OVALES DE CASSINI
108. On nomme ainsi le lieu des points dont le produit des distances à deux points fixes appelés foyers est constant. Prenons pour axe des x la droite joignant les deux foyers F et F' et pour axe des y la perpendiculaire équidistanle; en nommant c et — c les abscisses des foyers et «* ie produit
l32 ClIAPITUE IX.
des rayons vecteurs, l'équation du lieu est
(0 [{x — c)^-hy^-][(x + c)^-hy'^] — a'*= o.
Cette équation peut se mettre sous l'une des deux formes suivantes :
(•2) (a72 + j2|.c2)2— 4c2a72— ai= O
ou
(3) JK'^+2J>'2(a;2 j c2)-+- x^' — c^^ — a^ = o.
La courbe représentée par cette équation est une quartique bicirculaire; les droites isotropes menées par les deux foyers sont les asymptotes. Les deux axes de coordonnées sont des axes de symétrie.
Si l'on considère l'équation (3) comme une équation du second degré en y^, on voit que, la somme des racines étant négative, cette équation ne peut avoir qu'une seule racine positive au plus; on doit donc poser
(x^ — c-)- — a^<o ou (x^ — c- — a-){x^ — c'^-ha-)<^o.
Nous sommes ainsi amené à considérer trois cas.
1° a > c. Le facteur 07^+ a^ — c^ est positif; si l'on pose a^ -{- c^ = ol- , \\ faut que x soit compris entre — a et -h a pour que l'équation (3) ait des racines réelles. II suffira de ne considérer que des valeurs positives de a?. Calculons -f-; l'équation (2) donne dx
{x^-h y- -h c^ )(x -\- yy') — ic-x = o, d'où
En supposant x ely positifs, y' est positif pour tous les points de la courbe qui sont à l'intérieur du cercle décrit G sur FF' comme diamètre, et négatif pour tous les points extérieurs à ce cercle. Cherchons donc si la courbe a des points communs avec ce cercle; en remplaçant x'^-hy^ par c^ dans le premier membre de l'équation (2), on obtient
4C^— 4c2a;2— «1= o ou 4c2j72== (îiC^— a2)(2C2-l- a2).
Les points d'intersection ne seront donc réels que si a<.c\/2: nous sommes ainsi amené à subdiviser le premier cas en trois autres.
A. a > c/2. — L'axe des y coupe la courbe aux points B, B' dont les ordonnées sont racines de l'équation y^ = a^ — c^; ces points sont extérieurs au cercle C. Si x croît de o à a, ^ va en décroissant de ya^ — c- à o; aux points de rencontre avec l'axe des y la tangente est parallèle à l'axe des a;; on a
donc une courbe dont la forme rappelle celle d'une ellipse, et qu'on a nommée, pour cela, ellipse de Cassini {Jig. 96). On suppose sur cette figure FG = a.
Fi
B. a = c/i. — La forme est la même, seulement la courbe est bitangente au cercle G i Jig. 97).
- G. « < c/i. — Les points B et B' sont alors à l'intérieur du cercle G; la courbe rencontre ce cercle en quatre points D, E, D', E', où la tangente est parallèle à l'axe des x\ sa forme est représentée sur la Jlff. 98.
L'ordonnée du point D est supérieure à celle de B, car de B en D y' est positif, et, par suite, y va en croissant.
2" a = c. L'équation se simplifie et devient
(^2-4-jK*)2 = 2c2(;rî— j2).
L'origine est un point double, les tangentes étant les bissectrices des axes; ^2 j! doit être positif pour tous les points de la courbe, qui a, par suite, la forme indiquée sur la Jig. 99. On lui donne le nom de lemniscate.
l34 CHAPITRE IX.
3° a <Cc. Pour que y soit réel, il faut que x^ soit compris entre c^ — a^
Fig. 100.
et c^-\-a^: il en résulte que la courbe est formée de deux ovales séparés {fig. loo).
109. Equation du quatrième degré représentant deux cercles. — Il est utile de savoir reconnaître dans quel cas l'équation du quatrième degré représente deux cercles. Supposons les axes obliques et soit 6 leur angle. Si l'on pose
i}; = .2:2| f^xy cosO +JK^,
l'équation d'un système de deux cercles est de la forme
(<|. + P-f-a)(ij;+Q + j3) = o,
P et Q étant deux polynômes homogènes du premier degré; a et p étant deux constantes. Cette équation peut s'écrire
(i) 4;24-(P+Q + a + p)iV + (P + a)(Q + p) = o,
c'est-à-dire
R étant un polynôme du second degré. On voit ainsi que toute équation du quatrième degré qui représente deux cercles doit avoir la même forme que l'équation d'une quartique bicirculaire. Cherchons à quelle condition une équation de cette forme
dans laquelle U désigne un polynôme homogène du premier degré et V un polynôme du second degré, peut être identifiée avec l'équation (i). Pour cela, remarquons que, si l'on regarde (|; comme une inconnue déterminée par l'équation (i), le discriminant du premier membre de cette équation est, au signe près, un carré parfait, car
Donc, si l'équation (3) représente deux cercles, on doit pouvoir mettre cette équation sous la forme
ÉTLDE DE QUELQUES COURBES REMARQUABLES. l35
X étant déterminé par la condition que
(U-+-X)2-4iV — X<}/) = W2,
W désignant un polynôme entier en x et y. Réciproquement, s'il en est ainsi, l'équation (4) représente deux cercles, car on en tire
Pour trouver X, on peut remarquer que si, :pî désigne l'ensemble des termes du second degré de V, le polynôme homogène U- — 4(?2 — X^^) doit être un carré parfait. En annulant le discriminant de ce polynôme, on obtient une équation du second degré en X; soit X' une racine : il ne reste plus qu'à vérifier si (U -f- \'f- — 4(V— X'({^) est un carré parfait.
On peut procéder autrement. Posons
V = O2-I- Çl -i- ÇO)
en mettant ainsi en évidence les différents groupes homogènes de V. En identifiant les équations (i) et (3), on trouve
(6) PQ = 02-fx-|,
(7) aQ + !3P = o,, -
(8) a3 = 'fo,
en posant a -4- P = [ji.
En vertu de (5) et (6) P et Q satisfont à une équation du second degré; mais les racines de cette équation devant être des polynômes entiers, il faut que U* — 4(?2 — ^^^ soit un carré parfait. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que fx soit racine d'une équation du second degré, qu'il est facile de former. Supposons [x ainsi déterminé; en remplaçant P et Q par leurs expressions, l'équation (7) devra être vérifiée identiquement, ce qui donne une équation en a et ^ qui, jointe à a + ^ = ui, détermine a et ^ et les valeurs trouvées pour a et ^ devront vérifier l'équation (8).
Exemple. — Soit donnée l'équation
{x"- -^ y"-)'^ — (3a -1- b){X'^y'>-)x -^a\(^ia-\-'i.b)x^--\-ay^\ — a''-(a-\-b)x = o,
les axes étant rectangulaires.
Exprimons que
est un carré parfait. Le discriminant est, à un facteur constant près, («2— X)(4X-i- 62— 3a2 2a6).
l36 CHAPITRE IX.
Si l'on annule le coefficient de x^, il faudra aussi annuler le terme constant de
c'est-à-dire X^ ; donc il faut prendre À = a^. Or
l'équation proposée se réduit donc à
f 3 a -f- A kt- — rt? ± r,r (« — 6) — «5 1
elle se décompose ainsi en
x--^y^=iax — a"^, x- -\- y- = (a -{- b)x. En employant la seconde méthode, on exprimera d'abord que
(Za-r- by-x^-— ia[{3a-h'2b)x^-+ «7^] + ^IJ-i^^--^ J^)
est un carré parfait; ^j. = a- est une solution, ce qui donne le carré de x{a — b). On obtient ainsi
P= — x{a-i-b), Q= — 2ax.
On a ensuite le système d'équations
— 2aa — [3(a-t-6) = — a-(a-f-6), a + p = a'^,
d'où a = o, p = a'. Or cpo = o, donc la condition (8) est remplie. On a ainsi
[a^^ + jK- — x(a-{- b)]ix^ 4- J^— 2a.r -+- a-)= o.
PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE DES QUARTIQUES BICIRCULAIRES.
110. On nomme quartique bicirculaire une courbe ayant une équation de la forme
{x'^ -^ y'-y- -^ {ax + by){x'^ + y^) + ':i^{x, y ) = o,
(y2 désignant un polynôme du second degré.
Si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes, de sorte que la
/) nouvelle origine ait pour coordonnées — — , — -j et enfin si l'on fait tourner
les nouveaux axes d'un angle tel, que le terme en xy disparaisse dans le polynôme ^2 transformé, l'équation prend la forme
(1) (^2^JK2)2— 4(Aa.-''-f- A>2+2Ga7-^2G>-h D) =0.
L'équation d'un cercle quelconque étant
(2) ar^-f- j'2— -2? = o.
ÉTL'DE DE QUKLQUES COIRBES REMARQUABLES. 187
OÙ
P = aa: -H Pj -f- -(,
cherchons la condition pour que ce cercle soit bitangent à la quartique. Pour cela, formons l'équation
qui représente une conique passant par l'intersection du cercle et de la quarlique; il suffit d'écrire que le cercle et cette conique sont bitangents. Formons, à cet effet, l'équation générale des coniques passant par les points communs à ces deux courbes, et soit
(4) fz= pi — (\x^-i-Xy'--+-iCx^iCy + D)-l(x^- + y'^—-iP) = o
cette équation. Pour une valeur convenable de X, les trois équations y^= o, /y= o, f'.^= o doivent se réduire à une seule; ce qui revient à dire que, si l'on considère les quatre équations
les trois premières doivent se réduire à une seule, en vertu de la quatrième. Mais nous emploierons l'artifice suivant : tirons des deux premières x e.1 y en fonction de P, que l'on regarde comme une nouvelle variable; substituons les valeurs obtenues dans les deux dernières équations et écrivons qu'elles sont vérifiées, quelle que soit la valeur de P. On obtient ainsi les conditions
Pa — (xV.r 4-G) —l{x — oi) = o,
P3-(AV + G')-X(^-?) = o,
- (Ca^ 4- G> 4- D) 4- X(P + y) = 0
P — OLX — 3 j' — Y — 0
Xa2— Ca XS2-G'8 ^
/ON Ga G'P -
(8) -^-— x-Âq^-^^^ = ^'
Ga G'P \ G2 G'î
En tenant compte de l'équation (6), on voit que les équations (7) et (8) rentrent l'une dans l'autre et, en tenant compte de l'équation (8), l'équation ( 9) se réduit à
Il suffit donc de conserver les équations (6), (8), (10); le lieu des centres des cercles (2) est représenté par l'équation (6), dans laquelle on remplace X
l38 CHAPITRE IX.
successivement par chacune des racines de l'équation (lo), ce qui donne quatre coniques homofocales ; ce sont les déférentes. L'équation de l'un de ces cercles devient, en remplaçant y par sa valeur tirée de (8) :
x^-{- y^ — Oiocx — apr — 2 ^ 2 t,—^ -h 2k = o,
où X représente l'une des racines de l'équation (10). Le point
a même puissance par rapport à tous les cercles. Le carré du rayon du cercle considéré est égal à
■^ "^(A + X)='"^(A'+Xj2"
Cette expression est précisément la dérivée du premier membre de l'équation (10); donc, si cette équation a une racine multiple, et seulement dans ce cas, le cercle qui correspond à cette racine est réduit à son centre. Alors l'enveloppe sera celle d'un cercle dont le centre décrit une conique et qui passe par un point fixe; la quartique est alors homothétique à la podaire de la déférente qui correspond à celte racine multiple, par rapport au centre du cercle-point correspondant.
En général, une quartique bicirculaire est donc une anallagmatique susceptible de quatre manières différentes d'être considérée comme enveloppe d'un cercle orthogonal à un cercle fixe et dont le centre décrit une conique dont les foyers sont déterminés. Les podaires d'une conique à centre ne sont susceptibles que de deux modes de génération, les déférentes étant homofocales à la conique donnée. ( Voir G. Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques).
HYPOCYCLOIDE A TROIS REBROUSSEMENTS.
m. L'hypocycloïde obtenue en faisant rouler sans glissement un cercle à l'intérieur d'un second cercle de rayon triple possède trois points de rebrous-
sèment. En posant, dans les formules (2) (383, I), « = B, 6 = ~ j on obtient, pour les coordonnées d'un point M de l'hypocycloïde,
X= — COSCf -h --- C0S2Cp,
y = — — sinco — -;r sin2 9.
La tangente en M a pour équation, comme on le vérifie, après quelques
transformations simples,
X sin - -\- Y cos — sin — i = o.
En identifiant cette équation avec
ux -\- V y -1- (p = o,
et éliminant 9, on obtient l'équation tangentielle de l'hypocycloïde à trois rebroussements
(l) «^(iiS-^p-i)— a(„2 3p2) = o.
On reconnaît ainsi que la classe de cette courbe est égale à 3. L'équation précédente étant vérifiée pour a = o, t' = o, l'hypocycloïde à trois rebroussements est tangente à la droite de l'infini. En outre, l'équation
zi^x"' ^ y"-) — —x^x^'—Tty"-) = o
représente une courbe ayant un point double à l'origine, les tangentes étant isotropes; donc, l'équation (i) représente une courbe tangente à la droite de l'infini aux deux points cycliques.
Réciproquement, toute courbe de troisième classe qui touche la droite de l'infini aux deux points cycliques est une hypocycloïde à trois rebroussements.
En efi'et, l'équation d'une courbe du troisième degré ayant un point double à l'origine avec tangentes isotropes étant de la forme
z{x'^-\-y'^) -^ ax^-^ bx'^y -\- cxy^-{- dy^ = o,
on en conclut que l'équation tangentielle de la courbe considérée est de la forme
w(u^-{- v'^) -+■ au^'\- bu^v -h cuv^-{- dv^ = o.
Les tangentes issues d'un point {xq, y^) sont déterminées par l'équation
(2) au^-+- bu^v -{- cuv^-\- dv^ — {uxq-^ vyo){u^-h' v"^) = o.
On peut déterminer Xq et jko de façon que ces trois tangentes forment un faisceau régulier; il suffit, en effet, de déterminer Xq, y^ et X, de façon que l'équation (2) soit identique à l'équation
(3) \v^-^-iv'^u — Z\vu'i—u^ = o, ce qui donne les conditions suivantes
yo— b c — Xa d—yo
Xq — a =
l4o CHAPITRE IX.
Ces trois équations déterminent Xo, jKo et X
3 « -f- c 3d -h b ^ Vo — h
Xo = ^ } Jo = 7 ' ^= tJ'
4 4 'i{Xi)— a)
On voit que le point cherché existe toujours; on peut donc supposer que ce point soit l'origine des coordonnées, ce qui revient à supposer c= — 3rt, 6 = — 3d. En outre, on peut évidemment supposer que l'axe des x soit l'une des tangentes issues de l'origine, ce qui exige que X = o, d'où b = o, et, par suite, d = o. Avec ce choix d'axes, l'équation tangentielle de la courbe devient
(4) w{u^--i' i>^')-hau(u'—'U>^-) = o.
En posant a= — — ? les équations (i) et (4) deviennent identiques; la proposition est donc démontrée.
EXERCICES
1. L'enveloppe des droites de Simpson relatives à un triangle et aux points d'une circonférence circonscrite est une hypocycloïde à trois rebroussements; le centre de la courbe coïncide avec le centre du cercle des neuf points et le rayon du cercle fixe est le triple du rayon du cercle des neuf points.
(Steiner.)
2. On donne un cercle et une corde AB ; on joint le point A à un point RI quelconque du cercle, on mène ensuite MG faisant avec AB le même angle que MA, mais en sens inverse. Trouver l'enveloppe de MG (une hypocycloïde à trois rebroussements).
3. Étant donnés un cercle fixe de centre G et un point A sur ce cercle, on mène par un point variable M du cercle une parallèle MP au rayon GA, enveloppe de la bissectrice de l'angle AMP. On trouve une hypocycloïde à trois rebroussements.
4. Prouver qu'un limaçon de Pascal peut être engendré par un point lié invariablement à un cercle roulant sans glisser sur un cercle de même rayon. — Il suffit d'éliminer cp entre les deux équations
a7 = ècos<p — acosao, j'^èsincp — asinscp.
5. Lieu des points de contact des tangentes ou des normales menées d'un point fixe à un système de coniques homofocales (strophoïde).
6. Construire la podaire d'un point relative à une parabole. Cas où le point est sur la directrice.
7. Démontrer qu'il existe sur toute strophoïde oblique, dont le point double est O, deux points A et B tels que, M étant un point quelconque de la
ÉTLDE DE QUELQUES COUKBES REMAItQUABLES. j4i
courbe, le rayon vecteur OM partage en deux parties égales l'angle AMB. Déterminer la position des points A et B. Démontrer ensuite que, si l'on décrit de 0 comme centre, avec un rayon donné B, un cercle qui coupe la strophoïde en N, ce point est, de tous ceux du cercle, celui pour lequel la somme des distances aux points A et B est maximum ou minimum (M. G. Papelier; transformer par inversion).
8. D'un point M d'une lemniscate, on peut mener quatre tangentes à cette courbe, outre cille qui touche la courbe en M. Prouver que les quatre points de contact de ces tangentes sont sur une droite et trouver l'enveloppe de cette droite quand le point M décrit la lemniscate.
9. Etant donnés deux points A, B, lieu de M tel que la bissectrice de l'angle AMB passe par un point fixe G.
10. Soient A, B et G, D deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère circonscrit à un cercle. Trouver le lieu des points de rencontre des tangentes communes aux coniques ayant pour foyers A et B et aux coniques ayant pour foyers G, D.
11. Trouver l'enveloppe des axes des paraboles inscrites à un triangle.
12. Les podaires d'une hypocycloïde à trois rebroussements sont des quartiques unicursales admettant les droites isotropes comme directions asymptotiques doubles.
13. Trouver le lieu du pied de la directrice sur l'axe d'une parabole variable inscrite à un triangle (ou conjuguée à un triangle).
14. Lieu de la projection du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle isoscéle sur les axes des paraboles circonscrites à ce triangle.
13. Lieu de la projection du milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle isoscéle sur les axes des paraboles circonscrites à ce triangle.
16. Étudier les transformées par polaires réciproques d'une cubique unicursale(voir Nouvelles Annales, a(iût i8g4, A. Gazamian).
17. Enveloppe des cordes d'une cubique unicursale vues du point double sous un angle droit.
18. Le lieu des foyers des coniques inscrites à un quadrilatère circonscriptible est une strophoïde.
19. Trouver le lieu des centres des cercles bitangents à un limaçon de Pascal.
20. Lieu du point de rencontre de deux tangentes rectangulaires à la cardioïde.
21. Sur la parabole cubique ayant pour équation x'^ = ip^y, on prend
l42 CHAPITRE X.
les points Ao, Aj, Aa, A3, . . . , A„, tels que la tangente en l'un d'eux passe par le précédent; on demande : 1° la limite de An quand n croît indéfiniment; 2" la limite du point B„ dont les coordonnées sont la somme des abscisses et la somme des ordonnées des points Ai, A2, . . ., A^, quand n croît indéfiniment et le lieu de B,i lorsque n est constant et que Ao parcourt la parabole donnée; 3" le lieu du point C„ où se coupent les tangentes en Ao et An lorsque, A„ étant fixe, A© décrit la parabole donnée. (Barbarin.)
22. Soit une courbe du quatrième degré ayant deux points doubles à l'infini. En général, il n'est pas possible de lui inscrire un parallélogramme dont les côtés soient parallèles aux asymptotes. Si la chose est possible, elle l'est d'une infinité de manières. On demande alors le lieu des centres de ce parallélogramme. (Catalan.)
23. D'un point P pris sur une strophoïde droite, on mène deux tangentes à la courbe; soient T, T' les points de contact. L'enveloppe de la droite TT' est une parabole ayant même sommet que la strophoïde et dont le foyer est le symétrique du point double par rapport à ce sommet commun.
(Fauquembergue.)
24. Un point P se déplace sur un cercle tangent en A à une droite D. Lieu du point M par lequel passent les polaires de M par rapport à tous les cercles tangents en A à la même droite D (cissoïde).
COORDONNÉES POLAIRES
Ligne droite.
112. Pour trouver l'équation d'une ligne droite rapportée à un axe polaire quelconque OX, il suffit de faire une transformation de coordonnées. Rapportons en effet la droite donnée à devix axes rectangulaires OX, OY, l'axe OY faisant avec OX un angle égal à -+- ;^. L'équation de la droite en coordonnées cartésiennes étant
Ax -+- By -+- C = o, les formules de transformation a: = ^ cos lo, y = p sin w donnent p(A cosco -f-Bsinw)-i-C =0.
COORDONNÉES POLAIRES. l43
Supposons que la droite ne passe pas par l'origine, c'est-à-dire soit C ^ o. On peut alors écrire ainsi l'égalité précédente
- =— ^cosw- P G
— -^ sin (i>.
En posant
B tanga = — et
G cosa
on obtient
