POINTS SINGULIERS

19. Soient Xq, y^ les coordonnées d'un point A d'une courbe ayant pour équation f{x, y) = o. Si la fonction /{x, y) admet des dérivées partielles f'xify finies et continues pour x = Xq, y =yo, et si l'une de ces dérivées est difîérente de zéro, par exemple y' ^ o, l'équation précédente définit^ comme

fonction continue de x admettant, pour x = Xq, une dérivée égale à ^•

Jyo Il en résulte que si x varie de Xq — a à a^o+a, a étant un nombre positif suffisamment petit, à chaque valeur de x appartenant à cet intervalle correspond une seule valeur de / vérifiant l'équation précédente, et tendant vers^o quand x tend vers x^j', en d'autres termes, il part du point A deux arcs de courbe tangents à la droite passant par A et ayant pour coefficient angulaire j'q, et situés de part et d'autre de la normale en A. Le point A peut d'ailleurs être un point d'inflexion; mais, dans tous les cas, un cercle ayant ce point pour centre et dont le rayon R est suffisamment petit ne rencontre la courbe/ qu'en deux points réels. M, M', et tels que l'angle MAM' ait pour limite tt quand R tend vers zéro. On nomme point singulier tout point pour lequel ces conditions ne se trouvent pas remplies. Il résulte de ce qui précède que, pour tout point singulier (a^o, jKo) d'une courbe ayant pour équation/(a;, jk) = o, les deux dérivées y^ y fy-o ^^"^^ nulles. Les points multiples des courbes algébriques sont donc des points singuliers.

Les courbes transcendantes peuvent avoir d'autres espèces de points singuliers, parmi lesquels nous citerons les points d'arrêt et les points saillants ou anguleux.

On nomme point d'arrêt un point A d'où part un seul arc AB, ou plus généralement un point d'où partent un nombre impair d'arcs.

On appelle point anguleux un point A d'où partent deux arcs AB, AG tangents à deux demi-droites distinctes non opposées. En voici des exemples.

20. Exemple de point d'arrêt : v= = — • Pour crue y soit réel, il faut

37 > o. Or ^' = — — - , y" — — — - ( I 4- -— ) . Si x varie de o à i ,

y décroît de o à — oo; quand x croît de r à -H ^o, ^ décroît de -l- co à o. On voit que l'origine est un point d'arrêt, la tangente étant l'axe des y. II y a un point d'inflexion B qui correspond k x — e-^ {fiS' 5).

POINTS MULTIPLES d'uNE COURBE ALGÉBRIQUE.