Exemples

Les formules

dx dt

(t-iy-

dy — (i-t- t^)

lîi ~ (/2,)2

montrent que y est une fonction décroissante dans chacun des intervalles de — 00 à — I, de — I à -f- 1 et de -H I à -4- 00. La dérivée de x est négative pour

COURBES UNICURSALES

les valeurs de t comprises entre o et 2, et positive pour les autres valeurs. Nous pouvons dresser le Tableau suivant :

— so

croît

décroît

— x| -t-ao

décroît 4 croît

minimum.

décroît

— oo| +00

décroît f décroît

On voit que a? = — | est l'équation d'une asymptote. Les deux coordon-

nées X &X, y étant infinies pour « = -h i , cherchons la limite de - ou

on trouve i. On a ensuite

lt— <2(^-4- i)

lim {y — ia?) = — |. Donc, l'asymptote cherchée a pour équation

Enfin

— 2<(<-4-2)-h-3(«-Hl) Cl — n(2?-!-3)

Cette fraction a donc le signe de 1 — t quand t diffère suffisamment peu

de I. On voit, en outre, que la courbe

rencontre cette asymptote au point

pour lequel ^ = j et, par suite,

X =^ — 0,9, 7= — 1,2. Enfin, l'axe des 37 est une asymptote. La courbe a donc la forme suivante {,fig- 84).

La courbe doit avoir un point double: pour le trouver, il suffit d'exprimer que les deux équations

t- — tx -^ X — o^ i-y — t — y — o

sont identiques, ce qui donne les conditions

On aurait pu procéder ainsi : posons

ou, sous forme entière,

t''>. — t'!-t'—t"^—V^, t' V^—tt"^=t'—t, ou, en supprimant t — i' de part et d'autre,

tt'=t-\-t'\ tt' — — I, donc t -\- t' = — i; t et t' sont les racines de l'équation t^-\- t — i = o ; donc i — t t

On peut obtenir les coefficients angulaires des tangentes au point double

en cherchant les valeurs de ~ , c'est-à-dire de > où l'on remplacera

t par les racines de l'équation du second degré qu'on vient de trouver. Pour

appliquer la méthode générale donnée plus haut (90,6"), il faut avoir soin de

réduire au même dénominateur les expressions de a; et de p^ en fonction de t,

ce qui donne

et, par conséquent,

donc

C^(t) = t-i-i, '^(0 = 1 et (t—t'){t — f) = r'-^t — i; on retrouve donc

•1" Considérons encore la courbe définie par les équations

^ -f- I it

et proposons-nous de trouver les points doubles. Il est évident que l'équation

n'a d'autre solution finie que t =■ t'. Il semblerait donc que cette courbe n'a

COURBES UNICCRSALES. Il3

pas de point double. Cette conclusion n'est pas légitime; en effet, si l'on attribue à t des valeurs imaginaires, en posant ?^ -t- f -1- i = o, y est infini et a? a une valeur finie. La courbe proposée a un point double isolé à l'infini, dans la direction de l'axe des y.

3" 4'^"^ — "ixy-^-x — '2 = o.

En posant xy = t, on obtient

\tx — Zt -^ X — 2 =0,

d'où

On voit que la méthode suivie revient à chercher les points communs à la courbe donnée et aux hyperboles représentées par l'équation xy = t.

Remarque. — Newton appelle hyperbolisme de la courbe ayant pour équation /(ar, ^) = o, la courbe dont on obtient l'équation en remplaçant, dans l'équation précédente,^ par xy, ce qui Aonne f{x, xy) = o. La courbe que nous venons de considérer est donc un hyperbolisme de l'hyperbole ayant pour équation

4 xy — 'iy -h X — 2 = 0.

EXERCICES

Construire les courbes unicursales définies par les équations suivantes

V {t-i){t-iy

y = tx, x=z!z

y — tx, {t- — l)x'*-^{2t — l)x- — 1 = 0;