Deuxième cas. — L'équation est de la forme

j ( p, sin — o), sin ^œ, . . . , cos - w, cos -7 to ,...) = o, \ q q s s J

p, q, ..., r, S, ... étant des entiers. On réduira les fractions —r •■-, -> •••

l68 CHAPITRE X.

à leur plus petit dénominateur commun p. et il suffira alors de faire varier w de a à a + 2 p.7r.

On cherchera ensuite à réduire l'amplitude de cette variation en procédant comme plus haut; on change w en ap-it — w; si l'équation ne change pas, O^ est un axe de symétrie et il suffit de faire varier w de o à |JLTt. Si l'équation se change en sa transformée en — p, c'est Oy qui est un axe de symétrie, et il suffit encore de faire varier to de

o à piTT.

Ensuite on peut changer w en w + pn: ou en piiî — w, etc. Enfin, si de o à 2 piTT il y a n axes de symétrie, il suffira de faire varier w

de o à — .

145. Troisième cas. — L'angle w entre algébriquement ou autre-, ment que sous forme de fonctions circulaires; dans ce cas on devra, en général, faire varier w de — 00 à +00. Mais, dans chaque cas particulier, il pourra y avoir moyen de réduire la variation de w.

146. Remarque. — Quelle que soit l'amplitude de la variation de 0) nécessaire pour obtenir toute la courbe, il faudra toujours chercher si, pour toutes les valeurs correspondantes de w, p est réel, et l'on ne devra conserver que les intervalles dans lesquels cette condition est remplie.

147. Marche à suivre. — Cela étant, on suivra la même marche qu'avec des coordonnées rectilignes; on calculera ,1a dérivée p^ el l'on déterminera ainsi les intervalles dans lesquels p est croissant ou décroissant; on rangera par ordre croissant les valeurs de w pour lesquels p et p' s'annulent ou deviennent infinis. Il est important de noter avec soin les changements de signe de p et de p'. On détermine les asymptotes et les tangentes aux points remarquables et enfin, si les calculs ne sont pas trop pénibles, on détermine le sens de la concavité.