I.K-VV-I
c'est-à-dire
4/?^ -H i-jq^<. o.
^'3'=— -^l/ — -T' l'équation a une racine double égale à -h 1 /— - et une racine simple négative égale à — 21/— jj si <? =+ ^4 /— ^, l'équane double égale à —i/—^- et une racine simple positive
tion a une racine égale à -4-2 4/ - |.
NiEWENGLOWSKI. — G. ail., II.
Enfin le cas où jo = o est intermédiaire entre les deux précédents ; la courbe a la même forme que dans le premier cas, mais la tangente au point d'inflexion est parallèle à l'axe des x {Jig. 69.
Fig. 69.
f{x) et ^{x) désignent deux polynômes entiers et rationnels en x, que nous supposerons premiers entre eux. A chaque valeur réelle de x correspond une valeur réelle de;^. On cherchera les racines des équations f{x) = 0, cp {x) = o et on les rangera par ordre croissant. La fonction y est continue dans chaque intervalle compris entre deux racines consécutives de l'équation ^{x) = o et aussi entre — co et la plus petite racine, et entre la plus grande racine et H- co. Quand x passe par une racine de f{x), y s'annule; connaissant l'ordre de multiplicité de cette racine, on saura si y change de signe en s'annulant; jy est infini quand x traverse une racine de cp(a7)= o; on notera si y change de signe.
On calcule ensuite v ; y = ' "^ V / v..- -^-^ '
On cherchera les valeurs de x qui annulent le numérateur et l'on remarquera celles qui sont des racines d'ordre impair de multiplicité; pour celleslà, y' s'annule en changeant de signe. Les valeurs finies de x qui rendent^ infini rendent aussi ^' infini. Lorsque f(x) et œ(a;) sont du même degré m, le numérateur de y' est du degré a/n — 2 au plus, comme on s'en assure aisément. La résolution de l'équation y' = o est souvent pénible, sinon impossible; on pourra plus rarement encore étudier le signe de^".
On cherche ensuite les asymptotes, ce que nous savons faire. Rappelons que les racines de o{x)= 0 donnent les asymptotes parallèles à l'axe des y.
Exemple : v = 1 1 •
Les valeurs de x qui rendent y infini sont o, 1,2; pour x —:
On a ensuite Fig. 70.
donc y est décroissant dans les intervalles oîi il est continu. En remarquant que les asymptotes parallèles à l'axe des j' ont pour équations x = o, x = 1, a? = 2 et que l'axe des x est une asymptote, on trouve aisément la forme de la courbe (fig. 70), en supposant OA = AB = I . La courbe coupe l'axe des x en un point compris entre O et A eï- en un point compris entre A et B.
CONSTRUCTION DE COURBES EN COORDONNÉES RECTILIGNES
"i" y = i/ ^-Y^, f{x) et 9(37) étant des polynômes entiers, premiers
entre eux, et/? un entier positif.
On procède comme dans le cas précédent, mais on ne devra considérer que
les intervalles dans lesquels la fraction Exemple : y = ±
est positive.
v/(a7-Hi)(a7-h2)
Pour que y soit réel, il faut que x soit compris entre — 00 et — 2, ou entre — I et -4-00. L'axe des x est évidemment un axe de symétrie, si les axes de coordonnées sont rectangulaires; nous pouvons donc nous borner à construire la portion de la courbe qui correspond au signe -\- et replier ensuite autour de Ox la portion de courbe obtenue; les ordonnées auront le même signe que x.
Calculons la dérivée de^; on obtient
Cette expression n'est réelle que pour les valeurs de x non comprises entre — 2 et — i : de — 00 à — 2, la dérivée est négative; elle est positive de -i- 1 à -h 00. On reconnaît que la courbe a quatre asymptotes dont les équations sont x =■ — 2, x= — 1 et
L'origine est un point double où les tangentes ont pour coefficients angulaires dz —^{fig. 71).
En supposant, comme plus haut, que /(ar) et 9(37) sont deux polynômes entiers, premiers entre eux, ce cas se traitera comme le cas du n" 2, car y sera réel pour toutes les valeurs réelles de x.
Exemple : y =. x -^ i/
On peut construire d'abord la droite ayant pour équation j' = a:; pour chaque valeur de x, il faut ajouter à l'ordonnée de cette droite la valeur^cor-
3 /^2 J Qpi
respondante de 1 / • La fraction
a le sijrne
de — 00 à — 2;
le signe h-, de — 2 à — x; elle est négative de — i à + 1 et, enfin, positive de -+- 1 à -h 00. D'ailleurs si nous posons
nous trouvons
Celte dérivée s'annule pour cr = — a ± /S ; elle est négative dans l'intervalle de — 2 — /3à — 2 et de — aà — 24-/3. Fig- 72. Cherchons si la courbe a des asymptotes.
donne
lim^ = i;
— 2/3 — par la fig
mais y — a? est infini pour a; infini; donc pas d'asymptote inclinée. Une seule asymptote parallèle à l'axe des^, ayant pour abscisse — 2.
Construisons les droites ^ = a;eta7= — 2; construisons également les segments 0A= — 2 — /3 et OB = — 2 H- y/3 ; aux points correspondants à X = OA et à a; = OB la tangente a pour coefficient angulaire -i-i; d'ailleurs les valeurs de u sont 4 et 2 y3 — 4; o'ï en conclut que la courbe a la forme représentê'e
5° L'ordonnée y est une somme de radicaux dont quelques-uns sont d'indice pair. — On cherchera dans quels intervalles chacun des radicaux d'indice pair est réel, et l'on ne fera varier arque dans ces intervalles. Cependant il peut ai river que pour des valeurs particulières de a? deux ou plusieurs radicaux soient imaginaires et que néanmoins leur somme soit réelle. Soit, par exemple,
y = ^ X — f ^i.x — 5 -I- \ \Jx — 3.
Si a? = 2, on a
Or,
sji-ki--
:±(|-iO;
donc, si l'on prend pour le premier radical la détermination f — \i, la valeur de / sera réelle et égale à |. Mais si l'on donne à x une valeur infiniment voisine de 1, y sera imaginaire; le point a? = 2, ^ = f est un point isolé.
Autres exemples.
Supposons a>i; nous avons démontré directement en Algèbre que la fonction a^ est croissante et varie de o à -t- 00 quand x croît de — oc à -H 00;
CONSTRUCTION DE COURBES EN COORDONNÉES RECTILIGNES
en outre, la formule j^"= a^{hay nous montre que la concavité est tournée vers les y positifs, enfin on reconnaît que la courbe n'a pas d'autre asymptote que l'axe des x. L'axe des y est une direction asymptotique; cette courbe a donc la forme indiquée sur la Jig. j3 ; quelle que soit la valeur de a, elle rencontre l'axe des^ au point A tel que OA = i.
En second lieu, soit a'< i. On peut remarquer que, si l'on pose a' = — el
x' = — 37, on a a'^' = a^\ par conséquent la courbe symétrique de la précédente par rapport à l'axe des y a pour équation
elle est tracée en traits ponctues.
Fig. 74.
aa
2° JK = loga^?.
On peut écrire l'équation précédente sous la forme x = aV : donc on déduit immédiatement la forme de cette courbe de celle de la courbe^ = a^\ en supposant a > i, on a la courbe représentée sur la fig. 74.
La différence x — log^a? augmente indéfiniment avec x\ donc, si l'on construit la bissectrice OL de l'angle xOy, la différence des ordonnées QM augmente indéfiniment avec x. La courbe ayant pour équation j' = logia; est
la symétrique de la précédente par rapport à l'axe des x. Elle est tracée en traits ponctués.
76. Nous construirons encore la courbe suivante, qui présente une particularité intéressante. Son équation est
jK = sin -.
L'origine est un centre; on se bornera à construire la partie qui correspond à ar > 0. L'équation
dy I I
dx x^ X
permet de déterminer les intervalles dans lesquels la fonction y est croissante ou décroissante; on voit ainsi que/ passe par une infinité de maximums
et de minimums égaux à -f- 1 et à — i et qui correspondent à la formule
kiz
en outre, l'ordonnée y s'annule pour une infinité de valeurs de x comprises dans la formule
Il en résulte que l'axe des x est une asymptote. Quand x tend vers zéro,
y est entièrement indéterminé. On a ainsi un arc infini dont tous les points
sont à distance finie et se rapprochent indéfiniment de l'axe des^.
