PA.PB PG.PD

Oa.Ob Ôc.Ôd

De là cette conséquence : pour que les quatre points A, B, C, D soient sur un cercle, il faut et il suffit que Oa = Oc, et, par suite, que les deux diamètres soient

également inclinés sur les axes de la conique; les deux sécantes PA, PC doivent donc être également inclinées sur les axes de la conique. Il en résulte immédiatement que, si deux coniques se coupent en quatre points situés sur un cercle, leurs axes sont parallèles.

70. Il est utile de savoir comment on doit modifier le théorème de Newton quand le sommet de l'angle A vient se placer sur la courbe; il suffit de remarquer que, dans le triangle APiQi {Jig. 64),

APi sinQi AQi ~ sinPi '

Supposons que la corde PiQi se confonde avec la tangente en Pi, le côté AQi venant passer par Pi qui reste fixe; en appelant à et ^ les angles que la tangente en Pi fait avec les côtés de l'angle A, on a

APi sina

AQi ~ sinp'

lim

Considérons par exemple une ellipse et un triangle ABC y inscrit (^^. 65); menons les tangentes en A, B, G, et soient a, P; a', P'; a", P" les angles que ces tangentes font avec les côtés. En nommant a, b, c les longueurs des demi-diamètres parallèles aux côtés du triangle ABC, il résulte de la remarque que nous venons de faire que

d'où

AB sina AC sinp BG sin a' BAsinp' CAsina' GB sin P"

ab^ a-

sin a sina sm a

sin p sin j3' sin p' 71. Théorème de C.vrnot. — Le produit des rapports segmentaires dé-

terminés sur les côtés successifs d'un polygone par une courbe tracée dans son plan est égal à -)- i .

Supposons qu'un mobile parcoure le périmètre du polygone AiA2...A,t dans un sens déterminé, par exemple dans celui qui correspond aux indices rangés dans l'ordre croissant; soient Pi, P2, ..., P/» les points de rencontre d'une courbe d'ordre m donnée avec l'un des côtés, par exemple A/jA/j+i, et considérons le produit

Pi A/,

^^^ JP2A/,

PlA/j+i P2A/i4-i

II s'agit de prouver que le produit de toutes les expressions analogues est égal à -1- I ,

Si xii,yii,z/i et xu+i, y/i+i, -^h-t-i som les coordonnées homogènes des points A/j, A/j+i, les racines de l'équation

f{x,,-\- Ix/t+i, yn-h lyn+i, z,,-\- Xs/,+i) = o,

changées de signe, sont précisément les rapports segmentaires relatifs au côté A/t A/j+i si l'on suppose z/i — z/i+i = i . Il en résulte que le produit de ces

rapports est égal à -j-^ > en désignant par//j et par f/i+i les résultats qu'on

Jh+l

obtient en substituant aux coordonnées courantes les coordonnées des points A/j et A/j+i dans le polynôme f{x, y, z).

En opérant de même pour tous les côtés, nous obtenons le produit

f% fi /i

ou, en simplifiant, -\- i.

En particulier, si les côtés d'un triangle ABC {fig. 66) coupent une conique aux points M, P, Q, R, S, T, on a

MAPA QBRB ^I^^ MB PB ^ QG RG ^ SA TA "" "^ '•

Réciproquement, si cette relation a lieu, les six points M, P, . . . , S, T sont sur une conique. En effet, si la conique qui passe par les cinq points M, P, Q, R, S coupe le côté AG en T', on aura la relation précédente et celle que l'on déduit en changeant T