CLASSIFICATION DES POINTS MULTIPLES D'UNE COURBE ALGÉBRIQUE

12. Soient a, b les coordonnées cartésiennes d'un point A de la courbe algébrique ayant pour équation J(^x^ y) = o, et a, ^ les paramètres directeurs d'une sécante menée par A.

Nous savons déjà que le point A est un point simple, si l'une des dérivées faifb est différente de zéro; c'est un point multiple si ces deux dérivées sont nulles. Supposons /^ = o^ /À' = Oj mais qu'une au moins des dérivées du second ordre soit différente de zéro. L'équation

(i) /(a + ap, 6-+- Pp) = o

développée devient, après suppression du facteur p^,

POINTS MULTIPLES d'uNE COURBE ALGÉBRIQUE. 1 I

Le terme indépendant de p n'est pas identiquement nul; il ne s'annule que si les paramètres a, ^ vérifient l'équation

(3) a2/:.-H2ap/;',+ pî/;,= o.

Celte équation définit, en général, deux directions distinctes. Si la sécante menée par A n'est parallèle à aucune de ces directions, l'équation (i) a une racine nulle d'ordre 2 de multiplicité et m — 2 racines différentes de zéro, et, par suite, deux des points d'intersection de la courbe et de la sécante sont confondus avec le point A. Si a, p vérifient l'équation (3), la sécante aura au moins trois points communs avec la courbe qui seront confondus avec A. Donc, si l'on considère une sécante tournant autour de A, quand cette sécante se confond avec l'une des droites définies par l'équation (3), l'un au moins des points d'intersection de la sécante variable et de la courbe vient se confondre avec A. Pour cette raison, les sécantes particulières dont les directions sont déterminées par l'équation (3) sont des tangentes; on dit que le point A est un point double, et le faisceau des tangentes au point double a pour équation

Lorsqu'on ^ f'â'.fli — f'al^^^i ces tangentes sont réelles et distinctes; on dit que le point double est alors un nœud oxx encore un point crunodal; si flifli — J'ab = o» ^es tangentes sont confondues;^ on dit alors que le point A est un point de rebroussement.

Enfin, quand y^i'î/^'j — fâl^ o» les tangentes sont imaginaires conjuguées; il est clair qu'il ne peut partir de A, dans ce cas, aucun arc réel; on dit alors que le point A est un point isolé.

Plus généralement, supposons que toutes les dérivées partielles de la fonction f{x, y) soient nulles jusqu'à l'ordre p — i , l'une au moins des dérivées de l'ordre p étant différente de zéro. Dans ce cas, quelles que soient les valeurs de a et [3, l'équation (i) a au moins/? racines nulles; le coefficient de p/* ne sera nul que si l'on attribue à a et ^ des valeurs particulières qui vérifient l'équation

D'après cela, l'équation (4) [(^-«)/« + (r-^)/6]/.= o

définit, en général, p droites distinctes passant par le point A. Une

sécante quelconque non confondue avec l'une de ces p droites particulières rencontre la courbe en p points confondus avec le point A et, par suite, en m — p autres points. Au contraire, l'une quelconque des droites du faisceau (4) rencontre la courbe au moins en p + 1 points confondus avec le point A, On dit alors que le point A est un point multiple d'ordre/? et que la courbe admet, au point A, p tangentes définies par l'équation (4).

Ces tangentes peuvent, d'ailleurs, être réelles ou imaginaires, distinctes ou non .

Les conditions pour qu'un point A(a, b) soit un point multiple d'ordre/) de la cowxhe f{x, y) = o sont donc

fa = O, /i = o,

/«'» = o, fàh = o, /î', = o,

le nombre de ces conditions est i + 2 H- , . . H- p ^ — -'

On voit, d'après cela, que l'équation la plus générale du degré m, dont les coefficients sont entièrement arbitraires, représente une courbe dépourvue de points multiples.

13. Lorsque l'on transporte l'origine en un point multiple d'ordre /> en posant ^ = a-hX, y = 6 + Y, l'ensemble des termes du plus bas degré sera du degré/?; car, en posant X = ap, Y = [3p, l'équation en p devra avoir yt? racines nulles, quels que soient a et p.

Cette équation sera donc de la forme

<ï>;,(X,Y)+cp^+i(X,Y) + ... = o, et l'équalion

représentera le faisceau des tangentes à l'origine, puisque l'équation en p étant alors, après suppression du facteur p'',

cp/,(a, p)-)- pç)p+i(a, i3)-4-... = o;

on voit, en raisonnant comme plus haut, que les paramètres directeurs des tangentes sont déterminés par l'équation '^p{^, ^) = o.

POINTS MULTIPLES d'uNE COURBE ALGÉBRIQUE. l3

a. Points multiples en coordonnées trilinéaires. — Soient x, y, z et X, Y, Z les coordonnées trilinéaires des deux points A, M, et /{x^.y^z) = o l'équation d'une courbe de degré m. Les points d'intersection de cette courbe avec la sécante AM sont déterminés quand on connaît les racines de l'équation

/(a; -f- XX, j+ X Y, ^ + XZ) ^ o.

Autant cette équation en X aura de racines nulles, autant la sécante AM aura de points communs avec la courbe qui seront confondus avec le point A. Donc, si l'on suppose /(a:, ^, ^) et ses/» — i premières dérivées nulles, on voit, comme plus haut, que le point A sera un point multiple d'ordre p.

Mais, parmi les conditions obtenues en égalant à zéro f{x, y, z) et ses dérivées partielles, toutes ne sont pas distinctes. En effet, en vertu des identités d'Euler, si toutes les dérivées d'ordre p — i sont nulles, la fonction f{x, y, z) et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre p — 2 sont nulles. Il suffit

donc d'égaler à zéro les dérivées d'ordre p — i; si l'une au moins

des dérivées d'ordre j3 est différente de zéro, le faisceau des tangentes en A aura pour équation (X/i+ Y/^-t- 'Lf'z)p = o; car, si M est l'un quelconque des points dont les coordonnées vérifient l'équation précédente, la droite AM coupe la courbe en /> -+- 1 points confondus avec A; or, si M' est un point de AM, la sécante AM' ne différant pas de AM, les coordonnées de M' vérifient aussi l'équation précédente, d'où il résulte que cette équation représente bien p droites.

Si la courbe f passe par le point {x =^ o, y = o), son équation est de la forme

z"t-P Op{x,y) -^ z"'-P-i Op+i(x, y) -\- . . .+ cpm(^, JK) = o.

Le point (0,0,1) est alors un point multiple d'ordre jo, et l'équation ^p{x, y) = o représente le faisceau des tangentes en ce point.

15. Influence des points multiples sur la classe. — Désignons par o{x, y, z) le premier membre de l'équation de la polaire du point (a, p, y) relative à la courbe ayant pour équation y( a;, y, z) = o, c'est-à-dire

Si la courbe/a un point double {x,y,z), les trois dérivées y^, y^, y^ sont nulles, mais l'une au moins des dérivées du second ordre est différente de zéro; donc, a, p, y étant arbitraires, l'une au moins des dérivées cp^, cp^., çl est différente de zéro, et le point {x,y,z) est un point simple de la polaire du point (a, p, y).

On vérifie de même qu'un point multiple d'ordre p de la courbe f est un point multiple d'ordre p — i de la polaire ç.

Cela posé, si une courbe a un point multiple A d'ordre/?; il passe par ce point/? arcs appartenant à cette courbe. Si le point A est en même temps un point multiple d'ordre q d'une seconde courbe, chacun des p arcs de la pre-

l4 CHAPITRE II.

mière courbe coupe en A chacun des q arcs de la seconde courbe, de sorte que le point A doit compter pour pq points communs confondus en un seul. Bien entendu, si quelques-uns des arcs de Tune des courbes est tangent à l'un des arcs de l'autre courbe, le point A comptera par un nombre de points communs supérieur k pq.

Si le point A est un point multiple d'ordre/) de la courbe/", la première polaire d'un point (a, p, y) coupe la courbey en p(p — i) points confondus avec A, et à ces points d'intersection ne correspondent pas de tangentes à f, passant par le point (a, p, y), si ce point est arbitraire. Donc chaque point multiple d'ordre/» de /abaisse la classe de cette courbe dep(p — i) unités. Un point double l'abaisse de deux unités; donc, à ce point de vue, un point d'ordre/)

équivaut à points doubles. D'ailleurs, si/? branches de courbe passent par le point A, elles se coupent deux à deux en — points confondus avec le point A.

Supposons maintenant que A soit un point de rebroussement de la courbe y". Si nous prenons ce point pour origine des coordonnées, l'axe des x étant la tangente de rebroussement, nous pouvons poser

A^, y,^)^ ^'«-2^2 ^. -,«-3 ^3(^, y)^ ^M-4 cp4(^, jk) +. . . ,

d'où

y ^ Oy

A = {ni-2)z'n-^y

Le terme du plus bas degré dans f^(x,y,z) sera l'^y. L'origine sera donc un point simple de la polaire; mais les courbes y et cp seront tangentes en ce point, qui comptera par suite pour 3. La classe se trouve ainsi diminuée de trois unités.

Si l'on considère une courbe de degré m n'ayant que des points doubles et des points de rebroussement, sa classe [jl = m{m — i) — id — 3/', d étant le nombre de points doubles et r celui des points de rebroussement.

On démontre encore que le nombre des points d'inflexion est alors égal à om{m — 2) — 6d — 8r. Ces formules sont dues à Pliicker.

16. On vérifie de la même manière que la polaire d'un point d'une tangente d'inflexion passe par le point d'inflexion et y est tangente à la courbe /; donc, dans l'évaluation du nombre des tangentes issues d'un point pris sur une tangente d'inflexion, cette tangente devra compter pour deux. De même, on devra compter pour deux la tangente en un point de la courbe f, si l'on compte le nombre de tangentes issues de ce point.

17. Application aux lieux géométriques. — On peut souvent évaluer, a priori, le degré d'un lieu géométrique, en cherchant en combien de points

POINTS MULTIPLES d'uNE COURBE ALGÉBRIQUE.

ce lieu est coupé par une droite arbitraire. On peut être amené à considérer des sécantes issues d'un point P. Dans ce cas, il faut s'assurer d'abord si le point P fait partie du lieu et, s'il en est ainsi, évaluer son degré de multiplicité p. Si sur chaque droite menée par P il y a ^ points du lieu autres que P, le degré du lieu sera égal à. p -+- q.

Proposons-nous, par exemple, d'évaluer le degré de la podaire d'une courbe donnée G. Soit [jl la classe de cette courbe. Je dis d'abord que le point P est un point multiple d'ordre [jl de la podaire cherchée. En effet, supposons que P ne soit pas sur la courbe G; on peut alors mener par P, jji tangentes à la courbe G. Or le pied M de la perpendiculaire abaissée de P sur une tangente variable a pour limite le point P quand cette tangente vient passer par P, et PM a pour limite la perpendiculaire menée par le point P à la tangente issue de P que nous venons de considérer. Le point P est donc un point multiple d'ordre [ji, les tangentes en ce point étant les perpendiculaires menées par P aux [i tangentes à la courbe G issues de ce point.

Cela étant, les points de la podaire autres que P, situés sur une sécante menée par ce point, sont à l'intersection de cette sécante et des [x tangentes à G qui lui sont perpendiculaires. Le degré de la podaire est donc égal à 2;ji.

La conclusion subsiste si le point P est sur la courbe donnée; car, dans ce cas, deux branches de la podaire seront tangentes à la normale en P à la courbe G.

On peut encore remarquer que la podaire touche la courbe G aux points d'incidence des normales à cette courbe, issues du point P.

La podaire d'une conique est une courbe du quatrième degré admettant le point P pour point double crunodal si P est extérieur; pour point de rebroussement, s'il est sur la conique, et enfin pour point isolé, s'il est intérieur; enfin, la podaire touche la conique en quatre points.

Fig. 4.

18. Polaire réciproque d'un point d'inflexion. — Soit a un point d'inflexion d'un arc de courbe G (^fig. 4) i si l'on prend sur cet arc un point m suffisamment près de a, il y aura un point p où la tangente P sera parallèle à la tangente M en m^ les deux points m et p étant de part et d'autre de la normale en a. Les pôles m', p' des tangentes M, P par rapport à la conique directrice sont sur un même diamètre conjugué à la direction commune de ces tangentes. Le pôle de A étant le point a', les arcs am, ap auront pour transformés deux arcs a' m' , a' p' situés d'un même côté de Oa', O étant le centre de la conique directrice D, et tangents à la droite A', polaire de a. On en conclut que la polaire réci-

l6 CHAPITRE II.

proque d'un point d'inflexion est une tangente de rebrousseraent. et réciproquement.

Il en résulte que, si une tangente {u,v,w) à la courbe représentée par l'équation tangentiellc F(u, v, w) = o est une tangente d'inflexion, on a F'n = o, F^ = o, F^ = o ; car le point (u,v,w)de la courbe ayant pour équation ponctuelle F(u, v, w) = o, sera un point de rebroussement.