USAGE DE COURBES AUXILIAIRES

77. La construction d'une courbe du second degré a été simplifiée, comme on l'a vu, par la construction préalable du diamètre conjugué à l'axe des^;'; de même, dans l'exemple (4) du n° 74, nous nous sommes servi de la bissectrice y = X. Voici un exemple qui montrera bien l'avantage du tracé de courbes auxiliaires pour la construction des courbes.

Soit à construire

i / I i /sina;

(Laguerre, Examens de l'Ecole Polytechnique.)

CONSTRUCTION DE COURBES EN COORDONNÉES RECTILIGNES. 87

On voit d'abord que l'axe des j' est un axe de symétrie; nous nous bornerons à la partie de la courbe correspondant à x > o. Nous construirons d'abord la courbe auxiliaire ayant pour équation

de sorte que nous pourrons poser

7=ri

/sin.

Quand x croît de o à -1- 00, j'j décroît de -1- oc à i ; on obtient ainsi un arc infini asymptote à l'axe des y tx, à la parallèle à l'axe des x menée à une distance de cet axe égale à l'unité. D'ailleurs la formule

dy\ dx

dyx

x^ s/x^ 4- I montre que -^ est négative et décroissante en valeur absolue quand x varie

de o à -f-oo; donc, la dérivée seconde de jki est positive et, par suite, la courbe auxiliaire ABC... a la forme indiquée en traits ponctués (^fig- 76).

Fig. 76.

'■"HX--^

Gela posé

, * /sin;

a le même signe que sinar, puisque l'on suppose a?> o;

en outre, l'équation sina? = o a une infinité de racines positives données par

la formule a; = Arir. De o à •tt, la fonction est positive; de tu à 271 elle est

négative, et ainsi de suite. Enfin, si l'on considère deux valeurs de x différant de TT, a^o et arg-l- x, on a

sin(a7o-H tî) = — sina^o;

donc

sina^o

Xfj

sin(a7o-4- tz)

Xq ■

sina^ 1, . . a^cosa: — sina? Remarquons encore que ayant pour dérivée > celte

fraction passe par une infinité de maximums et de minimums qui corres-

|)ondent aux racines de l'équation tanga^ = x^ la plus petite de ces valeurs

étant comprise entre ret — • Enfin, pour toutes les valeurs positives de a?, on a

<i, de sorte que l'ordonnée y ne peut être nulle pour aucune valeur de X. Il résulte de là que, si l'on détermine les points A, B, C, ... de la courbe auxiliaire, ayant pour abscisses tu, 2tt, Stt, ..., la proposée se compose d'une infinité d'arcs passant par tous ces points et situés alternativement de part et d'autre de la courbe auxiliaire autour de laquelle elle serpente. Quand x tend vers zéro,^ est infini et la différence jk — jKi tend vers — i, en croissant en valeur absolue. Cherchons les coefficients angulaires des tangentes aux points A, B, G, ... communs à la courbe auxiliaire et à la courbe proposée.

La dérivée

dy — f I a"cos.r — ûwx lûnx

d^ ~ x"' sjx'^-^i 3 x'^ \ X

est infinie pour x = /ît; il en résulte que les points considérés sont des points d'inflexion.

On peut se demander si la courbe rencontre la droite ^ = i. Pour le reconnaître, nous aurons recours à un artifice; considérons la courbe auxiliaire définie par l'équation

en ne considérant que les valeurs de y^ qui correspondent à a^ > o. Cherchons d'abord la valeur de y^, pour a? = o; en écrivant

on voit que /2 est infini pour a? = o. Cela posé, on trouve dy=, — I I

Cette dérivée est nulle si

a? y/a^^ -r- 1 = 3 /^ ou a?'^(a72-i- i)3 = 3®.

Cette équation n'a qu'une seule racine positive x' comprise entre i et 2. De sorte que ^2 décroît dans l'intervalle (o, x'') et croît quand x varie de x' à 4-00. Or j>^2 a pour limite t quand x croît indéfiniment, et d'ailleurs y^ est toujours positif. En outre, y est toujours plus grand que j'2, sauf pour

X — — \-ikiz\ pour une valeur de cette forme r = v, et -f^ = -^ , de sorte 2 ' ^ -^ "^ dx dx

CONSTRUCTION DE COUHBES EN COORDONNÉES RECTILIGXES. 89

que les deux courbes sont tangentes en tous les points correspondants à ces valeurs. On voit donc que, dans les intervalles pour lesquels sina^ est positif, la courbe proposée rencontre nécessairement la droite y = i ; elle a donc la forme représentée sur la fig. 76.

On voit de même que, si l'on construit

la différence j^3 — yz=i/ — 1-1/ est positive pour toutes les valeurs

positives de x, sauf pour x = h ikiz ; pour ces valeurs la différence con-

dy (Iv'x sidérée est nulle, et aux points correspondants -j- = --t— • On obtient ainsi

une nouvelle courbe auxiliaire servant à limiter les ordonnées de la proposée. D'ailleurs, on a toujours j^3 >j'i. Les courbes auxiliaires sont tracées sur la figure en traits interrompus.

Courbes asymptotiques.

78. Soit à construire la courbe dont l'équation est de la forme

Si l'on suppose que ^{x) ait pour limite zéro quand x croît indéfiniment, on pourra d'abord construire la courbe ajant pour équation

La différence^ — yi tendant vers zéro, la courbe proposée s'approchera de plus en plus de la courbe auxiliaire à mesure que x croîtra en valeur absolue.

Par exemple, si

, ^ abc

on pourra construire successivement les courbes auxiliaires

go CHAPITRE VII.

chacune de ces courbes servant à préciser le tracé de la suivante. On nomme courbe asymptotique d'une courbe donnée une courbe auxiliaire telle que la différence des ordonnées de ces deux courbes, correspondant à une même abscisse, tende vers zéro quand x croît indéfiniment, ou encore une courbe telle que la différence des abscisses de cette courbe et de la courbe donnée qui correspondent à une même ordonnée tende vers zéro quand j/ croît indéfiniment.