Corollaires. — L En supposant ^3= ti, on obtient

a — ti a. — ^2 tC"') C'est la condition nécessaire et suffisante pour que la droite AjAa soit

tangente en Ai à la cubique, ti étant le paramètre du point Ai, t^ celui du point Aj.

II. Le point Aj, pris sur la cubique, sera un point d'inflexion si son paramètre ^1 vérifie l'équation obtenue en faisant ^2= '1 dans l'équation (7); ce qui donne

oL — ti cp(aj

D'après cela, toute cubique à point de rebroussement possède^, point d'inflexion, qui est réel.

Si l'on désigne par 0 le paramètre du point d'inflexion, on voit, en comparant les équations (6) et (8), que la condition nécessaire et suffisante pour que trois points pris sur la cubique soient en ligne droite est que leurs paramètres ^1, ^2, h vérifient la relation

<i — oc ^2 — a <3 — a G — a De même la condition pour que AjAj soit tangente en Aj peut s'écrire

^ ' ty — 7. ^2— a 0 — a

- On trouvera sans difficulté, en suivant la même marche, la condition pour que six points d'une cubique à point double soient sur une conique; cette condition, nécessaire et suffisante, est

et quand le point double est un point de rebroussement

i04r. Rapportons une cubique ayant un point de rebroussement à un triangle de référence dont le sommet A soit le point d'inflexion que possède celte cubique, le sommet G étant son point de rebroussement, le côté BG la tangente de rebroussement et le côté AB la tangente d'inflexion. L'équation de la cubique est alors, on le voit facilement, de la forme

x-z ■+- Ay^ — o.

Réciproquement, toute équation de cette forme représente une cubique ayant un point de rebroussement (x = o, y = o), la tangente de rebroussement ayant pour équation a; = o; les coordonnées du point d'inflexion sont ^ = o, ^ = o et la tangente d'inflexion a pour équation - = o.

La polaire d'un point (xq, yo^ ^0) a pour équation

-ÎXZXo-i- X^Zo-i- 3 Aj2^'^=: q.

C'est une conique tangente en C à la droite BC, ce qui montre que la cubique considérée est de la 3* classe.

La polaire du point d'inflexion A se décompose en deux droites; en effet, si l'on suppose zo=o, jko = o, l'équation précédente se réduit à xz = o el représente la tangente d'inflexion et la tangente de rebroussement.

Gela étant, soit P un point de la tangente de rebroussement; la sécante PA,

coupe la courbe en trois points Mi, M2, M3; P étant sur la polaire de A, on

sait que

PA ~ PMT "^ PM^ "*" PM^' mais l'un de ces points, M3, par exemple, coïncide avec A; donc

PÂ ~ PATi "^ PM^*

Donc A et P sont conjugués harmoniques par rapport à Mi et M2 ; on dit pour cette raison que la tangente de rebroussement est la polaire harmonique du point d'inflexion.

lOS. Exercice. — Nous allons appliquer les résultats précédents à la résolution d'un problème proposé au Concours général (année 1880). Voici l'énoncé du problème :

Sur une courbe donnée du troisième degré ayant un point de rebroussement 0, on considère une suite de points X-,i, A-^n-i), . • -, ^-2, ^-i, Aq, Al, A2, . . . , A„ tels que la tangente en chacun de ces points rencontre la courbe au point suivant :

1° Etant données les coordonnées du point Aq, on propose de trouver les coordonnées des points A„, A« et de déterminer les limites vers lesquelles tendent ces points quand l'indice n augmente indéfiniment.

2° On demande le lieu décrit par le premier point limite lorsque la courbe du troisième degré se déforme en conservant le même point de rebroussement O, la même tangente en ce point et en passant constamment par trois points fixes P, Q, R.

3° On étudiera comment varient les points d'intersection de ce lieu avec les côtés du triangle PQR quand les sommets de ce triangle se déplacent sur trois droites passant par le point 0.

1° Nous pouvons mettre l'équation de la cubique sous la forme

x-z -i- Ay^ = o,

le sommet (x = o, y — o) étant le point O.

Les coordonnées d'un point de cette cubique sont données par les équations

I t — Afï*

Soient t, t', t" les paramètres de trois points en ligne droite; on trouve immédiatement la relation ^ -j- /' -1- <" = o ; donc, en désignant par tn le paramètre de A„, par /„ celui de A„, on a

2^0-1-^1 = 0, 2^i-i-^2=0> •••, 2f,j i-f- ^rt = o,

d'où

et par suite ta croît indéfiniment avec n; or les coordonnées de A,j sont proportionnelles à —) —, — A; donc A+<„ est le point j7 = o, y = o^ c'està-dire le point de rebroussement donné O. En second lieu, on a

2?l-l-f0=O, 2^-2^-^-1 = 0, ..., lt-.,i-\- t^a-i)= O^

d'où

et par suite ?oo = o; le point A—» est donc le point ^ = 0, 5 = 0, c'està-dire le point d'inflexion de la cubique.

1° Pour résoudre simplement les deux dernières parties, nous prendrons pour triangle de référence le triangle dont un sommet est le point O, le côté opposé étant la droite QR; la tangente au point de rebroussement étant le second côté et le troisième la droite OP. Soient j' = o, l'équation de la tangente de rebroussement, x; = o celle du côté QR et a? = o celle de OP. Représentons par qx-\-y = o, rx -\- y = o les équations des deux droites OQ, OR; l'équation de la cubique pourra se mettre sous la forme

(9) ^y^+pi.y -^qx){y + rx){y + sx) = o,

p el s désignant deux paramètres. Coupons la cubique par le côté OP; en faisant x = o dans l'équation précédente, on obtient y^ = o el z -hpy = o. Cette dernière équation représente une droite joignant le point P au point de rencontre du côté QR et de la tangente de rebroussement; par suite, le paramètre/» est déterminé; le seul paramètre variable est donc s. Cela étant, en posant

o{t)=p{f-hg)(t-\-r)it-hs),

on trouve pour le paramètre du point d'inflexion

Les coordonnées de ce point vérifient donc les équations (9) et (fo)

(10) 3x-hi 1 1 ] y = o.

On obtiendra le lieu du point d'inflexion en éliminant s entre ces deux, équations. On trouve ainsi

jjK = o et pzy[3qrx-h(q -hr)y]

( ~\- (y -\- q X!){ y -+- rx)[iqrx -^ {q -\- i')y] = o.

Le lieu est donc une cubique, car la solution ^ = o est évidemment une solution étrangère, dont la présence est d'ailleurs facile à expliquer.

La cubique trouvée a un point double qui n'est autre que le point O. L'une des tangentes au point O a pour équation j^ = o; c'est la tangente au point de rebroussemenl de la cubique variable représentée par l'équation (9); la seconde tangente au point O a pour équation iqrx -+-• {q -+- r)y = o.

3° La cubique représentée par l'équation (11) est coupée par la droite QR aux points Q, R et, en outre, au point de rencontre de QR avecla droite définie par l'équation

iqrx + (<jr H- z')^ = o.

Or cette droite est la conjuguée harmonique de la tangente au point de rebroussemenl de la cubique (9) par rapport au système des deux droites OQ, OR; le lieu du point d'inflexion de la cubique (11) coupe donc les côtés du triangle PQR en des points qui décrivent des droites fixes passant par le point 0, quand les sommets du triangle PQR décrivent eux-mêmes des droites passant par le point O.

Ce dernier résultat est évident géométriquement, car nous avons vu que la polaire harmonique du point d'inflexion est la tangente de rebroussement.