CO 1 -1- 3C
décroît
minimum
croit
croît
En suivant les indications de ce Tableau, il est facile de construire la courbe, qui a la forme indiquée sur la Jig. 82.
PROPRIETES GENERALES DES COURBES UNICURSALES ALGEBRIQUES.
87. Nous supposons que les coordonnées x,y d'un point quelconque d'une courbe soient des fonctions rationnelles d'un paramètre t; en réduisant les
COURBES UNICCRSALES. lo3
fractions au même dénominateur, on peut poser
f,ft, <p étant des polynômes entiers en t. En éliminant t entre les équations précédentes, on obtiendrait l'équation de la courbe en coordonnées reclilignes, et cette équation serait évidemment algébrique.
Pour trouver le degré de cette courbe, si les polynômes y", /"i, o ont le même degré, soit m ce degré et, si les degrés ne sont pas les mêmes, soit m le plus fort degré. Coupons la courbe par une sécante quelconque ayant pour équation ux -h vy -h w = o; les valeurs de t correspondant aux points d'intersection sont les racines de l'équation de degré m,
(2) uf{t) + vf,{t)^wo{t)^o.
A chacune des racines de cette équation correspond un point d'intersection ; donc, le degré cherché est au plus égal à m. En général, le degré sera égal à m, mais il convient de signaler quelques circonstances particulières qui peuvent se présenter. Il peut arriver, par exemple, qu'à chaque racine t' de l'équation (2) corresponde une seconde racine f telle que les points M' et M" fournis par ces racines soient confondus. On ne pourra plus affirmer dans ce cas que le degré de la courbe soit égal à m. Ainsi soient
L'équation (2) est alors
ut^--h v{t^+i) -^ w{t^ — \) = 0;
elle est du second degré, mais ses racines sont deux à deux égales et de signes contraires et à un couple de racines égales et de signes contraires ne correspond qu'un seul point d'intersection; d'ailleurs les équations (3) donnent immédiatement
Mais il y a lieu de faire une autre remarque; en général, on ne construit que la portion de courbe qui correspond à des valeurs réelles de ^; si, au lieu des équations (3), on considère
en donnant à 0 toutes les valeurs réelles de — 00 à -i- 00, on obtiendra, comme on s'en assure aisément, tous les points de la droite (4) et si l'on donne à 6 des valeurs réelles, les formules (3) ne correspondent qu'aux points de cette droite pour lesquels 0 est positif.
Soit A {^fig. 83) la trace de la droite sur l'axe des y^ et soit D celui de ses points qui a pour coordonnées (i, i); si 6 varie de o à i, on obtient la demidroite AB et pour les valeurs de 6 comprises entre i et -{- 00, la demi-droite CD. Chacune de ces demidroites est obtenue deux fois si t varie de — c» à -f- oo. Le segment DA correspond aux valeurs négatives de 6, c'est-à-dire à des valeurs imaginaires, sans partie réelle, attribuées à t. De plus, en écrivant les équations
^2(iP — i) — a? = o,
si l'on élimine Z, on trouve {ix — j)^ — 1)2 = 0, tandis que si l'on élimine f^, on a l'équation ix — y — 1 = 0. Si l'on suppose que les polynômes /(Z),/i(^), cp(f) soient des polynômes de degré m ayant des coefficients arbitraires, les circonstances que nous venons de signaler ne pourront se présenter et le degré de la courbe représentée par les équations (i) sera égal à m.
88. Proposons-nous de trouver la classe d'une courbe unicursale de degré m. Cherchons d'abord l'équation de la tangente au point ^0 ds I^ courbe, c'est-à-dire au point où le paramètre a une valeur particulière t = t^. La droite ayant pour équation
ux -\- vy -h (V z = o
rencontre la courbe en /w points qui correspondent aux racines de l'équation
Cette équation doit avoir une racine double 1^; donc
«/(^o)-+- t^/i(^o) + «'?(^o) = o, uf'{h)+vf[(to) H- w^'{to) = o.
On en conclut que l'équation de la tangente est
fit) Ait) fin /i'(0
On a remplacé ^0 par t, pour simplifier l'écriture. Si l'on regarde x, y, z comme donnés, l'équation précédante détermine les valeurs de t qui correspondent aux tangentes menées par le point (37,^, z). Le degré de cette équation est donc égal à la classe de la courbe. On reconnaît ainsi que la classe est, en général, égale à im — 2, car dans chaque mineur tel que
COURBES UNICURSALES. Io5
f{t)f\{t)—fi(t)f'{t), le coefficient de f^w-i est nul. Or mi m — i) — {im — 2) = (m — i)(w — 2);
,,, , . ,1, . (''ï — ^){ni — 2) en gênerai, une courbe unicursaie de degré m a points
Mais une courbe algébrique de degré ma au plus ; points
la classe ayant diminué de {m — i)(m. — 1) unités, il faut en conclure que, en gêné
doubles.
u 1 'i, • A A ■ 1 {ni — \){m — ine courbe algébrique de degré ma au plus ;
doubles; c'est ce qu'il est très facile d'établir. Effectivement, il faut ^
points pour déterminer une courbe de degré m, par suite, il en faut
-^ — pour déterminer une courbe de degré m — i. Le nombre
, , , ,, ,11. . ,, . , (m — i)(m-+-2) de points doubles d une courbe de degré m est intérieur a ^ ,
puisque la polaire d'un point quelconque du plan par rapport à la courbe de
degré m passe par tous ses points doubles, ce qui fait une infinité de courbes
de degré m — i passant par les points doubles. D'ailleurs, si le nombre de
points doubles était supérieur ou égal a j la courbe de degré
m — I passant par de ces points doubles couperait ia
courbe de degré m en (m — i)(m-i-2) points, ce qui est impossible, puisque
le nombre total des points communs à deux courbes de degrés m et m — i
est égal à m(m — i). Gela étant, soit N le nombre de points doubles de la
,, ./-.Il . • 1. ivT ("^ — i)(mH-2) courbe donnée d de degré m; et soit, pour abréger, INi = ;
par les N points doubles et par Ni — N autres points pris sur la courbe G, faisons passer une courbe Ci de degré m — i; le nombre de points d'intersection de ces courbes sera égal à Nj-t- N, puisque chacun des points doubles de G, qui sont des points simples de la courbe Gi, compte pour deux; on doit
donc avoir
Ni+Nlm(m — i),
c'est-à-dire
Une courbe unicursaie de degré m a, par suite, le maximum du nombre de points doubles. On nomme genre d'une courbe de degré ni la différence entre le nombre N et le nombre de ses points doubles : les courbes unicursales sont du genre 0.
89. Réciproquement, toute courbe du genre o est unicursaie. En effet.
• O 111' .1 (^ ^){ni l) . 11,^
soit Li une courbe de degré m possédant ~ points doubles. On
a Ni — N = am — a; prenons sur la courbe G, am — 3 points simples déterminés; par ces points ainsi que par les N points doubles, considérés comme des points simples, on pourra faire passer une infinité de courbes de degré m — I. Parmi les m{m — i) points communs à ces deux courbes, il y en a im — 3 -l- f w — i){m — i), soit m( w— i) — i qui sont fixes; un seul est variable. Or, l'équation d'une des courbes G' de degré m — i que nous considérons sera de la forme
/l(^, y)-+-X/2(a7, JK) =0,
X étant un paramètre arbitraire : soit /(a:,/) = o l'équation de la courbe G. L'équation aux abscisses des points d'intersection est, en posant /n(m — i) — [Ji,
Les points communs aux deux courbes ont pour abscisses
les N premiers étant les points doubles de la courbe G, les ijn — 3 suivants les points simples fixes, et enfin x étant l'abscisse du seul point variable; on
a donc
f(\) (2,^1 + 3^2 + ... -4- X^y, ) + ar'i -+- a?2 -t- . . . 4- x'^,n--i -+- x = ..: j
c'est-à-dire
fa)
a étant une constante donnée.
Or cp(X) est le résultant des polynômes homogènes des degrés m et m — i respectivement, provenant def(x,y) et de fi(x,y) -{-'k/2{x,y)', il en résulte que l'on aura pareillement
y étant l'abscisse du point variable commun à G et G'. Donc, en transportant l'origine au point ( — a, — b), on peut représenter la courbe G par les équations
ce qui démontre la proposition.
90. Construction d'une courbe unicursale : marche à suivre. — i° On examine d'abord si l'origine est un centre ou si l'un des axes est le diamètre des cordes parallèles à l'autre.
L'origine est un centre si à toute valeur de t correspond une valeur t'
COURBES UNICURSALES. IO7
telle que
fit') ^f{t) ^^ MO ^ MO ?it') ?(0 fii') ?(0
L'axe des x sera le milieu des cordes parallèles à l'axe des jk si
fin ^fit) g^ Ain ^ Ait)
^{t'j cp(o ^{t') (f(0'
Si, par exemple, t' = — t, il suffira de faire varier ^ de o à -+- 00.
2° Oïl déterminera les valeurs réelles de t pour lesquelles x est nul ou infini et l'on fera la même recherche pour y, on aura soin de noter si à ces valeurs particulières de t correspond, ou non, un changement de signe de x ou de ^.
3° On calcule -7— et — et l'on cherche les valeurs de t qui annulent ou dt dt ^
rendent infinies chacune de ces dérivées; on saura ainsi dans quels inter-
, , . , , . , . dv dy dx
valles X cl y croissent ou décroissent. En outre, on sait que -f— = -r-:-r-\ •^ ' ^ dx dt dt
par conséquent, on aura la tangente en chaque point.
On peut déjà, à l'aide des renseignements obtenus, exécuter un premier tracé de la courbe; les opérations suivantes permettent de préciser ce tracé.
4° Recherche des asymptotes. — Si, pour une valeur ^0 de t, l'une des coordonnées, par exemple x, est infinie, j' ayant une valeur finie a, la droite j' = a est une asymptote; en étudiant le signe àe y — a et le signe de x, quand t tend vers ^o» on saura comment la branche infinie est disposée par rapport à son asymptote. On procédera de la même façon si l'une des coordonnées est infinie et l'autre finie quand t est infini.
Supposons en second lieu x el y infinis pour t = to; on obtiendra le coefficient angulaire de la direction asymptotique correspondante en cherchant
la limite de — quand t tend vers ^oj si — est infini pour t = to, la branche
est parabolique. Supposons lim — = c; on exprime y — ex en fonction de t
et l'on cherche sa limite quand f tend vers to', si y — ca? est infini, la branche est parabolique et, eu étudiant le signe de y — ex, nous connaîtrons la disposition de celte branche. Si lim (j' — ex) = d, on étudiera le signe de y — ex — d quand t tend vers to et l'on saura comment est placée la branche infinie par rapport à l'asymptote cori'espondante. Supposons, par exemple.
les polynomesy, fx, <p étant de degré m tous les trois. En déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on peut faire en sorte que le degré de chaque nu-
mérateur soit inférieur à celui du dénominateur. Gela étant, en supposant cette condition remplie, soit t' une racine simple de l'équation cp(i) = o; on peut écrire
t — l' cpi(0 t — t' 9i(«)
en posant
Y B On voit que x &ly sont infinis pour t =^ t' \ lim — = — • En outre
B A<l/,(0 — BJ^CO V r ^ = : ; — ^ '
donc
lim/'r B \ A^.(0-B^(0.
l'équation de l'asymptote correspondante est donc
B^A4.>(^')-B4.(^') •^ Â Acpi(«'>
En second lieu, soit (f)(f ) = (f — ^')2(pi(^), de sorte que
Dans ce cas encore, lim — = - ; mais
B AB'— BA' A<Li(0 — Bi}/(0 . ^~ A.^ ~ A(t — t') "^ Atpi(0 ^
donc, si AB' — BA'^o,la branche infinie sera parabolique; si AB' — BA = o, elle sera pourvue d'une asymptote dont l'équation s'obtient comme dans le cas précédent.
5" Rechei-che des points doubles. — Un point M sera un point double de la courbe définie par les équations (i), si l'on peut obtenir ce point pour deux valeurs distinctes de t. D'après cela, on cherchera les solutions du système
fit) ^ fin fin ^ Mi')
telles que t — t' soit différent de zéro. Ces équations sont symétriques par rapport à ^ et ^'; écrivons-les sous forme entière :
/(O ^it') - ^it)fii') = o, /i (0 ?(«') - ?(0/i('') = o;
COURBES UMCURSALES. IO9
les premiers membres sont divisibles par t — t' \ après suppression de ce facteur commun, on pourra exprimer les quotients obtenus en fonction des deux inconnues auxiliaires t -^- t' et tt' .
On peut procéder autrement. Si aro, y^ sont les coordonnées d'un point double M, les équations en t
ont deux racines communes.
Soit, en effet,
u{x — xçi)^v{y—yç^) = o
l'équation d'une droite passant par le point (-z^o, J'o); les valeurs de t qui correspondent aux points d'intersection de cette sécante et de la courbe sont les racines de l'équation
u\f(t) - ^o?(0] + v\f,{t) -JKo?(0] = O.
Si la valeur t ^= t' donne x = Xo, y = yo, i' faut, pour que la sécante rencontre la courbe en ni — 2 points différents de M, au plus, ou bien qu'une autre racine t" donne x = Xo, y = JKo) ou bien que la racine t' soit une racine
multiple. Dans tous les cas, comme le rapport - est arbitraire, les deux polynômes a7ocp(^) — f(t) et yo^{t) — f\{t) doivent avoir un diviseur commun du second degré au moins. Si ce diviseur est de la forme {t — t'){t — ^'), il passera par le point M au moins deux branches avec tangentes distinctes; en effet, supposons, par exemple,
f{t) - x,^{t) = {t- 1') (t - 04/(0, /i(0— ro?(0 = {i- O (t - n'\>i(f),
on aura
y—yo ^ Mi),
X—Xo '\i{t)'
y—yo ,. . '\'i(t') 'l'iit")
et, par suite, =^— aura pour limite , , , ; ou . , „■■, suivant que t tendra
X — Xçi " 4/(^') '^{t") ^
vers t' ou vers t". Si le diviseur commun est {t — t'y, le point est double comme on l'a vu, mais il n'y a qu'une tangente; c'est donc, en général, un point de rebroussement. Dans ce cas, on a
^ocp (t')—f{t') = o, 7o? {t')—fi{t')= o, ^oo'{t')—f'{t') ^o, yof'(i')—f[(t')^o.
On en conclut
de sorte que, en général, pour t = t', x passe par un maximum ou un minimum et pareillement pour j'. Mais ce résultat peut être en défaut pour l'une des coordonnées, par exemple quand la tangente est parallèle à l'un des axes.
I 10 CnAPITRE VIII.
6° Sens de la concavité. — Ecrivons, pour abréger,
et représentons par/', /"les dérivées dey par rapport à ï; et de même pour les autres polynômes.
On a
dx^ x'
dx
Or
d'où
yj
on en déduit
(?/'-/f ) (?/r-/i/) - (?/i-/i?'Uyr-/f )
en posant
Pour un point M à distance finie, si la tangente n'est pas parallèle à l'axe des ^, cp et (f/' — fc^' sont différents de zéro. On verrait de la même façon que
Avec ces formules, on pourra donc savoir dans quel sens un arc tourne sa concavité. La hessienne a pour équation A = o.
On peut encore étudier le sens de la concavité au point t' en formant l'équation de la tangente en ce point, et en déterminant le signe du premier membre pour des valeurs de t voisines de t' .
