LIMAÇON DE PASCAL

106. On fait tourner une sécante autour d'un point A pris sur un cercle C et, à partir du second point d'intersection F de la sécante avec le cercle, on porte, dans les deux sens sur la sécante, deux segments FM = PM'= b, b étant une ligne donnée; le lieu de M est un limaçon de Pascal. Il est très facile d'obtenir l'équation de cette courbe. En effet, le produit AM.PM est la puissance du point M par rapport au cercle G ; donc, si C = o est l'équation du cercle mise sous la forme canonique, c'est-à-dire le coefficient de x"^ étant égal à i; en nommant a^o, jKo les coordonnées du point A et 6 l'angle des axes, l'équation demandée sera

C2 = 62[(^-^o)-+(7-ro)2+2(a7 — a:o)(r-7o)cose].

En particulier, supposons que l'on prenne le point A pour origine des coordonnées, l'axe des x étant le diamètre passant par A et l'axe desjK la tangente en A ; enfin, soit a le diamètre du cercle G, de sorte que l'équation de ce cercle soit

xl'-^-yï — ax = o,

ÉTUDE DK QUHLQL'ES COURBES REMARQUABLES. 129

l'équation du limaçon de Pascal relatif à l'origine et à la constante b sera

(x--!- j'- — axY ~ b-{x--\-y- ) — o ou, en développant, (i) (a;^--hy-y—2ax(cc^'-hy-) -+• («2— 62)^2 b''y^= o.

La courbe représentée par cette équation est du quatrième degré; elle a deux points doubles à l'infini (les points cycliques) et un point double à distance finie : l'origine. C'est une quartique bicirculaire et unicursale.

Développons l'équation (i) et ordonnons-la suivant les puissances de^', ce qui donne

(•2) y'*-\- y'^iix- — iax — b'^) -{- x-\{x — a)"- — 6-] = 0.

Pour que^' soit réel, il est nécessaire que l'on ail

{ix{x ~ a) ~ b^'^— '\x'^[{x — a)"-— b-i]>o, ou

Le produit des racines de l'équation (2) est nul pour x = a-hbetx = a — b et il est négatif pour toutes les valeurs de x comprises entre a -{- b et a — b\ par conséquent, pour ces valeurs de x, l'équation (2) n'a que deux racines réelles, égales et de signes contraires.

La somme des valeurs de ^^ s'annule pour

, a -H v/«- -H >■ b' „ a — Ja^' -H 2 6^

iSous poserons x = , x = •

Pour a? = a H- 6, ix''- — lax — 6^ se réduit à aaô -f- 6^ ; d'ailleurs on voit que a?" est inférieur k a-^b. Si l'on substitue a — b, on trouve que ■>.x^ — 'i.ax — 62 se réduit k b(b — 2a). Nous sommes ainsi conduit à distinguer plusieurs cas.

On a x" <^ — - — ; en elTet, l'inégalité

q CL

équivaut à b^<i ^a^ et, comme 6 et a sont positifs, à 6 < 2a. Nous pouvons donc écrire la suite ci*oi£sante

X, — ;— j o, a — b, X, a-hb. 4 Cl

NiEWENGLOWSKi. — G. an., n. q

Dans rinlervalle de — -r— à — b, l'équation (2.) a quatre racines réelles, 4a

Fig, 90.

deux à deux égales et de signes contraires. Dans l'intervalle de a — h k a -\- h, elle n'a plus que deux racines réelles. La courbe a la forme représentée fig. 90. Les tangentes à l'origine s'obtiennent en construisant les cordes OA, Ok' dont la longueur est égale à h.

Nous avons à considérer la suite croissante

De à o, quatre racines réelles; de o à ia, deux racines réelles seule-

ment. En outre, l'origine est un point de rebroussement; la forme de la courbe est représentée fig. 91. Dans ce cas particulier, la courbe se nomme cardioïde.

Fig. 9'-

Fig. 92.

Dans ce cas, a — b est négatif; on a encore a?"< < a — b. Le point O

est un point isolé; l'équation {-i) a quatre racines réelles dans l'intervalle de

— k a — 6 et deux seulement de a — 6àa-t-6;la forme est celle de la

4° 6 = la.

On a alors x" = ■

= — a ; pour x = — a les quatre racines sont nulles ;

la courbe présente alors un point méplat. Dans l'intervalle de — a à 3a, deux racines réelles. La courbe a donc la forme indiquée sur la fig. gS.

5" è > la.

Dans cette hypothèse, x''^—-—; en outre, a7"> « — 6. D'après cela, nous

avons à considérer les quantités

Fig- 94-

Fi g. 93.

De — - — ; A a — 6 les racines de l'équation (2) sont imaginaires; de « — b à OH- 6 il y a deux racines réelles; la courbe a la forme représentée Jig. 94.

En effet,

107. Le limaçon de Pascal est la podaire d'un cercle. — soit ÀM {Jig. 95) une perpendiculaire abaissée d'un point fixe A sur une tangente HM à un cercle O; si l'on mène une parallèle OP à la tangente et si P est le point de rencontre avec AM, le lieu du point P est le cercle décrit sur OA comme diamètre et, comme PM= R, R étant le rayon du cercle donné, on voit bien que le lieu de M est un limaçon dont le point A est le point double. D'ailleurs la proposition se démontre facilement par un calcul que le lecteur fera sans peine. Le lieu sera une cardioïde si ,1e poiat A est sur le cercle O.