I -h lt 1 -h t

former l'équation tangentielle et en déduire les coordonnées des foyers :

X ^= a coscp -f- b sincp, j' = <z' coso -1- b' sinç ; déterminer les axes, les sommets, les foyers :

<-+-! It , u •

^ = j y = — ; lormer la hessienne ;

NiEWENGLOWSKi. — G. an., II. 8

Il4 CHAPITRE IX.

et-+- e-t

{et—ie-tf

{et-

-ie-ty-'

X = V'-^'it + i, j — i^—i.

Discuter la courbe représentée par les équations

asinaTT — , jK=6sin27r(=7 — ^j •

Cas particuliers : « = i, { , i, . . ., T'= T.

Trouver le lieu des centres des hyperboles ayant leurs asymptotes parallèles aux axes des coordonnées et tangentes à la parabole j^ = x^-+- 1. Construire le lieu.

Cubiques unicursales.

92. Considérons une conique C, un point O pris sur cette courbe et une droite D; sur chaque sécante menée par 0 et rencontrant la conique C et la droite D en P et Q respectivement, portons à partir du point 0 un segment

ÔM = PQ.

On reconnaît aisément que le lieu de M est une courbe du troisième degré, unicursale. En effet, supposons que la droite D coupe la conique C en deux

Il5

Fig. 85.

points réels A, B {fig. 85); quand la sécante prendra l'une des positions OA ou OB, le point M se confondra avec O; d'où il résulte que ce dernier point est un point double où les tangentes sont OA et OB; il y a sur toute sécante OP un seul point du lieu différent de 0; donc, la courbe, qui est évidemment algébrique, est bien du troisième degré, et le point O en est un point double. On nomme cubique toute courbe du troisième degré; le lieu est donc une cubique unicursale.

Si la sécante AB devient tangente à G, le point O sera un point de rebroussement, et, si la droite AB cesse de couper G en des points réels, O sera un point double isolé. Tous ces résultats s'établissent simplement par le calcul.

Prenons pour axes deux droites quelconques Ox, Oy, et soient

h.x'^~\-'Exy -\- Cy^-hTix -^-'Ey = o, ux -\- vy — i = o,

les équations de la conique G et de la droite D, et enfin a, b les paramètres

directeurs principaux d'une sécante menée par l'origine. Les coordonnées

d'un point quelconque de cette sécante étant x= ap,y = èp; déterminons

les valeurs p' et p" de p qui correspondent à la conique G et à la droite D : on

trouve

,__ Da-+-Eb „ I

Aa^H- Qab^Cb-^

Si l'on désigne par x et y les coordonnées de M, et par /• la valeur correspondante de p, on a pour ce point

c'est-à-dire

^^^ ^'^ ua + vb ' Aa^-i-Bab-\-Gb^

En éliminant r entre les équations (i) et (2), on obtient l'équation du lieu I Dx-hEy

ux-hi-y Ax^-h Bxy -+■ Cy^

ou, sous forme entière,

{ {kx^-hBxy-\-Cy^){ux-^çy)

\ =\xi-hBxy-+-Gy^-{-{Dx-^Ey){ux-{- vy).

I l6 CHAPITRE IX.

Le lieu est donc une cubique unicursale; l'origine est le point double et le faisceau des tangentes à l'origine coïncide avec le faisceau des droites obtenues en joignant l'origine aux points d'intersection de la conique C et de la droite D. On voit, en outre, que la droite D est une asymptote; les deux autres asymptotes sont les symétriques, par rapport à l'origine, des asymptotes de la conique G.

Mais cette conclusion suppose que la droite D n'est parallèle à aucune des asymptotes de la conique G. S'il en était autrement et si l'on supposait, par exemple,

k.x^-\- ^xy -t- Gj'-Hs {ux -+- i>y) (u'x -i- v'y),

l'équation (3) se décomposerait en deux autres

Il X -+- vy = o

{ux -^vy){u' X -{- v'y) = (u'x -h v'y) -\-T>x -+- Ey\

dans ce cas, le lieu n'est plus une cubique.

Lorsque la conique G est une parabole, en supposant que la droite D ne soit pas parallèle à son axe, on obtient encore une cubique dont l'équation est de la forme

{%x -\-^yy{ux -{- vy)= {'xx ■+■ '^ yY + {D x -\- Ey){ux -+■ vy)\

cette cubique n'a qu'une seule asymptote qui est la droite D.

93. Réciproquement, une cubique unicursale ayant trois asymptotes dont les directions sont distinctes, ou n'ayant qu'une seule asymptote à distance finie, est susceptible du mode de génération précédent; en d'autres termes, c'est une cissoïde. Gette proposition, due à M. Zahradnik, se démontre aisément. On peut la généraliser.

Gonsidérons une cubique unicursale déduite d'une conique G et d'une droite D; si nous nous donnons une seconde droite Dj, on peut opérer sur la cubique et la droite Di comme on a opéré sur la conique et la droite D; on obtiendra ainsi une quarlique ayant un point triple, et ainsi de suite. On vérifie sans difficulté que le rayon vecteur issu de O relatif à la courbe obtenue est la somme algébrique des rayons vecteurs relatifs à ces asymptotes. G'est ce que l'on peut démontrer directement de la manière suivante.

Gonsidérons une courbe d'ordre n ayant un point multiple 0 d'ordre n — i et supposons que les n asymptotes de cette courbe aient des directions distinctes; menons par O une sécante qui rencontre la courbe en n — i points confondus avec 0 et en un point M distinct de 0; la même sécante rencontrera les asymptotes en n points Pi, P2, ..., P^. En vertu du théorème de Newton (36), les centres des moyennes distances des deux systèmes de points sont

confondus; donc

ÔM = ÔFi + ÏÏFI -h . . . + ôp7,.

On pourra d'ailleurs remplacer un couple d'asymptotes par une conique

admettant ces asymptotes; ainsi on pourra remplacer deux asymptotes imaginaires conjuguées par une ellipse.

Pour la description des courbes unicursales en général, nous renverrons le lecteur à une Note de M. Antomari, publiée au Journal de Mathématiques spéciales, année 1892, p. 220.

94. Cubiques circulaires unicursales. — On nomme cubique circulaire toute cubique qui a deux, asymptotes isotropes. Les cubiques circulaires unicursales sont des cissoïdes : la conique directrice est un cercle qui passe par le point double et par les points d'intersection de l'asymptote réelle à distance finie avec les tangentes au point double; ce cercle est donc déterminé.

On nomme strophoïde toute cubique circulaire unicursale dont les tangentes au point double font un angle droit; une telle courbe est susceptible d'une définition géométrique simple. Soient {Jig. 86) G le centre du cercle directeur, A.B l'asymptote et O le point double, les tangentes en ce point étant les droites OA, OB. Déterminons le point D symétrique de G par rapport à O et joignons ce point D à un point M de la cubique. Je dis que OR = RM, R étant le point de rencontre de DM avec la droite OE menée parallèlement à AB. Par hypothèse

OM = PQ; on reconnaît aisément que les

deux triangles GPQ et DOM sont égaux; il en résulte immédiatement que

les angles GQP et OMR sont égaux et, comme MOR = GQP, le triangle MOR est isoscèle : donc OR = RM. Réciproquement, si l'on suppose OR = RM, les

angles OMR et MOR sont égaux et, par suite, OMR = GQP; et, comme

MOG = GPO, les triangles DOM et GPQ sont équiangles et de plus OD = GP : on en déduit OM = PQ. On retrouve ainsi la définition que nous avons déjà donnée de la strophoïde. Nous nommerons le point D le pôle de la strophoïde et la droite DO qui va du pôle au point double la base.

9a. Équation de la strophoïde. — Prenons pour axe des x la base de la strophoïde, l'origine étant le point double et l'axe des y étant parallèle à l'asymptote réelle.

Soit — a l'abscisse du pôle; une sécante AM menée par le pôle a pour équation

cette sécante coupe l'axe des y au point P(o, ma) et, par suite, le cercle ayant

I l8 CHAPITRE IX.

pour centre le point P et pour rayon OP ^fig- 87) a pour équation

^•-^ixy cos6 -+-JK^ — imax cos6 — imay = o;

l'équation du lieu des points M et M' tels que OP = PM = PM' s'obtient en

éliminant m entre les équations (i) et (2), ce qui donne

Fig. 87.

{x^-]- ixy cos6 +j2)(a7 | a)

— iay{x cos6 -+- j>/) = o.

L'asymptote réelle a pour équation x ^ a\ les tangentes à l'origine sont les bissectrices des angles des axes; enfin la courbe rencontre son asymptote, au point G défini par les deux équations

-y cos6 = o,

c'est-à-dire au point où celte asymptote est

coupée par la perpendiculaire à l'axe des x

menée par l'origine.

Ce résultat est d'ailleurs évident a priori, car, si OC est perpendiculaire à

Oa?, la droite AG rencontre O^ en un point D, tel que AD = OD = DG. On

voit ainsi en même temps que la tangente au pôle est la droite AG.

D'après cela, une strophoïde est déterminée quand on connaît, par exemple, le point double et les tangentes en ce point ainsi que le point G où la strophoïde coupe son asymptote; ou encore, si l'on connaît le'pôle, l'asymptote et le point G, etc.

96. Cissoïde de Diodes. — La cissoïde de Dioclès est une cubique circulaire ayant un point de rebroussement et symétrique par rapporta la tangente de rebroussement. Il suffit donc de considérer un cercle et une tangente à ce cercle et le point diamétralement opposé au point de contact. L'équation du cercle générateur étant x'^-\-y^ — 2R = o et celle de la

tangente — — — 1 =0, la cissoïde a pour équa-

ay tion (92)

2Ra7

ou, en simplifiant,

-^ iK — x La cissoïde de Dioclès est représentée sur \a fig. 88.

97. Exercice. — Construire un cube dont le volume soit dans un rapport donné avec celui d'un cube donné.

On sait dans quelles circonstances a été posé le fameux problème de la duplication du cube. Plus généralement, soit à construire la ligne a telle que

(i) a3= ma*,

a étant le côté du cube donné et m le rapport donné. Si l'on pose b = ma, l'équation (i) prend la forme a* = èa^ ou encore yJ'^bà^x et, en posant a-= «p, on aura p*= 6a; on est ainsi ramené à construire les deux lignes a, p définies par les proportions .

C'est pour résoudre ce problème, dit des deux moyennes, que Dioclès a inventé la cissoïde. L'équation trouvée plus haut

x^ •^ iR — x peut s'écrire

^ xi-iR — x)'

Si l'on nomme z l'ordonnée RN du cercle générateur, qui correspond à l'abscisse x ijig. 88), la formule z^ = xl^i'K — x) permet d'écrire

y^= -^ ou x^=yz.

On a donc

Supposons le point M déterminé de façon que

iK — X a

Pour cela, il suffit de construire le point C tel que BA = a, BG = 6 et de déterminer l'intersection M de la droite AG avec la cycloïde tracée. Gela posé,

aR — a? a

on est ainsi conduit à écrire les équations (3) sous la forme

et, en comparant les équations (2) et (4), on voit que, ce, y, z étant les longueurs de OR, RM, RN, les deux moyennes cherchées s'obtiennent en construisant des quatrièmes proportionnelles

Fig. 89.

98. Description mécanique de la cissoïde et de la strophoïde droite. — Newton a donné un procédé ingénieux de construction de ces deux courbes célèbres. Soient {^fig. 89) AM et MP deux droites rectangulaires; la

première est assujettie à passer par un point fixe A, et l'on a pris sur la seconde une longueur MP constante et égale à la distance du point A à une droite fixe BC, sur laquelle le point P est assujetti à glisser. Le point M décrit une strophoïde; il suffit, en efi"et, pour s'en assurer, de remarquer que, Q étant le point de rencontre de AM avec BG, on a évidemment BQ = MQ. Si l'angle

AMP est constamment égal à ABP supposé quelconque, et si MP = AB, le point M décrira une strophoïde oblique.

D'autre part, le milieu R de MP décrit une cissoïde de Dioclès. Soit, en cfTet, D le milieu de AB; traçons le cercle ayant pour centre B et pour rayon BD ; ce cercle coupe DR en T. On voit aisément que DR est parallèle à AP ; par suite, si l'on achève le parallélogramme ADPL, la droite EL est tangente en E au cercle BE, puisque PL est égal et parallèle à BE. Mais le triangle ASP est isoscèle; il en est de même des triangles DSR, DBT, PLR. Donc RL = DT ou DR = TL, ce qui démontre la proposition.

Ce mode de description permet de construire la normale en R et en M à la cissoïde et à la strophoïde; car le centre instantané de rotation de la figure AMP est le point I, intersection de PL avec la perpendiculaire AI à AM. Les normales cherchées sont donc IM et IR.

99. Relation entre trois points en ligne droite d'une cubique unicursale. — L'équation d'une cubique ayant un point double avec tangentes distinctes, rapportée à un triangle de référence dont un sommet est le point double, est de la forme

Ky^ -)- Bxy^ H- Cx^y -\- Da^^ -+- z{y — a.x) {y — '^x) = o.

Une droite ayant pour équation y — tx coupe la cubique au point double et en un point différent ; nous dirons que ce dernier point a pour paramètre t.

Nous allons d'abord chercher la relation qui doit exister entre les paramè-

très de trois points Ai, A2, A3 de la cubique pour que ces points soient en ligne droite.

Soit ux-i-vy — z = o l'équation d'une droite D; les paramètres des points de rencontre de la droite D et de la cubique sont les racines de l'équation

(i) \t^^Br--hCt-h'D-^{t — oi){t—^)(u^vt) = o.

Désignons par cf(<) le polynôme du troisième degré At^ -{- Bt^ -h Ct -h D et posons f = a-f- 6; l'équation (i) devient ainsi

cp(a)+9<p'(a)+ — ç"(a)-+- AÔ3 + 6(a— p + e)(«-i- t^a + p6) = o.

Le terme tout connu est (p(a) et le coefficient de 6-^ est égal à r -t- A; le produit des racines de l'équation précédente est donc égal à

de sorte que, si ^i, t^, t^ désignent les racines de l'équation (i), on a

Pour la même raison, et par suite

A la vérité, le calcul précédent suppose (^ -)- A 7^ o, ce qui exige qu'aucun des points Aj, A2, A3 ne soit sur l'axe des j'. Si le point Ai se trouve sur cet axe, le coefficient t^ est infini. On peut supposer que ç» -î- A tende vers zéro et

remplacer dans le premier membre de l'équation (2) le rapport — 5 par sa

ti — p

limite, qui est l'unité.

Il convient encore de remarquer que la cubique considérée n'est pas supposée tangente à l'axe des ^. Dans le cas contraire, supposons que p, par exemple, croisse indéfiniment en valeur absolue; à la limite, l'équation (2) devient

(fi-a)(Ï2-a)(«3-a) = -^-»

et si, en outre, a devient nul,

Ces résultats peuvent d'ailleurs se vérifier directement, de sorte que nous regarderons l'équation (2) comme établie dans tous les cas.

Réciproquement, si la relation (2) est vérifiée, les points Aj, A2, A3 de la cubique sont en ligne droite.

En effet, soient t^, t^ les coefficients angulaires des droites OA2, OA3; la droite A2A3 coupe la cubique en un troisième point A dont le paramètre t est défini par l'équation

La comparaison des équations (2) et (2)' donne t = ti', par suite, les points A et Aj coïncident, ce qui signifie que trois points Ai, A2, A3, dont les paramètres ti, ti, ^3 vérifient l'équation (2), sont en ligne droite.

100. Corollaires. — I. La tangente au point Ai (^1) coupe la courbe en un point A2 dont le paramètre t^ est défini par l'équation

.ox (^1 — a)2(^2— g) ?(«)

et réciproquement, si les paramètres ti, t.2 de deux points Ai, A2 sont liés par la relation (3), la droite A1A2 est tangente à la cubique donnée au point Al.

En effet, si la droite Ai A2 est tangente en Ai, on peut dire que deux points d'intersection de cette droite avec la cubique sont confondus en Ai; en supposant, par exemple, que ts devienne égal à ti, on obtient la relation (3) en faisant t^ = ti dans l'équation (2); réciproquement, si cette relation est vérifiée, la droite A1A2 coupe la cubique en un troisième point ^3; et en comparant les relations (2) et (3), vérifiées toutes les deux par hypothèse, on en conclut que t^ = ti, c'est-à-dire que la droite Ai A2 est tangente en Ai.

II. Un raisonnement analogue montre que la condition nécessaire et suffisante pour que le point Ai(?i") soit un point d'inflexion, c'est-à-dire pour que la tangente en Ai coupe la cubique en trois points confondus avec Ai, est

(,. (ty -g)^ <f(g)

Cette dernière équation permet de trouver combien une cubique à point crunodal a de points d'inflexion réels. Par hypothèse, a et p, ainsi que tous les coefficients de l'équation de la cubique, sont réels; l'équation (4) a donc une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées. Une cubique de l'espèce considérée a donc un point d'inflexion réel et deux points d'inflexion imaginaires conjugués.

En désignant par w et w^ les racines cubiques imaginaires de l'unité et par t, t' , t'' les paramètres des trois points d'inflexion trouvés, on a

d'où l'on déduit

donc les trois points d'inflexion sont sur une droite réelle.

101. Quand les tangentes au point double sont imaginaires, ou, ce qui revient au même, quand la cubique a un point double isolé, a et ^ sont imaginaires conjugués; on peut éviter l'emploi de coefficients imaginaires de la manière suivante (i) :

Posons

a = a -T- bi, p = a — bi

et, en remarquant que 'p(a) et f{^), étant imaginaires conjugués, ont même module,

de sorte que

', r,[ — cos 2X-i-tsin2X.

On aura ainsi

t—OL ~~b~

de sorte qu en posant — j — = cot8, on obtient

t — OL

= C0S2G -f- i sinaô.

La relation entre les paramètres de trois points en ligne droite sur la cubique devient ainsi

cos2(0i -+-62-1- 63) -I- i sin2(6i -f- O2 -t- 63) = COS2X -i- t sin2X,

9i étant la valeur de 6 qui correspond k t = ti, etc. Cette dernière relation équivaut à

(5) 0,^-62 + 03 = X H-A'Tt,

k étant un entier arbitraire.

Les points d'inflexion de la cubique sont définis par l'équation

(') Voir Zeçons de Géométrie analytique, par MM. C. Briot et J.-C. Bouquet, édition revue par M. Appell, p. 474-

ce qui donne trois déterminations distinctes

X À 71 XaTT

Ces trois déterminations vérifient la condition

6i -4- O2 -I- 63 = X -I- TT.

Donc, en remarquant qu'à |une valeur réelle de t correspond une valeur réelle de 6, et réciproquement, on peut énoncer cette proposition : Toute cubique à point double isolé possède trois points d'inflexion réels situés en ligne droite.

102. Considérons en second lieu une cubique ayant un point de rebroussement. L'équation de cette courbe est de la forme

Ky^ -\- 'Rxy'^+ Cx'^y -^-l^x^-^ z{y — aa?)^ = o.

L'équation déterminant les paramètres des droites joignant le point de rebroussement aux points d'intersection de la cubique avec une droite représentée par l'équation ux-^vy — z = o, est, en conservant les mêmes notations que plus haut,

0{t) -Jr- {t — <xy{u -^ Vt) = o

ou, en

posant t =

cp(a)-l-

Oo'

la)

d'où

cp(a)'

c'est-à

-dire

ti f(a)

Telle est la relation entre les paramètres t^, t^. t^ de trois points en ligne droite situés sur la cubique.

On voit, comme dans le cas du point double à tangentes distinctes, que la condition (6) est nécessaire et suffisante.

On déduit d'ailleurs très facilement cette relation de la relation (2) en posant p = a -t- /i et faisant tendre h vers zéro.