TANGENTES ET NORMALES
120. Soient (p), (0,) les coordonnées d'un point M appartenant à une courbe et (oi -|-Ap,, Wi-f-Afo,) celles d'un point infiniment voisin M' sur la même courbe. L'équation de la droite MM' étant
Pi + Api
coswi sintoi
cos((Oi + An>i) sin(a>i-H Acûi)
OTi peut retrancher des éléments de la dernière ligne du déterminant précédent les éléments correspondants de la seconde, ce qui
donne
cosco sinto
— COSlOi
pi
sinwi
— A COSCO) Asinwi Pi
en divisant chaque élément de la dernière ligne par Aco, et passant à
COORDONNÉES POLAIRES
la limite, on obtient l'équation de la tangente en M
cosw
sinio
cosoji sinwi — sinwj coswi
On représente par (-) ce que devient la dérivée de - prise par
rapporta w quand on suppose (o = iO|, p = p,. En développant l'équation de la tangente, on obtient
- = — cos(w — coi)-i-(-) sin(w — wj), P ?i \P/i
ou, si l'on met l'équation de la branche considérée sous la forme
- =/(wi) cos(uj — w,)-+-/'((o,)sin(w — w,).
121. Angle de la tangente avec le rayon vecteur. — En employant la méthode générale donnée plus haut (n" 113), on a
tangV
/ W /P /(^i) Vp«/i
Démonstration directe. — Soit W [fig. 102) un point infiniment voisin de M, et projetons le contour OMM' et sa résultante OM' sur OM; en appelant u l'angle de MM' avec OxVl, on a
p -+- MM' cos M = (p + Ap) cos Aw.
En projetant les mêmes segments sur la direction faisant un angle
égal à + -^ avec OM, on a Fig. 102.
MM'sinw =(p 4- Ap) sinAo),
donc
(p -(- Ap ) sin A(i>
tang u = ^^^^ '— .
p(cosAto — xj -t- Ap cos A(D
Cela étant, si Aw tend vers zéro, on sait que sinAw et Ato sont des infiniment petits équivalents qu'on peut regarder comme étant du premier ordre ;
lim tan g a
= lim
—^ cos Ao)
Aw
tans V =
Pw
tanc
doi
l52 CHAPITRE X.
alors cosAco — i est du second ordre; le dénominaleur et ApcosAto sont donc équivalents; par suite,
donc
ou
Exercice. — Si l'on prend OM pour axe des x, l'axe desjKlui étant perpendiculaire, tangV est le coefficient angulaire de la tangente en M; or les formules de transformation
a;=pcos(to — coi), jK = ? sin(ca — tOi), donnent
dv . , . da dx , , dp
-:- =a'-4-sin(w — Wi)-^-? ^- = — Y -+■ cos(to — wi) ~- ■
doi dut doi "^ duj
Pour le point M, on a y = o, x = pi, co = toi ; donc
et, par suite,
dy / doi dx V dp
122. Tangente à V origine. — Si une branche de courbe passe par l'origine, on cherchera vers quelle limite tend co quand p tend vers zéro 5 soit w, cette limite. La droite iù = (o, est une tangente. Il convient de remarquer que, si p tend vers zéro sans changer de signe quand w tend vers w,, la tangente obtenue est une tangente de rebroussement.
Si l'équation de la courbe est/(p, to) = o, les tangentes à l'origine sont déterminées par l'équation /"(o, co) = o.
123. Normale. — La normale en un point étant la perpendiculaire à la tangente en ce point, l'équation de la normale au poinl (p,, co,) est (n4)
- = — cos(co — lOi) -I — — sin(co — Wi). P Pi Pi
COORDONNÉES POLAIRES. l53
I2i. Sous-tangente^ sous-normale.— -On nomme sous-tangente le rayon vecteur de la tangente qui est perpendiculaire au vecteur du
point de contact, compté avec le signe -|- dans la direction w, + -•
On l'obtiendra donc en calculant la valeur de p qui correspond à
lo = lui -i- - dans l'écjuation de la tangente; ce qui donne
St ~^ VP/ 1 donc
La perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur OM rencontre la normale enN; la sous -normale est le rayon ON, compté
avec le signe + dans la direction w, H — ; il doit être compté de
telle sorte que ON.OT = — p-, ce qui donne
Ce résultat, que l'on déduit de l'équatioa de la normale en y faisant o) = wi M — » permet de retrouver l'équation de la normale; en effet, cette droite a pour équation
- = — cos(co — tOi)+ X sin(w — coj), P Pi
