Exemple. - =i — asino

p est infini pour o) = -; étudions la branche correspondante. On a, en

écrivant a au lieu de - >

sin fto — a)

Ensuite

sin (w — a)

I — asinto 2(sina — sinw)

I — 2 sinu) -(- /3 sin(co — a),

et, en posant w = a + h,

■ =1 — 2 sin (a 4- A) -h /s sin/t,

ou, en développant et tenant compte de la valeur de a,

cos/i.

Cette différence est donc toujours positive. Or, si to atteint ^-

par valeurs croissantes, p passe de -4- co à — co; on a donc la disposition indiquée sur la /ig^. 106.

L'asymptote coupe la perpendiculaire à l'axe polaire au point ayant pour ordonnée — |, ce qui permet de la construire aisément.

Théorie des enveloppes en coordonnées polaires.

135. Si l'équation y(p, co, a) = o contient un paramètre arbitraire a, elle représente une famille de courbes dont on aura l'enveloppe en éliminant a entre l'équation précédente et l'équation y^(p, (o, a) = o. La démonstration donnée dans le premier Volume est applicable quel que soit le système de coordonnées employé.

Inversion.

136. On démontre très facilement, à l'aide des coordonnées polaires, la propriété fondamentale relative aux tangentes, dans la transformation par inversion.

COORDONNÉES POLAIRES. l6f

Soient p et r les rayons vecteurs des deux courbes inverses, le pôle d'inversion étant l'origine, de sorte que

k étant la puissance d'inversion. On tire de cette équation

, . do dr

du> ^ diù et, par conséquent,

diM diù

Donc, en appelant V et U les angles que les tangentes en deux points correspondants font avec le rayon vecteur,

tangV -I- tangU = o;

les tangentes en deux points correspondants forment donc, avec la ligne qui joint les points de contact, un triangle isoscéle. Réciproquement, si cette condition est remplie, l'équation (3) est vérifiée; en l'écrivant sous la forme (2) qui lui est équivalente, on en déduit l'équation (i).

L'inverse d'une droite est un cercle qui passe par le pôle d'inversion et réciproquement; en effet, l'équation de la droite étant de la forme

- = A cosw H- B sinto,

la courbe inverse a pour équation

p = Â:A costo -H X:B sinto.

La courbe inverse d'un cercle qui ne passe par le pôle est un second cercle; en effet, l'équation donnée étant

p2 -f- 2 p ( a cos co -1- é sin 0) ) -H c = 0,

la courbe inverse a pour équation

k^-\- "ik p(a coscû -+- b sinto) -h c p^ = o.

Nous avons vu (I, 899) qu'une courbe anallagmatique peut être considérée comme étant l'enveloppe d'un cercle orthogonal à un cercle fixe et dont le centre décrit une courbe fixe, nommée déférente. Il est facile de trouver l'équation de cette courbe quand on connaît l'équation de la déférente. En effet, soient r eta les coordonnées du centre du cercle variable; le pôle étant le centre du cercle fixe, k le rayon de ce dernier; enfin, soit r= <t»(a) l'équation de la déférente. Le cercle mobile a pour équation

p' — 2po(a)cos(fo — a) + ^* = o.

NiEW^ENOLOWSKi. — G. an., IL 11

l62 CHAPITKE X.

Pour trouver l'enveloppe, nous devrons éliminer a entre l'équation précédente et celle qu'on obtient en égalant à zéro sa dérivée par rapport à a, ce qui

donne

o'(a) cos(to — a)-f-cp(a)sin(c«) — a) = o.

Cette équation peut être considérée comme déterminant a en fonction de to et, par suite, cp(a)cos(w — a) est une fonction déterminée de w; l'équation de l'anallagmatique sera donc de la forme

p2— •2p/(aj)-|- A'2 = o.

Réciproquement, une pareille équation représente une anallagmatique, puisque le produit des racines qui correspondent à une même valeur de lo est constant.

Inversement, on peut déduire de l'équation précédente celle de la déférente. La demi-somme des racines étanty(a>), la déférente est l'enveloppe de la droite ayant pour équation

X cosco -+- j^' sinw — y(a))= o.

Concholdes.

137. L'équation d'une courbe étant p =/(w), une conchoïde de cette courbe a pour équation p =y(w)-Ha, a étant une constante. Les sous-normales relatives à une même valeur de œ sont évidemment égales; on retrouve ainsi la construction de la normale à une conchoïde, que nous avons déjà trouvée par un procédé différent.

La conchoïde de Nicomède, ou conchoïde d'une droite, a pour équation, l'axe polaire étant perpendiculaire à cette droite,

Si l'on change w en œ -h ir et p en — p, on obtient

' cosco

la première équation suffit donc pour représenter les deux branches de la conchoïde.

De même, le limaçon a pour équation

p = 2/' cosu> -+- a.

L'inverse du limaçon par rapport à son point double est une conique ayant ce point pour foyer, et réciproquement.

COORDONNÉES POLAIRES. l63

Points doubles.

138. Soit M(pt,toi) un point double; supposons que deux arcs de courbe

passent par ce point. Il peut arriver que, pour une même valeur de o), deux

valeurs de p tendent vers une même limite pi quand w tend vers wi. Dans ce

cas, l'équation de la courbe/(p, 00)= o a une racine double pour w = wi. Il

àf àf ^ . ^

en resuite que ^ = o; v- doit être nulle aussi pour lo = wi, car autrement, c/p au> *^

p' étant infini, tangV serait nulle, car on supposera pi^é o. Mais, la tangente passant alors par le pôle, le point M pourrait, dans ce cas, ne pas être un point double, mais un point ordinaire; nous laisserons de côté ce cas particulier. Il convient de remarquer qu'on pourrait encore avoir affaire à un point de rebroussement avec tangente passant par le pôle. Supposons donc que l'on

ait, pour tu = wi : — - = o et — - = o. La formule ' ^ dp dixj

donne

à/ , df dp ^ du}

do ào^ dp dix) ' dui- '

pour o) = 0)1, le premier terme s'annule (en supposant pj finie) et l'on a deux valeurs pour p', ce qui donne deux valeurs correspondantes de tangV. Si ces valeurs sont égales, M est un point de rebroussement.

En second lieu, il peut se faire que l'on obtienne une même valeur de p pour deux valeurs de (i> différant d'un multiple de 2Tr; on cherchera s'il existe un entier n tel que les deux équations/(p, w) = o, /(p, tv -+- 2mz}= o aient une ou plusieurs solutions communes.

Il peut encore arriver qu'un même point M corresponde à des valeurs de p égales et de signes contraires et à deux valeurs de to différant d'un multiple impair de tc; on cherchera donc s'il existe un entier n tel que les deux équations /{p, to)= o et /{ — p, 10 -h imz -t- Tt)= o aient une ou plusieurs solutions communes. Si w ne doit varier qu'entre deux limites a, b, il faudra que les solutions trouvées satisfassent à cette condition.

Enfin il y a lieu de chercher si le pôle peut être un point double. Nous avons déjà remarqué que, si p s'annule sans changer de signe pour une valeur déterminée Wi, la droite co = wj est une tangente de rebroussement. Le pôle sera encore un point double si plusieurs déterminations de p tendent vers zéro quand to tend vers une valeur déterminée wj ou bien lorsque p s'annule pour des valeurs de co différant d'un multiple de tt, ces valeurs appartenant à l'intervalle dans lequel on doit faire varier w pour obtenir toute la courbe.

En général, la recherche des points doubles d'une courbe algébrique est

l64 CHAPITRE X.

moins commode quand on emploie des coordonnées polaires qu'avec des coordonnées rectilignes.

Recherche des axes de symétrie passant par le pôle.

139. 1° Axe polaire. — Soit M un point ayant pour coordonnées p,, lOi; le point symétrique M' par rapport à l'axe polaire a pour coordonnées: p,, 2A":i — ^ù^ ou — p,, 2A-7T+7t — w,. Il en résulte immédiatement que la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe ayant pour équationy(p, to) = o soit symétrique par rapport à l'axe polaire est que l'équation précédente ne change pas quand on change co en 2^:71 — w ou quand on change p en — 0 et w en 2A"7r + 7t — (0, k ayant une valeur convenablement choisie, de sorte que l'équation de la courbe puisse se mettre sous l'une des deux formes /(p, 2^7: — to)=o ou /( — p,2/>rTcH-7t — w) = o. On peut écrire, dans tous les cas,y[( — i)^P) kiz — w] = o.

2° Droite quelconque. — Soit to = a l'équation d'une droite; prenons cette droite pour axe polaire en posant (o = to'+a; deux points ayant pour coordonnées pi, p2 sont symétriques par rapport au nouvel axe polaire si l'on a p, = p2 et 0)2 — a = 2 /m — (w, — a) ou bien p, = — p2 et 102 — a.=. ik-rz+Tz — (wj — a); plus simplement,

ou bien

pi = — P2, Wi4- o>2 = 2Â:Tr -h Tt + 2a.

Il convient de remarquer que ces relations conservent la même forme si l'on remplace a par a + )v7t. D'où il résulte que la droite co = a sera un axe de symétrie si l'équation de la courbe ne change pas quand on change to en ikit — to -f- 2 a ou quand on change p en — 0 et to en ikiz +71 — to + 2a; en résumé, on change p en ( — i)*p et 10 en kr:, — to + 2a.

En particulier, la perpendiculaire Oy à l'axe polaire (a = - j est

axe de symétrie quand l'équation n'est pas altérée par le changement de to en 2A-7î-f-7i — 10 ou encore quand on peut y faire le double changement de p en — p et de to en 2A'7r — to. Ces résultats sont d'ailleurs évidents géométriquement.

COORDONNÉES POLAIRES. l65

Exemples. — L'équation /(p, cosw) = o représente une courbe symétrique par rapport à l'axe polaire;

L'équation /(p, sinw) = o représente une courbe symétrique par rapport à la perpendiculaire Oy à l'axe polaire.

On vérifie encore aisément que l'équation /(p, sinw, costo) = o, où la fonction / est symétrique par rapport à sinw et cosw, représente une courbe symétrique par rapport à la droite w= -; c'està-dire par rapport à la bissectrice de l'angle droit xOy. Il suffit, en effet, de remarquer que

sin/'|— e) =cos(| -f-e^ et cos /^ — oW sin Q -i- 6 j

ou encore que l'équation /[p, -, -^ j = o ne change pas quand on permute x ely.

140. Condition pour que le pôle soit un centre. — Si deux points p,, w, et 02, W2 sont symétriques par rapport au pôle, on a p2=p, et u)2=<jJi+2A'Ti + 7roup2=: — pi,i02=to,4-2Â:7î; donc la condition pour que le pôle soit centre est que l'équation ne change pas quand on change w en w 4- ^kn -}- i: ou bien quand on change en même temps p en — p et w en w -+- 2 A"tu.

Exemple. — /{?•> tangw) = o représente une courbe symétrique par rapport au pôle.

CONSTRUCTION DE COURBES EN COORDONNÉES POLAIRES

14L Premier cas. — L'équation est delà forme

y(p, sin/Jto, sin/>'a), . . ., cosqiù, cosq'oi, . , .) = o,

/7, /?', .. ., q, q' étant des entiers et / désignant une fonction algébrique.

Nous regarderons p comme une fonction de w et nous ferons varier w d'une manière continue ; il suffît évidemment de donner à 10 toutes les valeurs comprises entre a et a -H 2'ïc, a étant un angle quelconque, car, si l'on augmente to d'un multiple de 271, toutes les fonctions circulaires qui figurent dans l'équation donnée reprendront les mêmes

l66 CHAPITRE X.

valeurs, de sorte que, si l'on fait varier, par exemple, w de a + au à a + 47^7 on retrouvera pour p les mêmes valeurs que dans le premier intervalle et, par suite, ces valeurs devant être portées dans les mêmes directions, on retrouverait les arcs de courbe déjà obtenus.

142. Diminution de V amplitude de variation de w. — On fait les essais suivants : 1° On change to en 271 — w; plusieurs cas peuvent se présenter :

a. L'équation ne change pas ; l'axe polaire est un axe de symétrie. Si (0 varie de o à ir, 2tu — co varie de 21X à Itt; il suffira, dans ce cas, de faire varier 10 de o à u et de replier autour de l'axe polaire les arcs obtenus.

b. L'équation ne change pas si l'on change en même temps p en — 0 ; la courbe est symétrique par rapport à la perpendiculaire Oy à l'axe polaire; il suffit encore de faire varier to de o à tc.

c. L'équation est altérée quand on change w en 27t — to et aussi quand, en outre, on change p en — p; dans ce cas, la réduction ne peut être opérée, du moins de cette manière.

2° On change 10 en to -f-7t.

a. L'équation ne change pas-, le pôle est un centre et il suffit de faire varier to de o à u.

b. L'équation obtenue est la transformée en — p de la proposée; dans ce cas, il suffit de faire varier to de o à ix, l'intervalle de 7t à 271 reproduirait la courbe déjà obtenue.

c. L'équation est altérée, même en changeant p en — p ; la réduction ne réussit pas.

3" En supposant l'intervalle déjà restreint de o à tt, on peut chercher à le restreindre davantage. On change to en tc — to.

a. Si l'équation ne change pas, il suffira de faire varier to de o à -

et de replier le dessin autour de la perpendiculaire Oy à l'axe polaire, cette perpendiculaire étant alors un axe de symétrie.

b. Si l'équation ne change pas quand on change en même temps p en — p, l'axe Ox est axe de symétrie et il suffira de faire varier 10

de o a - •

4° Supposons qu'aucune de ces réductions n'ait abouti. Changeons (ù en u — to et supposons que l'équation ne change pas; dans ce cas, Oy est un axe de symétrie et il suffira par conséquent de

COORDONNÉES POLAIRES. 167

faire varier w de à + -: il en sera encore de même si l'éqiia-

tion ne change pas quand on change p en — p et w en ir — w; seulement c'est alors Ox qui est un axe de symétrie.

143. Usage des axes de symétrie passant par le pôle. — Si une courbe a deux axes de symétrie passant par le pôle et faisant entre eux un angle a, deux cas peuvent se présenter. Si l'angle a est incommensurable avec ir, toutes les droites passant par le pôle sont des axes de symétrie de la courbe donnée, qui alors se réduit à un cercle ou à un système de cercles ayant le pôle pour centre. En effet, considérons un premier axe de symétrie A et un second axe B faisant avec le premier un angle a. Les droites qui font avec A des angles respectivement égaux à 2 a, 3a, ..., ncc, (/? + i)a sont encore des axes de symétrie; or, on peut déterminer n de façon que la droite qui correspond à l'angle nx soit comprise entre A et B ; soit G cette droite; l'un des deux angles (A, G) ou (G, B) est moindre que ^ a] on a donc deux axes de symétrie faisant un angle moindre que I a; on peut en déduire par le même procédé deux axes faisant entre eux un angle moindre que | a, et ainsi de suite ; d'où l'on conclut que l'on peut avoir une suite d'axes de symétrie tels que deux axes consécutifs fassent entre eux un angle aussi petit que l'on veut ; en d'autres termes, toute droite passant par le pôle sera un axe de symétrie.

11 n'en est plus ainsi si a est commensurable avec 27t; et si l'on obtient toute la courbe en faisant varier to de o à 271, il y aura un nombre entier n d'axes de symétrie tels que deux axes consécutifs

fassent entre eux un angle de — ; alors il suffira de faire varier w

depuis ao jusqu'à aoH > olq étant l'angle que fait avec l'axe polaire

le premier axe de symétrie que l'on rencontre en tournant autour du pôle dans le sens direct.