Exemples

i"^ = P(a?), P(a7) étant un polynôme entier. On sait calculer j'' et^". Si l'on peut résoudre les équations P(a7) = o, V{x) = o, V {x) = o, on saura construire la courbe représentée par l'équation précédente.

Soit, par exemple, à construire la courbe représentée par l'équation

j" = x^-\- px ■+- q.

On peut simplifier la construction par un changement d'axe, en posant y =iX -\- q. Les nouveaux axes sont parallèles aux anciens, la nouvelle

origine étant sur l'ancien axe desj'. Prenons sur Oy un segment 00'= q et menons par O' une parallèle à 0^; nous avons à construire

- px.

On voit déjà que la nouvelle origine est un centre. Il suffira donc de faire

varier a: de o à -Hoo; on complétera en construisant la figure symétrique par

rapport à l'origine.

D'autre part,

Supposons d'abord /? > o. Dans ce cas, la dérivée j'' est toujours positive,

et, par suite, l'ordonnée y est croissante. La courbe a une direction asymptotique parallèle à l'axe des ^', mais elle n'a aucune asymptote.

La tangente à l'origine a pour coefficient angulaire p; nous prendrons O'A = i et nous porterons à J)artir de A sur une parallèle à

Oy un segment AB =p. La concavité étant dirigée vers les j^' positifs pour a7>o, la courbe a la forme indiquée {fig. 67).

On peut remarquer que la courbe coupe l'ancien axe des x en un seul point M dont l'abscisse est négative si q est positif (cas de la figure). L'abscisse de M serait évidemment positive si q était négatif; donc, quand on suppose/? > o, l'équation

x^-\- px -{- q =0

a une racine réelle dont le signe est celui de — q.

En second lieu, supposons /? < o ; alors y' s'annule pour a; = ± t / — ^ •

Fig

CONSTRUCTION DE COURBES EX COORDONNÉES RECTILIGNES. 8l

Dans l'intervalle de x = o à a; = -t- 1 / — |- la dérivée est négative; elle change de signe en s'annulant, quand x atteint et dépasse i / — ^ ^^ de X =-T- 1/ — ~ À X =-+- X elle est positive ; l'ordonnée a donc un minimum pour X = -h 4 / — Ç'} ce minimum est facile à calculer.

En écrivant y = x{x^-{-p) -+- q, et remplaçant a; par i/ — ^' on trouve

IIP V fat ma-sîmiim nniir t r^rrr — 1 / —

On voit de même que y est maximum pour x = — 4 / — ^ et ce maximum

est égal à r^t/ — q + S'- Gomme dans le cas précédent le point (o, g)

est un point d'inflexion, mais comme on suppose /) < o, le coefficient angulaire de la tangente d'inflexion est négatif. On obtient la forme suivante (Jiff. 68).

Le point O' est encore un centre.

Pour que l'équation

x^-^ px -i- q = o

ait ses trois racines réelles, il faut

évidemment que l'axe des x soit situé entre les deux tangentes qui lui sont

parallèles, c'est-à-dire que l'on ait

Fi g. 63.

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