I CO
Fif
Oa arrive directement à cette forme en partant de l'équation
se cos a -h y sin a — p = o.
On voit ainsi que p désigne la distance de l'origine à la droite et que a est l'un des angles que fait avec OX la perpendiculaire abaissée de l'origine sur cette droite, p étant compté avec le signe -{- ou le signe — , suivant que le segment correspondant fait avec OX l'angle a ou l'angle t: + a. D'ailleurs le théorème des projections donne immédiatement l'équation (i). Soit en efïet OH la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite AB et soit M un point quelconque de la droite. Si l'on projette OM sur la direction a {Jig' loi), on a
p cos(to — a) = p.
Lorsque A = o, l'équation prend la forme '^
p cos(o = rt ; la droite est alors perpendiculaire à OX; si B = o, on a 0 sino) = b, la droite est parallèle à OY.
Supposons maintenant G = o ; l'équation se réduit à
tangio = — ^ = tanga, d'où (1) = a + A- et p est indéterminé : la droite passe par l'origine.
113. Equation générale des droites passant par un point donné A. — Soient pi,(0| les coordonnées du point A j écrivons que
l'équation
pcos(a) — a) =/>
l44 CHAIMTRE X.
esl vérifiée pour p = p,, co = Wi ; ce qui donne
pcos(aj — x) = piCOs(wi — a).
On peut transformer cette équation de la manière suivante : remplaçons o) — a par w — w, -f- tO| — a, ce qui donne
p [cos(w — Wi) — sin(oj — wi) tang( wj — a)] =: pi,
et, par suite, on obtient
(2) - = — cos(co — a)i) + Xsin(w ~ toi),
p pi
X désignant un paramètre arbitraire.
On arrive d'ailleurs immédiatement à cette équation par une transformation de coordonnées; si, en effet, nous prenons pour axe desirla droite OA,
l'axe des y faisant avec Ox un angle égal an — , l'abscisse de A étant pi,
l'équation cartésienne générale des droites passant par le point A est
et, par suite, en posant x = pcos(w — wi), j' = psin(w — Wi), on retrou \e l'équation obtenue plus haut. On voit, en outre, que, si l'on nomme V l'angle •de la droite considérée avec le rayon OA, on a
tangV =- A'
Api
et, par suite, l'équation de la droite peut se mettre sous la forme
I I , , cotV . ,
- = — cos(a) — toi ) — sin(to — Wi ).
P ?i Pi
On peut remarquer que la direction co = lOj-i-V étant parallèle à la droite
donnée, on doit avoir - = o pour co = tOi -4- V; donc
0= — cos V -H X sin V; Pi
on retrouve ainsi la valeur de tangV.
114. Angle de deux droites, conditions d'orthogonalité. — Considérons deux droites passant par le point A; leurs équations
COORDONNÉES POLAIRES
étant mises sous la forme
Pi
yr = ^,
en appelant V et V les angles que ces droites font avec OA, on a
et, par suite, la condition d'orthogonalité est "kV = -•
La perpendiculaire à la première droite a donc pour équation
- = — cos( w — Wi) — c — r sin(w — Wi). P pi ^Pi
Remarquons enfin que, si la droite passe par le pôle, tangV = o; donc "k est infini. Réciproquement, si l'on suppose \ infini, l'équation (2) se réduit à sin(to — w, ) :^ o, ce qui donne to = w, + kiz.
115. Equation de la droite passant par deux points A, R. — Soient p,, co, ; Oo, (O2 les coordonnées des deux points donnés. En écrivant que l'équation générale est vérifiée par ces valeurs et en éliminant les paramètres, on obtient
cosu) sinto
— coswi sinwi
pi
cos(02 sintoj
ou, en développant,
-sin(wi — co,)h sin(w2— w)H sin((x) — a)i^= .
P 'pi P2
La condition pour que trois points M,, M2, M3; 0,, w, ; Oo, (02 ; o-i, W3 soient en ligne droite est donc
— sin(i02 — W3) -\ sin(i03 — lOj) H sin(wi — co.>) = 0.
?i P2 Ps
En écrivant cette équation sous forme entière par rapporta 0,, o^, p., NiEWKNGLOWSKi. — G. an., II. ,0
l46 CHAPITKE X.
on voit que la condition trouvée exprime que la somme algébrique des aires
(OMaMs.l + COMaMO + COMiMî)
est nulle. Ce qui est évident.
116. Distance de deux points. — Si o désigne la distance des points M,(p(,w,) et M2(p2, Wa), on a immédiatement dans le triangle OM,M, :
52= PÏ+ P2 — 2P1P2 cos(a)i — 0)2).
Équation du cercle.
117. Soient /■, a les coordonnées du centre, R le rajon d'un cercle, son équation est
p- — 2/'pcos(co — a) + /'- — R2 = o.
En développant cos(to — a), cette équation prend la forme
p2 — •2p(a cosco -f- 6 sinio) + c = o.
On arrive au même résultat en partant de l'équation
37^-4-72 — lax — ihy 4- c = o,
et en posant x ^=- ^ cosco, JK = p sinto.
Lorsque le cercle passe par l'origine, C = o; l'équation se réduit, après suppression du facteur p, à la suivante :
p = 2(a cosw -i- h siiio)).
Si, en outre, le centre est sur OX, l'équation devient
p = ua cosco;
et enfin si le cercle a son centre sur OY, c'est-à-dire s'il est tangent, à l'origine, à l'axe polaire, son équation est
p = 26 sinu).
Il convient de rappeler que, si le centre est à l'origine, l'équation du cercle est à volonté p = 4- R ou p = — R.
COORDONNÉES POLAIRES. l47
Équation d'une conique.
118. Si la conique est rapportée à un axe polaire quelconque, son équation peut s'obtenir en transformant l'équation cartésienne générale; on obtient ainsi
p'(A cos^to -+- 2B sintocosco-l- G sin^o)) -i- 2p(Dcosw -}-E sina))-H F =0.
Si la conique passe par le pôle, on a F = o; en supprimant le
facteur 0, on obtient
D cosco -;- E sin (o p = -2
A cos-w + 28 sin w cosw -+- G sin^ w
Si le pôle est le centre de la conique, l'équation devient
A cos^to-H 2B sinw cosw -+- G sin^w
ce qui peut s'écrire
a cos->, 10 -t- b sin 9.0) -i- c
Dans le cas où la conique est une hyperbole équilatère, le pôle étant toujours le centre, l'équation se réduit à
A cos^o) -f- B sin2w
Supposons maintenant que le pôle soit un sommet réel, l'axe polaire étant un axe de symétrie; l'équation cartésienne est alors
d'où Ton tire
ip COSfO
I — {i -{- g } cos'^ ui Si la conique est une parabole,
20 COSW
Supposons enfin que le pôle soit un foyer. L'équation focale cartésienne est alors
(1) a72H-^-2= (/a7 + mj^ + A)î,
l48 CHAPllKE X.
d'où il résulte que l'équation en coordonnées polaires a, dans ce cas, Ja forme suivante
(2) p- — {Ip cosoi -h mp sinoi -h h}- = o.
Le premier membre est un produit de deux facteurs; je dis qu'on a l'équation de la conique, en égalant à zéro l'un quelconque des deux facteurs. On obtient, en effet, en prenant successivement chacun de ces facteurs, les équations
(3) p — (^p coso) -h mp sinw -\- h) — o.
(4) p -^ (i P cos to -+- m p sin w -H- A } = o.
Or, si l'on connaît une solution p =; /", oj ^ a de la première équation, on en déduit une solution de la seconde en prenant p --= — /", (0 ^ aH-Ti, et l'on sait qu'à ces deux systèmes de coordonnées il ne correspond qu'un seul et même point.
Quelle que soit celle des deux équations adoptées, en résolvant par rapport à p, on obtient une expression qu'on peut mettre sous la
forme suivante
•^ A -H B co.s(to — a )
Cas particulier . — L'axe polaire est perpendiculaire à la directrice. La distance du foyer à la directrice est égale à —, par suite l'équation de la conique est
en supposant que la direction positive de l'axe polaire soit celle qui va du foyer à la directrice correspondante. On obtient ainsi
p = dz c I p cosf
e nous choisirons la forme suivante
' 1 -i-e COSO) Dans le cas de la parabole e =: i, et par suiie
"X cos-= —
COOKDONNÉES POLAIRES. 1^9
Si l'axe polaire fait un angle a avec Taxe focal, l'équation aura la forme suivante
I ■+- e cos((u — a.)
119. Remarque. — L'équation (2) du numéro précédent, déduite de l'équation (i) par la transformation des coordonnées, se décompose en deux équations (3) et (4) et nous avons vu que chacune de ces dernières représente toute la conique définie par l'équation (i). D'une manière générale, si en posant a; = p costo, y = ^ sinw, le polynôme entiery(a7, y) se transforme en un polynôme entier en p, cosw et sinto, de sorte que
/(■^,y) = ffip, cosw, sinw),
et si le polynôme ff se décompose en un produit de deux facteurs
ff(p, costo, sinto) ^ ^i(p, costo, sinto) x ff^ip, costo, sinto),
chacune des équations
gi{p, costo, sinto) = 0, ê'ii?^ costo, sinto) = o
représentera la courbe f{oc, y) =0 tout entière, pourvu que celle-ci soit indécomposable.
En effet, je dis d'abord que toute équation de la forme
(1) ^(p, costo, sinto) = 0,
dont le premier membre est un polynôme entier en p, costo et sinto, représente une courbe algébrique tout entière. En effet, la transformation x = p costo,
y= p sinto, conduit à l'équation gip,-} —\ = o. Si l'on rend le premier
membre entier par rapport à p, et si l'on met en évidence les puissances paires et les puissances impaires de p, on obtient l'équation
{■x) h(p\x, y) + pk(p-^,x,y) = o,
h et k désignant des polynômes entiers. Or, si l'on rend rationnelle cette dernière équation, on obtient l'équation
(3) h'^ix'- + y^.T,y)-{x'- + y^)/cHx''-^y'',x,y) = o.
Je dis que les courbes (i) et (3) sont identiques. Remarquons d'abord que l'équation (2) peut être considérée comme étant équivalente à l'équation (i) pourvu qu'on remplace x par p costo et y par p sinto. Or, soit M{x, y) un point de la courbe (3); posons r ^=: -{- y x- -h y^ et soit a une solution du système : costo = -5 sinto = — ; l'équation (3) étant vérifiée, on a
i5o ou bien
h{x^ + y^, X, y) - sJx-^-^y^ k{x^-i~y-, x, y) = o,
d'où il résulte que l'équation (2), c'est-à-dire l'équation (i), est vérifiée quand on pose p = r, w = a ou quand on pose p = — /*, w = a + ir. Mais ces deux systèmes de coordonnées appartiennent tous deux au point M; donc le point M est un point de la courbe (1). Or, inversement, tout point de (i) appartient à la courbe (3); donc la proposition est établie. Gela posé,
/(x, y) = ^i(p, cosw, sinto) x g'zip, cosw, sino)).
L'équation ^1=0 représente une courbe algébrique, ainsi qu'on vient de le voir. Cette courbe fait partie de la courbe représentée pary(a", y)= o; si celle-ci est indécomposable, la courbe gi coïncide avec la courbe /, et il en est de même à l'égard de ^2-
