Exemple de point saillant : y
— • — Si l'on suppose x infini-
ment petit positif, e^ grandit indéfiniment et, par suite, lim — :=; o et ^ est
positif, ce qui donne un premier arc OA {Jig. 6), tangent à Ox. Si x est infi-
Fig. 5. Fig. 6.
niment petit négatif, e-^' est infiniment petit; donc lim — =i et y<o; en
outre, — < I ; la courbe possède donc un second arc OB tangent à la bissectrice OD de l'angle x'Oy' et dans l'angle x'OD. L'origine est, par suite, un point saillant.
22. Théorème. — Une courbe algébrique n'a ni point saillant ni point d'arrêt.
Rapportons une courbe algébrique à deux axes passant par l'un de ses points; son équation sera de la forme
?p(^, y) -+- ?/>+! (^5 y) + • ..-¥-fm(^, y) = o.
En posant/ = tx et supprimant le facteur xp, nous obtenons l'équation
(l) 0;;((, t)^XOp+i(l, t)-^...-hX"i-Po,n(l, t) = o,
qui, pour x = o, admet les racines de l'équation cpp(i,f) = o. Soit a une racine réelle de cette dernière équation et supposons l'ordre de multiplicité de cette racine égal à q. L'équation (i) peut être regardée comme une équation en t dont les coefficients sont des fonctions continues de x. Si .r = o, cette équation a une racine a, d'ordre q de multiplicité; donc, quand x tend vers zéro, q racines tendent vers a. Soit a un nombre positif suffisamment petit; dans l'intervalle de a^g — a à Xq, un nombre pair 2k de ces racines peuvent être imaginaires, et pareillement 2k' peuvent être imaginaires dans l'intervalle de a^o à a^o H- a ; donc, quand a" tend vers zéro par valeurs positives ou
par valeurs négatives, il y a en tout q — ik — 2k' déterminations réelles de qui tendent vers zéro. A chacune de ces déterminations réelles de — cor-
respond une détermination réelle dey tendant vers zéro; il y a donc, partant
de l'origine, tant du côté des x positifs que des x négatifs, un nombre pair
NiEWENGLOWSKI. — G. an., II. 2
kf
d'arcs tangents à la droite ayant pour équation y — ax — o. On peut d'ailleurs toujours supposer que l'axe des^ n'est tangent à aucun arc de la courbe à l'origine; dans ce cas le polynôme cpp(i,^) sera du degré p. A chacune des racines réelles de l'équation cp/,(i, jÇ) = o correspondra une droite tangente à un nombre joat/* d'arcs. II part donc du point O un nombre pair d'arcs et à chaque tangente correspond aussi un nombre pair d'arcs; donc la courbe n'a ni point d'arrêt ni point saillant.
On peut encore remarquer que si p est impair la courbe a au moins une branche réelle passant par le point O ; ce point ne peut être isolé que si p est pair; et par conséquent, un point isolé d'une courbe algébrique est un point multiple.
EXERCICES
1. Soient jki=/(^) l'équation d'une courbe ayant un point d'arrêt au point a: = a, j^i =/(«); j'2= cp(a7), l'équation d'une courbe ayant un point double a7 = a, j>'2 = o(<^)- Étudier la courbe ayant pour équation jk=JVi-(-^2- En particulier, on considérera yi= co?>s/x et successivement :
i" x=yl{\±^/l-y^), 2° 00 = my\[{i -^ y^y±{i-^ y\)^,,
3" x=y^{x±s/i-y;), 4° ^ = my^d^ y^y±{x^ y\)i\,
Ces quatre équations, où l'on remplace ^2 V^^ 7 — cos/a? (le cosinus ayant une définition purement géométrique), présentent au point x =^ o, y =^ i ce que Plateau a appelé un point de dédoublement {voir Mathesis, t. III, p. 195, et t. IV, p. 164).
CHiPITRE m.
COURBURE. RAYON DE COURBURE
23. Soit AB un arc de courbe plane dont tous les points sont des points simples et qui ne possède aucun point d'inflexion. Supposons qu'un mobile parcoure l'arc AB en allant de A vers B et que l'abscisse x aille en croissant et soient M et M' deux positions successives de ce mobile; le point M' est d'un côté déterminé de la normale MN au point M; considérons sur la tan-
COURBURE. RAYON DE COURBURE
gente en M celle des deux demi-droites qui se trouve, par rapport à MN, dans la même région que M'. Nous dirons que MT est dirigée dans le sens du mouvement du point M. Par un point fixe du plan de la courbe menons la demi-droite Om parallèle à MT et de même sens, et supposons la longueur du segment Om égale à l'unité. Soient de même Oa et 0 6 des segments de longueur égale à l'unité et respectivement parallèles aux demi-tangentes en A et B, extrémités de l'arc AB, ces demi-tangentes étant dirigées dans le sens du mouvement. Quand le point M parcourt l'arc AB, le point m parcourt l'arc de cercle ab. Supposons la courbe rapportée à deux axes rectangi>laires Ox, Oy, l'origine étant le point O, centre du cercle amb. Si la concavité de l'arc AB est tournée vers les y positifs, comme sur la Jig. 7, le point m parcourra l'arc ab dans le sens positif; cet arc sera au contraire parcouru dans le sens négatif, si la concavité de l'arc AB est tournée du côté des y négatifs. L'arc ab est la mesure de l'angle que font entre elles les demi-tangentes en A et B ; et qu'on nomme angle de contingence.
On nomme courbure moyenne de l'arc AB le rapport des longueurs des arcs ab, AB. Il est facile de se rendre compte de cette définition. Si__ron considère tous les cercles qui
passent par A et B, le rayon de l'un quelconque de ces cercles est au moins égal à la moitié de la corde AB et peut devenir aussi grand qu'on veut; plus le rayon est grand et moins l'arc de cercle AB diffère de la corde AB; en d'autres termes, moins sa courbure est prononcée. Or, quand AB est un arc de cercle, si l'on pose arc AB = /, arc ab = w, on sait que Z = wR, R étant
le rayon du cercle; ce qui donne — = — •
Gela posé, on nomme courbure au point M la limite de la courbure moyenne
de l'arc infiniment petit MM', le point M' tendant vers M. Si l'on pose AM = s,
am = a, de sorte que mm! =■ Aa, on voit que la courbure au point M est la
... j Ait , , ,. <f<T limite de -— > c est-a-dire -rti.s as
On nomme rayon de courbure en M l'inverse du rapport précédent, de
ds sorte que, R désignant ce rayon, on a, par définition, R = -y-^
ad
Si l'on désigne par a l'angle ]que MT fait avec Oar, les coordonnées de m
sont cosa et sina et, par suite, c?cr2 = (rf cosa)2-H (c?sina)2= dt"^. Prenons x
d% pour variable indépendante; la formule tanga =^' donne (i-t-^'^)-j- = y' ',
, , j , . d<z dt ds I — 7-
en ayant égard aux équations —- — —,-—= y '+.?'> on trouve
(XX CLOC (XX
Si l'on désigne par N la longueur de la normale, nous savons que f^i — yZ(^i^yiy^ donc on peut encore poser
On peut laisser indéterminée la variable indépendante. Les formules
cict/ cL'V
cosa = —r-1 sina = -—■ montrent que as as
Mais
, dx ds d^x — dx d^s , dy ds d"^ y — dy d^s
ds ~~ ds^ ds ds^
et, en différentiant l'équation ds^ = dx^-h dy^, on trouve
ds d^ s = dx d^ X -\- dy d^y.
On en déduit
et enfin (3)
,, (d^xy-+-(d^ry'—(d^s)^
da^= di^ =
I id^xy+(d^yy—(d^sy
Si l'arc 5 est la variable indépendante, cette équation se réduit à
^ -^ R2 \ds^ J \ ds^
on l'obtient immédiatement en posant d'^s = o dans l'équation (3).
L'équation (i) montre que si y' est fini et y"=^ o, R est infini. En un point d'inflexion d'une courbe algébrique, le rayon de courbure est donc infini.
24. Nous savons que la normale en M' rencontre la normale en M en un point qui a pour limite, quand M' se confond avec M, le point G, dont les coordonnées sont données par les formules
de sorte que CM = R. Le point G se nomme le centre de courbure ; il est situé par rapport à la tangente en M du côté vers lequel la courbe tourne sa concavité au point M; car si l'on substitue aux. coordonnées courantes, dans le premier membre de l'équation de la tangente en M, Y — y — y'(X — a?) = o,
les coordonnées du point G, on obtient pour résultat : ^ — —^ expression
qui a le signe de y" .
COURBURE. RAYON DE COURBURE. 21
Nous avons déjà démontré que le cercle tangent en M à la courbe donnée et passant par un point M' infiniment voisin de M pris sur la même courbe a pour limite le cercle de courbure, c'est-à-dire le cercle qui a pour centre le point G et pour rayon R. Nous allons prouver que le cercle qui passe par trois points M, M', M" infiniment voisins, pris sur la courbe, a pour limite le même cercle quand M' et M" tendent vers M, en supposant que les cordes MM' et M'M" soient des infiniment petits de même ordre.
Pour cela, nous allons établir la proposition suivante. Soient h et k deux infiniment petits de même ordre et considérons le système des trois équations
si h et k tendent vers zéro, ce système a pour limite le suivant :
(2) f{x) = o, /'(^) = o, /"{x) = o. En effet, on peut remplacer le système (i) par celui-ci :
l/(^) = o, f(a^)^hf'(x)+^f\x)+^-^,f"'{x^^h) = o,
( f{x) + {h + k)/' (x) 4- ^Alt^ /"(^) H {!i±^ f" [^ + 0'(A+ k)\ =0,
ou, plus simplement,
J{x) = o, /\x) + ^ rix) + |-J f"'{x + 6A) = o,
f'{x)+^rix) + ^^-^r[x-^Q'{h-^k)] = o; la dernière de ces équations peut enfin être remplacée par celle-ci :
et, si nous posons k = th, il vient, après suppression du facteur h,
Or on suppose que t conserve une valeur finie; donc, si A et A: tendent vers zéro, on obtient, à la limite, le système (2).
Cette proposition est facile à généraliser. Le système
/(^) = o, f{x-^hi) = o, /{x-hhi-+-h2) = o, ..., f{x-\- hi-+- hz-h. . .-\- hn) = o,
dans lequel Ai, h^, . . . , h^ sont des infiniment petits du même ordre, a pour
limite le système
Gela posé, soit
(X-aro)2+(Y-^o)^-R-^-o
l'équation d'un cercle G; si l'on écrit que ce cercle passe par les points M, M', M", on aura, à la limite, M' et M" tendant vers M,
X —XQ-+-{y—yo)y' = o,
ces équations prouvent que le cercle M M' M" a pour limite le cercle de courbure relatif au point M. Pour cette raison, le cercle de courbure se nomme encore le cercle osculateur.
EXERCICES
\. Galculer le rayon de courbure d'une cycloïde; on trouve R = 2N.
2. On nomme chainette la courbe définie par l'équation y = -\e"'-{-e
Trouver le rayon de courbure de la chaînette. Prouver que la projection de l'ordonnée d'un point M sur la normale en M est égale à a. La projection de la même ordonnée sur la tangente en M est égale à l'arc AM, A étant le sommet de la chaînette. Le lieu de la projection du pied de l'ordonnée de M sur la tangente en M est une développante de la chaînette. G'est une courbe aux tangentes égales.
