PREMIER CAS. — ÉQUATIONS RÉSOLUES

73. Nous pouvons, pour fixer les idées, supposer l'équation résolue par rapport à y.

Dans ce cas, voici les opérations qu'il convient de faire pour pouvoir tracer la courbe avec précision :

1° On cherche, avant tout, dans quels intervalles on doit faire varier x pour que j' soit une fonction réelle et continue. En particulier, on déterminera les valeurs de x qui rendent jk infini.

On cherche aussi les valeurs de x pour lesquelles y est nul ; ces valeurs déterminent les points de rencontre de la courbe et de l'axe des x.

1° On calcule la dérivée j''; ce calcul est indispensable. Le signe de jk' dans chacun des intervalles dans lesquels j^ est continu indiquera le sens de la variation de y. Il faudra donc chercher pour quelles valeurs de x^y' s'annule ou est infinie, et l'on notera particulièrement celles de ces valeurs qui correspondent à un changement de signe. On sait d'ailleurs que la valeur de y' est égale au coefficient angulaire de la tangente au point [x, y).

3° On calcule la dérivée seconde,^'. Son signe donne le sens de la concavité. Les valeurs de ^, pour lesquelles y' s'annule sans changer de signe, correspondent à des points d'inflexion où la tangente est parallèle à l'axe des x.

4° Cela fait, on cherchera, s'il y a lieu, les asymptotes et les points singuliers.

Avec toutes ces indications et en s'aidant de la détermination aussi exacte que possible de quelques points, on pourra faire un dessin représentant la courbe demandée.

Si l'équation proposée n'est pas homogène, il faudra donner la longueur prise pour unité.