TA T'A
suite, T et T' coïncident.
EXERCICES
1. Déduire du théorème de Newton l'équation d'une ellipse, ou d'une hyperbole, rapportée à deux diamètres conjugués.
CONSTRUCTION DE COURBES EX COORDONNÉES RECTILIGNES. 77
2. Examiner ce que devient le théorème de Newton quand on l'applique à deux angles ayant un côté commun de direction asymptotique.
3. Déduire du théorème trouvé au n° 2 l'équation de la parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à son extrémité.
4. Démontrer que le produit des distances d'un point M, pris sur une asymptote d'une hyperbole, aux points d'intersection de cette hyperbole avec une sécante menée par M parallèlement à une direction donnée, est indépendant de la position du point M sur cette asymptote. Déduire cette proposition du n° 2.
5. Appliquer le théorème de Garnot à un triangle circonscrit à une conique; en déduire que les droites joignant les sommets aux points de contact des côtés opposés sont concourantes.
6. Démontrer, à l'aide du théorème de Garnot, que trois points d'inflexion réels d'une cubique sont en ligne droite. En déduire qu'une cubique donnée ne peut avoir plus de trois points d'inflexion réels.
CilAPITRE Yll.
GONSTRUGTIOX DE GOURDES EN GOORDONNÉES REGTILIGNES.
72. Nous établirons d'abord quelques propositions qui permettent, dans certains cas, de simplifier la construction d'une courbe dont on donne l'équation en coordonnées rectilignes.
1° Si r équation de la courbe ne change pas quand on change X en — X et y en — y, V origine des coordonnées est un centre, et réciproquement.
S'il en est ainsi, il suffira évidemment, par exemple, de construire la portion de la courbe qui correspond à des abscisses positives, car il suffira, pour achever, de tracer les arcs symétriques des arcs déjà obtenus, par rapport à l'origine.
2° Pour que V axe des x soit un axe de symétrie, quand les axes sont rectangulaires^ il faut et il suffit que l'équation de la courbe ne change pas quand on change y en — y.
En effet, deux points symétriques par rapport à l'axe des x ont des abscisses égales et des ordonnées égales et de signes contraires.
Si les axes sont obliques, la condition précédente exprime qu'à chaque point M de la courbe correspond un point M' tel que la corde MM' soit parallèle à l'axe des j- et, de plus, ait son milieu sur l'axe des x.
3° Même remarque pour l'axe des y.
4" Pour que la bissectrice de V angle xOy soit un axe de symétrie, il faut et il suffit que V équation ne change pas quand on permute x et y.
Cherchons les conditions exprimant que deux points M, M' sont symétriques par rapport à cette bissectrice.
Soient x, y les coordonnées de M; x' , y' celles de M'. En exprimant que MM' est parallèle à la bissectrice de l'angle x'Oy et que le milieu de MM' est sur la bissectrice de l'angle xOy, nous trouvons
x-^-y ^x'-]-y\ x + x'=y-i-y', d'où
D'après cela, pour que la bissectrice de l'angle xOy soit un axe de symétrie de la courbe y (a7,^) = o, il faut et il suffit que les deux équations
soient équivalentes.
On arrive au même résultat par la transformation des coordonnées. Prenons pour nouvel axe des X la première bissectrice (y = x), et pour axe des Y la seconde bissectrice (j^ = — x). Les paramètres directeurs principaux de
OX sont a = S = -=- et ceux de OY, <x'= — 8'= — : — — : , 0 étant l'angle
'^ 2cosiO "^ 2sin^-6 °
des axes primitifs. Les formules de transformation sont
2cos|0 isiniO' "^ 2cos|0 2sin|0
On voit que changer Y en — Y revient bien à permuter x et y.
On voit en même temps que, si l'on change X en — X, x se change en — y
CONSTRUCTION DE COURBES EN COORDONNÉES RECTILIGNES. 79
et y en — x\ donc, pour que la seconde bissectrice soit un axe de symétrie, il faut et il suffit que les équations
soient équivalentes. C'est d'ailleurs ce que l'on prouverait directement en suivant la même marche que pour la première bissectrice, car, si M et M' sont symétriques par rapport à cette bissectrice, on doit avoir
Cela posé, il y a deux, cas à distinguer suivant que l'on peut on non résoudre l'équation donnée par rapport à l'une des variables.
