AP,.AP2...AP

En nommant ai, Pi les paramètres directeurs principaux du second côté et Qi) Q2î •••) Q/7t les points où il rencontre la courbe/, on a

'f (,*i) pi) d'où l'on tire

■ ÂP,.ÂP2...ÂP;„ ^ Cp(«l,Pl)

BQi.BQ2...BQ,„ ?(«»?) '

Ce rapport est donc indépendant de a7o et de j'o-

68. Théorème de Mac-L.vurin. — Si l'on mène par deuuu points A, B des transversales parallèles rencontrant une courbe d'ordre m aux points Pi, P2, ..., P/n et Ri, R2, ..., Rw respectivement, le rapport

APi.ÂP2...ÂP,„

BRi.BR2...BR,„

est indépendant de la direction de ces transversales.

En effet, en conservant les mêmes notations et appelant a7i,;'i les coordonnées de B, on a

BRi.BR2...BR..= -^^f^'^;\

donc

ÂPi.ÂP2...ÂP„, ^ /(^o,.ro) BRi.BR2...BR,„ /(^i,7i)

Remarque. — Le théorème de Mac-Laurin est une conséquence du théorème de Newton, et, inversement, celui de New^ton est un corollaire du théorème de Mac-Laurin.

Effectivement, si Si, S2, ..., S„j sont les points de rencontre de la courbe / avec une sécante parallèle à AQi menée par B, on voit que les égalités

APi.ÂP2...ÂP„j BRi.BR2...BR,„

AQ1.AQ2...AQ,,, BS,.BS2...BS,„

et