de l'espace ; soient o w = a, o'w = b. Si nous nommons m, m' les traces d'une droite passant par (o, o'), nous pourrons regarder 7?i' comme la perspective de m sur le plan vertical, le point de vue étant le point 00'; on trouve immédiatement les relations

Fig. 46.

op mp

en rapportant m à deux axes ox, oy et m à deux axes o' x\ o'y', ces systèmes étant rectangulaires, les axes des x étant perpendiculaires à la ligne de terre et enfin les axes de même nom dirigés en sens contraire, on a

d'où

xx' = ab.

Si a = 6 = I, on obtient les formules données plus haut.

On peut vérifier géométriquement la plupart des propriétés de la transformation que nous étudions, par exemple si m s'éloigne indéfiniment dans une direction non parallèle à oy^ m' viendra prendre une position limite située sur o'y' et facile à construire. Si le point m décrit une courbe de degré fz, sa perspective est évidemment une courbe du même degré, etc.

63. Gela étant, regardons y comme fonction de x et y' comme fonction de x' . Mais x' est une fonction de x] par suite l'équation

'■=y'x donne

dv , dy' dr' , , dy'

dx dx dx "^ dx

et l'on a pareillement

dy' dy

-f-j =y — x-j-' dx dx

Or, la tangente au point (x^ y) ayant pour équation

Y — X ^ / , dy ~ ' dx Y dx

sa transformée a pour équation

c'est-à-dire

dx' "^ dx'

ce qui démontre la proposition.

On trouve encore

dx- dx-

ce qui prouve qu'un arc de courbe G et l'arc correspondant G' tournent leurs concavités tous les deux du côté des ordonnées positives ou tous les deux du côté des ordonnées négatives, si les abscisses sont positives, et en sens contraire quand les abscisses sont négatives.

Gela posé, considérons une branche infinie de courbe décrite par le point

iM(^, ^), de sorte que vP croisse indéfiniment; alors -•> c'est-à-dire .r', tend

vers zéro par valeurs ayant le même signe que x^ de sorte que le point M

s'éloignant à l'infini dans une direction telle que — ait une limite finie c,

y' aura pour limite c; donc, à un point à l'infini (i,c, o) correspond un

point à distance finie A' (o, c, 1). Et réciproquement.

Si la branche infinie décrite par le point M est pourvue d'une asymptote

ayant pour équation Y = cX-f-rf, de sorte que x ç,\. y désignant les coor-

données du point M, on puisse poser

y = ex -\- d -h V,

en désignant par ç une fonction de x ayant pour limite zéro quand a* grandit indéfiniment, on aura

y = c -h dx' H- vx' ,

y' — c de sorte que lim' ; — = d\ le signe de v indiquera la position de l'arc A'M'

par rapport à sa tangente. Réciproquement, connaissant la forme de l'arc A'M' dans le voisinage du point A', on pourra en déduire la position de la branche infinie correspondante, par rapport à son asymptote.

6i. Nous pouvons donc étudier les points à l'infini par cette méthode puisque nous savons étudier la forme d'une courbe autour d'un de ses points à distance finie.

1° Point simple. — Supposons {fig. 4?) que le point A' soit un point simple situé sur l'axe o'y' et soit B'C sa tangente. Deux cas peuvent se pré-

Fig. 48.

Fig. 47-

senter : i" Les deux arcs A'M', A'N' partant de A' sont situés du même côté de la tangente, par exemple du côté des y' positifs; à ces deux arcs correspondent {Jig. 48) deux branches infinies Ai M, A2N asymptotes à la droite BG qui se déduit de B'C à l'aide de la remarque faite plus haut; BC a pour coefficient angulaire O'A' et pour ordonnée à l'origine le coefficient angulaire de B'C (on suppose, bien entendu, une ligne prise par unité; ayant pris Oa = O' a' pour unité, on prend ab = Ô'A' et Oû^ = b' c')-

Les deux branches infinies Aj M et A2N sont situées de part et d'autre de l'asymptote et la concavité de Ai M est tournée vers les jk positifs, tandis que oelle de A2N est tournée vers lesjK négatifs. On voit, en effet, que vx' étant positif, V et x' ont le même signe; il en est donc de même de c et x. Remarquons encore que si un point décrit l'arc N'A'M', le point correspondant décrira la branche infinie NA2, puis passera brusquement sur la branche Ai M. Le cas ordinaire correspond ainsi à deux branches infinies de part et d'autre de l'asymptote.

II n'en sera plus de même si le point A' est un point de visible inflexion. Supposons en effet, en second lieu, les arcs A'M' et A'N' situés de part et d'autre de la tangente C i^fig. \%). \.t% Jlg. 49 et 5o font suffisamment com-

Fi{

prendre les dispositions correspondantes. On dit aussi dans ce cas que le point à l'infini est un point d'inflexion; alors les deux branches infinies sont situées d'un même côlé de l'asymptote et elles tournent leurs concavités dans un même sens, par rapport aux j^.

2° Point double. — Supposons que A' soit un point double avec tangentes distinctes et réelles; aux deux tangentes correspondent deux asymptotes parallèles accompagnées chacune de deux branches infinies que l'on pourra étudier comme dans le cas précédent. Voici un exemple de la disposition

Fis. 52.

qu'on pourra rencontrer {Jig. 5i et 5^>.). Aux arcs A'M' correspondent les branches infinies Ai M, MA3 ; à l'arc A'P' correspond A4 P et à A'N', A2N.

3° Point de rebroussement : (a) Rebroussement de première espèce. — Les deux arcs {fig. 53) sont d'un même côté de l'axe des y, de part et d'autre de la tangente : les branches infinies correspondantes {fi-g- 54) seront dirigées vers la même extrémité de l'asymptote et de part et d'autre.

(6) Rebroussement de seconde espèce. — Les arcs de la première figure

seront encore d'un même côté de l'arc des jk et d'un même côté de la tangente

Fig. b\.

{ftg. 55); donc deux branches infinies vers une même extrémité de l'asymptote et d'un même côté {fig. 56).

Fig. 56.

Remarquons encore que la formule ^'j — y\ = — — — montre que, si a? est

positif, les deux différences y^ — yi et ^'j — y\ ont le même signe, et des signes contraires quand x est négatif.

4° Branches paraboliques. — Supposons enfin que, le point A' étant un point simple, la tangente en ce point soit l'axe àe?, y. A un arc M' A'N' tournant sa concavité du côté des x positifs, par exemple {fig. 5y), correspondront deux branches paraboliques (fig. 58) MAi, MA2, situées de part et d'autre

Fig. 58.

de la droite menée par l'origine et ayant pour coefficient angulaire c = O'A'. Si la concavité au voisinage de A' était tournée en sens contraire (fig- 5g),

les arcs paraboliques MAj, NA2 {fig- 60) seraient encore disposés de part et

Fig. 60.

Fig. 59.

d'autre de la droite y ^ cx\ mais, du côté des x négatifs, l'arc MAi correspondant à l'arc A'M' et l'arc NA2 à A'N'.

Si ra\e des y est une tangente d'inflexion {fig. 61), les deux branches pa-

Fig. 62.

raboliques seront de part et d'autre de l'axe des y et d'un même côté de la droite y — ca? = o {fig. 62).

Remarque. — On étudierait les branches infinies à direction asymptotique

parallèle à Oy en posant j^' = - , a;' = - •

60. La transformation que nous venons d'étudier permet encore d'établir aisément les théorèmes généraux relatifs aux asymptotes.

L'axe O' y' coupe la courbe transformée en m points; à un point simple correspond une tangente, à un point double correspondent deux tangentes et ainsi de suite; donc la courbe proposée a au plus m asymptotes. De chaque point de l'axe des y\ il part un nombre pair d'arcs; donc, dans la courbe donnée, chaque asymptote correspond à un nombre pair de branches infinies et le nombre des branches paraboliques est pair, puisqu'elles sont les transformées des arcs tangents à 0' y' .

Si le point A' est un point multiple d'ordre />, toute sécante passant par A' coupe la courbe G' en p points confondus avec A' et, quand cette, sécante devient une tangente, le nombre de points d'intersection confondus avec A' est au moins égal k p -\-\\ donc, quand p asymptotes sont parallèles, toute sécante parallèle à ces asymptotes a, avec la courbe G, p points communs à l'in-

fini, et chacune des asymptotes rencontre la courbe C au moins en /> + 1 points à l'infini.

Soit A' M' un arc partant du point A' situé sur 0/; la tangente en M' a pour limite la tangente en A'; or, à la tangente en M' correspond la tangente en M et à la tangente en A' l'asymptote de la branche infinie AM ; donc la tangente en M a pour limite l'asymptote.

66. Exercice : Former l'équation générale des courbes de degré ni ayant un rebroussement à l'infini. — Considérons une courbe C ayant un point de rebroussement en A'(o, c), la tangente ayant pour équation y' =■ c -\- dx' . L'équation de la courbe G', rapportée à deux axes parallèles à .O'a?' et O'y' transportées en A', sera (en supprimant les accents)

ou, en revenant aux axes primitifs,

{y — c — dxY -\- ^^{x, y — c) + (:^^{x, y — c) + . . .-\- ^m{oc, y — c) = o.

Pour avoir l'équation de la courbe G, il faut remplacer x par — et ^ par — ) ce qui donne

i(j ca; — a?)2-4- ^^^3(j,y — cx)

ou

^/n-2(j — ex — dy-T- a?''«-3cp3(i, y — ex)

-t-:r"»-*Oi(i,7 — ex) -h...-h(fm{i, y — cx) = o,

c'est-à-dire

xm-i(^y — ex — dy-h F{x, y — ex) = O,

F désignant un polynôme entier de degré m, x et y — ex étant regardés comme deux variables distinctes, x étant séparément, au plus, au degré m — 3. On vérifie directement sans difficulté que cette équation satisfait aux conditions données.

EXERCICES

1. Déterminer les asymptotes d'une courbe du troisième degré représentée par l'équation générale; discuter et en déduire une classification des courbes du troisième degré.

2. Former l'équation générale des courbes du troisième degré ayant un point de rebroussement à l'origine des coordonnées et un point de rebroussement à l'infini.

THÉORÈMES DE NEWTON, DE MAC-LAURIN, DE CARNOT. 78

3. Trouver les asymptotes parallèles à l'axe des^ de la courbe ayant pour équation

(X — I) (^2+ l) j5 (^ I)a73j4+ a^3j, +/(jp) = o,

f(x) désignant un polynôme entier. Étudier la position des branches infinies.

4. Construire les asymptotes des courbes représentées par les équations

(i) "ix^ — j^^-^{y — xy=o,

(3) y^ — x^ ^ y — IX =: o, ( 4 ) y^ — x^ — 2 x'^y^ -+- 2X = 0,

(5) y'* — .r* — Q6a-y^-\-iooa^X'= o,

(6) jK* — x^-\- x^y-— 2x^ := o.

o. Etudier les courbes précédentes autour de l'origine.

6. Appliquer la transformation de Newton aux exemples précédents.

THÉORÈMES DE NEWTON, DE MAC-LAURIN, DE CARNOT

67. Théorème de Newton. — Si les côtés d'un angle A rencontrent une courbe algébrique de degré m, aux points Pi, P2, ..., P^ et Qi, Qo, ..., Q//,, le rapport

ÂP,.ÂPo...ÂP,„

AQ,.ÂQ,...ÂQ,„

est indépendant de la position du sommet A, pourvu que les directions des côtés restent invariables.

En effet, so'il f{x,y) = o l'équation de la courbe donnée. Si l'on désigne par a, ^ les paramètres directeurs principaux de l'un des côtés de l'angle A; ^o> yo étant les coordonnées du sommet, le produit des racines de l'équation

74 CHAPITRE YI.

/(a?o-4- ap, 70+ ?p) = o est égal à "^ / " g . > ? (^>7) désignant l'ensemble