Construire la courbe
x^-\-y^ — Zaxy = o (folium de Descartes).
On voit que la bissectrice de l'angle xOy est un axe de symétrie; on est donc conduit à faire une transformation de coordonnées en prenant pour nouveaux axes les bissectrices des angles des axes primitifs.
Les formules de transformation sont, 6 dé- Fig. 81. signant l'angle des axes,
2COS2O 2sin|^6
2COs|-6 2sin|0
On obtient ainsi, en posant acos|0:=&, l'équation
HX^b) ^^"SH^-
La construction ne présente aucune difficulté; en supposant a > o, on a pris sur la Jlff. 81 : OA — 3b, OB = b.
EXERCICES
Construire les courbes représentées par les équations suivantes :
y —± \jx'^ — 3x -\- ■i.±i \/x^ — i
y = xe
y = xe
CONSTRUCTION DE COL'HBES EN COORDONNÉES RECTILIGXES. 97
cr — 2
X x — i cr— 1 07—3
'2— nr-i
J' = L tan^
NiEWENGLOWSKi. — G. an., II.
gS CHAPITRE VII.
J=L(ar-^,
^2= 237 — tanga7.
-ta
— i± /a;^ — 3^7+2 S^-s — ^*H- Sa?^ — xy -+- ix — y = o. x-y-hy^-i-x^ — xy =^ o.
y^ — 237^-!- ^xy= o.
y^ — x^ — 3y-r'ix — 2 = 0.
x^ — xy -f- 1 = o.
(ix ^ yy {x ^ y) — 37 = o.
x^y — 3 xy^ -+- 2y + x — o.
237* — x^y — (37 — yYy = o.
(372 — a2)2-f- (j2 — b'^y=^c'*. Discuter en faisant varier a, 6, c.
( j' -t- 1)3 — ?>x'*{y -^ \) -\- 'ix^ = o.
y^ =:^ % s'in^ X — 4 sina7-i- I.
■ly = rh v''637 — 372 dr /637 h- 372 ± y/j6 — 372.
2(37 — 1)2 2Tr
y = Las particulier, o := -— •
yi^x'^ — 4^cosç-4-i ' •*
On considère les coniques circonscrites à un triangle et telles que les nor-
COURBES UNICURSALES. 99
maies à ces coniques menées par les sommets du triangle soient concourantes. Lieu de leur point de concours; môme question pour les coniques inscrites, les normales étant menées aux points de contact du triangle. (Darbôux.)
COURBES UNICURSALES
84. On nomme courbe anicursale toute courbe dont les coordonnées sont des fonctions uniformes d'un même paramètre, de sorte qu'on puisse poser
y et ç désignant des fonctions n'ayant qu'une seule valeur pour chaque valeur attribuée au paramétre t. Nous considérerons plus particulièrement le cas où ces fonctions sont rationnelles.
Une courbe algébrique de degré /n ayant un point multiple d'ordre m — i est une courbe unicursale. En effet, si l'on prend le point multiple pour origine des coordonnées, l'équation de cette courbe est de la forme
(i) ^m{^,y)-^<fm-i{^,y) = 0,
tp,„ et (fm-i désignant des polynômes homogènes de degrés m cl m — i respectivement. Une sécante menée par l'origine rencontre la courbe en m — i points confondus avec l'origine et en un point M distinct de l'origine, et dont les coordonnées sont des fonctions rationnelles du coefficient angulaire t de cette sécante. En effet, en posant^ = tx, l'équation (i) devient
ar'«(f,„(l, 0 + 57'"-lÇ;„,(l, 0 = O.
En supprimant le facteur x'"-^, qui correspond à une racine nulle d'ordre m — I, on obtient pour l'abscisse x du point M
et, par suite, l'ordonnée du même point est déterminée par l'équation
<cp/>,-i(i,0^
100 CHAPITRE Vni.
On peut remarquer que toute conique dont on connaît un point peut être regardée comme une courbe unicursale. En effet, soit
A a;2 -t- 2 B xy -\- G jk^ -^- iDx -\- i JLy — o
l'équation d'une conique passant par l'origine. Les coordonnées d'un point quelconque M de cette conique sont données par les formules
Ah-2B«-+-G^2
Plus généralement, si l'on connaît une solution a? = a, ^ = 6 de l'équation du second degré /"(a?, y) = o. on peut exprimer toutes ses solutions en fonction d'un paramètre t; car, si l'on pose
X = a -\- X, y =: b -+- Y, l'équation donnée devient
X/;+Y/^+cf(X,Y) = o, et, en posant Y = tX, on trouve
Y fâ + if'h
et, par suite,
83. Exemple. — Reprenons le folium de Descartes, dont l'équation est
x^-hy^ — ^ci^y — o.
Le folium a un point double à l'origine : en posant^ = tx, on obtient
3at 3at^
On trouve
dt (,4-^3)2' dt (n-«»)2*
c< dx ... , . , I , .»
supposons a > o ; -v- est positif quand t varie de — x à rp et négatif pour
at ^^
les valeurs de t comprises entre :-t^ et -i- ao. La dérivée de ;', --^, est positive
y 2 dt
COURBES UMCURSALES. lOI
pour les valeurs de t comprises entre o et ^-i, et négative pour toutes les autres valeurs de t; x et y s'annulent pour t = o et pour t infini; ils sont infinis pour t = — i. On peut donc dresser le Tableau suivant :
dx cït
dt
— oc.
croît
-H 00 1 — oc
croît
croît
max.
décroît
décroît
— ce 1 -i- 00
décroît
croît
croît
max.
décroît o
Il en résulte que, si t croît de — oo à — i, on obtient un premier arc infini OC tangent en O à l'axe des y {fig. 8i); t croissant de — i à o, on
trouve un arc DO tangent en O à l'axe des x\ t croissant de o à ^—5 nous obtenons un arc OE tangent en 0 à l'axe des ar, la tangente en E étant paral-
lèle à l'axe des y. Ensuite, de ^ = 3— à / = V"^> ^ décroît, mais j' croît jus-
qu'à un maximum, ce qui donne un arc EF, la tangente en F étant parallèle à l'axe des x, et enfin, quand t croît de y^ à -t- 00, nous avons un dernier arc FO tangent à l'axe des jk en 0.
Comme x et y sont infinis pour i = — i, la courbe a une direction asymptotique dont le coefficient angulaire est — i ; pour trouver l'asymptote correspondante, nous devons chercher la limite de y -ir x , c'est-à-dire de
3a > ou, en simplifiant, 3a -> quand t tend vers — i ; la limite
est — a; l'asymptote a donc pour équation x -h y + a = o. Pour reconnaître la disposition des branches infinies OG, OD par rapport à l'asymptote, calculons X -\-y -f- a en fonction de t, x et y étant les coordonnées d'un point du folium. On a
d'où a;-i-^-f-a>o; la disposition est donc bien celle que nous avions déjà obtenue.
En remarquant que, si l'on change f en - ? a: se change en ^ et jk en x,
ce qui prouve que la bissectrice OA de l'angle xOy est un axe de symétrie, on aurait pu se borner à faire varier Z de — i à -f-i, ce qui aurait donné
dx — 3 a dy 3 a
l'arc DOEA ; au point A, correspondant à ^ = 1, on a
dt 4 dt
loa
et, par suite, ■-— = — i, ce qui prouve que la tangente en ce point est perpendiculaire à OA; il aurait suffi ensuite de replier le dessin autour de OA qui est un axe de symétrie.
