Applications. — Soit p = ae"^'^ : on en tire tangV

La courbe représentée par l'équation précédente, nommée spirale logarithmique, a la propriété de couper tous les rayons vecteurs

sous un angle constant. Réciproquement, si tangV^— > on a

^ = m, donc Lo = mw + c, c étant une constante ; et, par suite,

p __ ^ww+c __ ^gTOw en posant a^e^. La spirale logarithmique est

donc la seule courbe qui jouisse de cette propriété. Le cercle est un

cas particulier qui correspond à m = o.

Sens de la concavité d'un arc de courbe.

128. Soit M(p,,w,) un point d'une courbe; désignons par /• le rayon vecteur d'un point quelconque de la tangente en M, et par p le rayon vecteur d'un point pris sur l'arc de courbe que nous voulons étudier. Nous poserons - =y(w); l'équation de la tangente

P en M à l'arc considéré est donc

- =y(wi) cos(w — Wi) -i-y'(a)i) sin((o — coi).

Pour (0 = 0)), cette formule donne r^ ^p». On peut donc trouver un nombre positif a tel que, pour toutes les valeurs de <o comprises entre w, — a et W) + a, r et p aient le même signe. Cela posé, on dit qu'un arc de courbe passant par M tourne, au point M, sa concavité vers le pôle, si tous les points de cet arc sont situés par rapport à la tangente en M du même côté que le pôle. Si ces points sont situés de l'autre côté de la tangente, on dit que la convexité de l'arc est toui'née vers le pôle. Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que Pi soit positif. Nous avons à étudier le signe de la différence /' — p : le produit rp étant positif dans l'intervalle considéré.

COORDONNÉES POLAIRES. l55

- a le même signe que le numérateur, et il y a avantage à étu-

dier la différence

; or on a

z =/(o)) — /(wi)cos((o — (Di)— /'(w,)sin(a) — coi).

On en déduit, en prenant les dérivées de z par rapport à w,

^' = /'(a)) -I- /(wi)sin(to — cO] ) — /'( Wi) cos(w — Wj), ^■=:/"(w)+/(a)i)cos(w — a)i) + /'(w,)sin(w — Wi);

par suite, pour w = w, ,

io3.

1° Soit d'abord /((o,) + /"(to, )> o. Dans ce cas, la fonctions est minimum pour w = w, ; par conséquent, si l'on suppose a suffisamment petit, s est positif de 0), — a à to, et de o, à w, + a, et en outre va en décroissant dans le premier intervalle et en croissant dans le second, ce qui détermine la forme de l'arc AB considéré, dont la concavité est alors tournée vers le pôle {fig- io3).

1° Soit en second lieu/(ti)) -f-/"(t')t) <C o.

La fonction ^, nulle pour to = w,, passe alors par un maximum, et est négative dans chacun des intervalles que nous avons considérés. La convexité de l'arc AB est alors tournée vers le poie {/ig- 104}.

3° Soit maintenanty(w,) +/"(a), ) = o, ou encore supposons que cette somme soit infinie ou indéterminée. Dans ce cas, il faut examiner le signe de ^" dans chacun des intervalles de co, — a à w, et de w, à w, -+- a. Si d' change de signe quand o) atteint la valeur to, , il j a inflexion; si, par exemple, z" passe du signe + au signe — , l'arc AM tourne sa concavité vers le pôle, et l'arc MB la tourne en sens contraire. C'est l'inverse quand s" passe du signe — au signe 4-. Si z" conserve le même signe dans chacun des deux intervalles étudiés, la concavité aura un sens déterminé, vers le pôle si c'est le signe -{-.

D'ailleurs, on pourra calculer les dérivées suivantes de -z; si elles

sont toutes finies pour w^co, et si la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre pair, la concavité de l'arc AB aura un sens déterminé ; elle sera tournée vers le pôle si cette dérivée a le signe + ; il j a inflexion, si la première dérivée qui ne s'annule pas pour co = 0), est d'ordre impair.

Les résultats précédents sont renversés, si p, est négatif; car, dans ce cas, si l'on suppose | r | — | o [ > o, on a r — p < o et, par suite,

— - - <C o ; donc on peut dire que la concavité est tournée vers le

pôle, si

j.r L + (iy']>„,

en sens contraire, si

pi Lpi

129. Remarque. — Ce qui précède ne s'applique pas au cas où la tangente au point M passe par le pôle. Soient p^, iOt les coordonnées du point M; dans ce cas, pour étudier la position de la courbe par rapporta la tangente en ce point, il faudra discuter les valeurs de o qui correspondent aux valeurs de w comprises dans l'intervalle de to, — a à 10, + a, a étant un nombre positif suffisamment petit pour que l'équation /(p, w) = o, supposée algébrique en p, n'ait par rapport à p que des racines simples dans chacun des intervalles de w, — a à W( et de to, à w, + a. En général, si le point M est un point ordinaire, pour w = co, , l'équation précédente aura une racine double égale à p, et ce n'est que dans l'un des deux intervalles précédents que l'équation aura deux racines réelles ayant pour limite commune p,, quand (o tend versto,. Si le point M est un point d'inflexion, l'équation aura, pour to = oj, , une racine triple et, dans chacun des deux intervalles considérés, une seule racine sera réelle.

Si la courbe passe par le pôle, on étudiera le signe des déterminations infiniment petites de p.

Asymptotes.

130. Il est évident que les branches infinies correspondent aux valeurs de w, qui rendent p infini. On étudie commodément les

COORDONNÉES POLAIRES. 167

branches infinies de la manière suivante. Soit AM un arc infini hyperbolique ou parabolique; menons par le pôle la droite X'X parallèle à la direction asjmptolique correspondante et choisissons pour X'X un sens positif, OX; soit OY la demi-droite qui fait avec OX un angle égal à + - • Appelons a l'angle que OX fait avec Taxe polaire Ox. % Des formules de transformation

on tire

X = pcos(w — a), Y = psin(w — a).

^ = tang(co — a).

Fi£

La direction X'X étant asjmptotique (Jig. io5), si le point M s'éloigne indéfiniment sur l'arc infini considéré, X croît indéfiniment et Y =T tend vers zéro; donc tang((o — a) tend vers zéro et, par suite,

w a pour limite a + A'tï, k étant un entier déterminé. Pour cette valeur de to, p est infini et, en outre, si la branche AM est pourvue d'une asymptote ayant pour équation Y = d, Y, c'est-à-dire le produit

p si II ( co — a )

a pour limite d. Si la branche est parabolique, ce produit croît indéfiniment quand w tend vers a-}- /ctz. Réciproquement, supposons que p soit infini pour une valeur déterminée a donnée à w. Traçons la demi-droite OX faisant avec

Ox un angle égal à a, et menons OY faisant avec OX l'angle H — " •

Si w tend vers a, p croissant indéfiniment et cos(co — a) tendant vers

l'unité, X grandit indéfiniment en valeur absolue, ce qui prouve que

le point M(X, Y) décrit un arc infini. En second lieu, ^^ tend vers

zéro, ce qui montre que la direction asjmptotique correspondante est parallèle à OX; enfin, si Y, c'est-à-dire psin(co — a), a une limite finie d, la branche infinie a une asymptote ayant pour équation Y = d ou psin(w — 'x)^d. Mais, si psin(w — a) croît indéfiniment quand to tend vers a, la branche considérée est parabolique.

l58 CHAPITRE X.

131. Calculde d. — i° Supposons l'équation de la courbe donnée mise sous la forme - =y(to). On détermine les valeurs de w pour lesquelles p est infini en résolvant l'équation y(to) = o. Soit a une racine de cette équation; psinfoj — a) ou — ;; — - a Ja même limite

que -^, — quand w tend vers a ; donc d = -rj- — et, par suite, l'équalion de l'asymptote est

; =/'(a)sin(w —a), P

ce qui prouve que, en général, l'asymptote est la limite d'une tangente dont le point de contact s'éloigne indéfiniment, car on obtient l'équation précédente en remplaçant dans l'équation de la tangente au point (w,, p,), w, par a, en tenant compte de/(a) ^ o.

On peut encore remarquer que .., , . est la limite de la sous-tan- ^ ^ ^ y (a)

gente quand co, tend vers a; pour cette raison d peut se nommer la

sous-asymptote. Lorsque y"(a) ^ o, la branche infinie est parabolique.

2° Plus généralement, supposons que l'équation de la courbe donnée soit algébrique par rapport à p,

Nous supposerons que les fonctions /"(to), f^ (to), f^Çoi), . . . restent finies et continues pour toutes les valeurs de to. Dans ces conditions, les valeurs de w pour lesquelles p est infini sont les racines de l'équation/"(lo) = o. Soit a l'une de ces racines. La limite de p sin((o — a),

, , . , s sin ( 0) — a) i ^ ,

qu on peut écrire p(to — aj x ? est la même, quand o) — a

tend vers zéro, que celle de p(to — a). Pour cette raison, on pose

(0 — a = - et par suite 1 équation proposée peut s écrire

Il n'y a plus qu'à suivre exactement la méthode employée dans la recherche des asymptotes en coordonnées rectilignes (47, II); en supposant par exemple /'(a) ^ o, on trouvera

COORDONNÉES POLAIRES. iSq

Si y'(a) = 0, y, (a)^o, l'asjmptote est rejetée à l'infini, etc.

132. Construction de Vasymptote. — Il résulte de ce qui a été dit plus haut que, si l'on trouve pour d un résultat positif, on doit porter la longueur OB := d dans le sens de la demi-droite faisant avec Ox un angle égal à aH — ', %\ d est négatif, dans le sens opposé qui

correspond à l'angle a — -; et enfin on mènera par B une peipendiculaire à OB. On peut procéder autrement; on a en eflfet l'équation de l'asjmptote, ce qui permet de déterminer la trace de celte droite sur l'axe polaire et, comme sa direction est connue, elle est déterminée sans ambiguïté. Ou peut d'ailleurs déterminer aussi sa trace sur la perpendiculaire à l'axe polaire.

133. Disposition des branches infinies. — Si la branche infinie est parabolique, il suffira d'étudier le signe de Y pour X infini positif ou négatif, c'est-à-dire le signe de p sin(w — a) quand to tend vers a. Supposons la branche infinie pourvue d'une asymptote; si cette asymptote passe par le pôle, il suffit d'étudier le signe de p quand w tend vers a. Si d est différent de zéro, on peut étudier le signe de d — Y ou <:/ — p sin(w — a); il est plus commode d'étudier le signe

de ;> ;• étant le rayon vecteur de l'asymptote et, en outre, p et r

P ' correspondant à une même valeur de w, infiniment voisine de a. Or,

si l'on pose lo =: a + A, les équations - =f(^io), - ^y'(a) sin((o — a)

donnent

^--j =/(a-f-/0— /'(a)sin/j,

OH, en appliquant la formule de Taylor,*que nous supposons légitime,

donc, si l'on suppose f'{'^) ^ o, on voit que, pour des valeurs de h suffisammeat petites, la différence précédente aura le signe de f"[cc). En définitive, on voit que l'on procède comme pour la détermination du sens de la concavité d'un arc de courbe.