Exemples

^ 1 — e cos to ^ ^

On voit que l'axe polaire est un axe de symétrie et qu'il suffira de faire varier u) de o à TT, car en changeant w en air — w, p ne change pas. Le dénomi-

COORDONNÉES POLAIKES.

naleur s'annule pour une valeur a telle que cosa = -, cet angle a étant compris entre o et - • Si w varie de o à a, p est négatif et décroît de —^ — à — 00;

quand w varie de a à it, p décroît de -4-00 à — ^- — • On peut ainsi se faire une première idée de la courbe; pour préciser, construisons l'asymptote. On a

, ,. p sin(to — a) d — lim ^ :

1 — e cosw

en écrivant i — e cosio = e(cosa — cosco) et employant la même méthode que plus haut (134), on obtient d = — 4- — •

L'équation de l'asymptote est donc r sin(a) — a) = — v — ^ -^ ^ ^ ^ esina

Pour w = - , on trouve r = -4 — • On a ensuite 2 sina

I I — ecos(a-4-^) esinasinA i — cosA

La courbe est une hyperbole dont un foyer est le pôle.

L'arc AB {fig. 107) correspond à l'intervalle de o à a et l'arc CD à l'intervalle de a à tt; le reste s'obtient par symétrie. Fig. 107.

^ , — oesino) .

On a p = — , de sorte que \^

(i — ecosa>)2 ^ \^

p'= G pour (O = o et w = TT et par suite \\

pour ces valeurs V = 90". \^\

I — 2 sino) Si l'on change w en tt — w, p change de signe; donc Ox est un axe de symétrie et il suffit de faire varier to de

7t . Tt

an — '

; donc p'> o, tangV

costo(i — 2 sinw) 2 — sincû

On trouve - p = , : tt

2 (i — 2 sinw)2

Les valeurs de co qui annulent p sont -\ et ; en outre, p est infini pour

(0 = -• Quand co varie de k -+- —, p va en croissant de o à -t-oo; si w

varie de -t- — à H — , p va en croissant de — ao à o. On peut avec ces indica- 62'

lions faire un premier tracé, qui sera plus exact si nous déterminons l'asymptote.

On trouve limpsinfw — â)~ — ^" L'asymptote ayant pour équation

p sin [ w — F ) = — I) coupe l'axe polaire au point A (^fig- 108) tel que OA =2.

Or ce point est aussi un point de la courbe, car pour w = o on a p = 2.

Cherchons la tangente en A : on trouve tangV = \. Il nous reste à trouver la

disposition des branches infinies. En posant /(uj)= -, on trouve aisément

/"[ - j < o.On a donc la disposition représentée par la figure, Fig. 108.

Fig. 109.

Remarque. — La courbe que nous venons de construire est susceptible d'une définition géométrique. Considérons un cercle et un point A ( Jig. ioq)\ on joint ce point à un point variable P pris sur ce cercle et l'on mène OM perpendiculaire au rayon OP. Proposons-nous de chercher l'équation du lieu décrit par le point de rencontre M de OM et de AP. En prenant pour pôle le centre du cercle et pour axe polaire la droite OA, posons OA = a et soit r le rayon du cercle. Le triangle MOP donne p = r tangP et dans le triangle OPA, on a

sin ( P — w H j

— = ^ — ^.— r^ = costo cotP -f- sinco.

a sinP

L'équation cherchée est donc

r — a sinw

Si l'on suppose a'^r, cette courbe aura une forme analogue à la précédente; si a = r, la courbe se décompose en une droite, l'axe Oy, et en une strophoïde. Si a < r, la courbe n'a pas de point à l'infini.

On peut construire facilement la tangente en M. Plus généralement, considérons une courbe plane quelconque C (Ji§'. iio) et un point A pris dans son plan; un angle droit MON pivote autour de son sommet; le côté OM ren-

COORDONNÉES POLAIRES

contre la courbe G en M; la droite AM rencontre l'autre côté en N. Connaissant la tangente en M à la courbe G, trouver la tangente en N à la courbe G' décrite par le point N.

Soit M' ON' une position infiniment voisine de l'angle MON.

Si l'on considère la conique déterminée par les cinq points O, M, M', N, N'; en vertu du théorème de Frégier, la corde MN vue de O sous un angle droit, passe par un point fixe situé sur la normale en 0 à cette conique; la droite OA est donc la normale et, par suite, la perpendiculaire à OA menée par le point 0 est la tangente. En supposant que M'N' vienne se confondre avec MN, la conique dont il vient d'être question est tangente en M à la courbe G, en N à la courbe G' et passe par O. Or, quand une conique est circonscrite à un triangle MON et que l'on connaît les tangentes en deux des sommets de ce triangle, on sait déterminer la tangente au troisième sommet à l'aide du théorème de Bobillier, puisque les tangentes aux trois sommets rencontrent les côtés opposés de trois points situés en ligne droite. La construction est effectuée sur la Jig. 109 relative au cercle. La tangente en P étant parallèle à OM, il suffit de construire l'intersection G de AM avec la perpendiculaire OC à OA, d'abaisser de G la perpendiculaire CD à OP ; la droite DM est la tangente en M à la courbe étudiée plus haut.

3° p = i-f- cosScû.

On obtient toutes les valeurs de p en faisant varier 10 de o à ---• Si l'on

change w en — w, p ne change pas;

donc il suffit 'de faire varier a> de o à ^• On voit ainsi que la courbe a trois axes de symétrie. Si to croît de o à ^j p dé-

croit de -I- a a i ; quand 10 croit de — a ^ ) p décroît de 1 à o. En repliant l'arc

obtenu autour de la droite 00=-) puis

faisant successivement usage des axes de

symétrie, on obtient la forme ci-dessus i^fig- m)

Fig. III.

4° P = tang - .

On aura toutes les valeurs de p en faisant varier lu de o à 271; mais, si Fon

Fig.

^JJ'fîîî^'

change to en 2tt — (o et p en — p, l'équation ne change pas; donc Oy est un axe

de symétrie. Il suffit de faire varier w de o à tt; p varie alors de o à -1- 00; pour

"^ /-vu

w = -, p=i. On aura 1 asymptote en

cherchant la limite de y ou psinw; or

. ti) , ,. .

p sino) = 2Sin - i la limite est 2 et jk va 0 a> ^

en croissant. On a donc cette forme qui est celle d'une strophoïde {Jig. 112).

D'ailleurs, si l'on change w en tt + w, on obtient — cot — ; on a ainsi deux

points M, M' situés sur un même rayon et OM.OM'= i = OA . Le cercle tangent en A à OA passe donc par M et M'. En outre, si G est le milieu de MM',

OG = - I tang f- cot — | = -: : donc AG est parallèle à Ox\ il en résulte

2\2 2/sina> ^

que l'angle MAM' est droit, et, par suite, AG = GM = GM'. Les points M et

M' décrivent donc une strophoïde et l'on voit que la courbe est anallagma-

tique par rapport au pôle.

5° p = cos ^ •

On obtient toute la courbe en faisant varier w de o à ôtt; n^ais le changement de Cl) en 6 u — w n'altère pas p ; donc Ox est axe de symétrie, et il suffit de faire varier to de o à St:; mais, en outre, si l'on change w en Stt — w, p change de signe sans changer de valeur absolue; donc il suffit de faire va-

rier w de o à — et de replier la figure obtenue autour de Ox. Dans cet intervalle p décroît de + I à -H o; il est donc très facile de figurer cette courbe, qui est un limaçon de Pascal, comme on s'en assure par la transformation des coordonnées {fig. ii3). On a, en effet,

d'où

cos 10 = 4 cos' — — 3 cos -- j

En transportant l'origine au point ( — |, o), on obtient Fig. ii3. ^ I / o , I

= {x^-\-y^' — xy-

-ix'^.

.yl. — x)

On reconnaît la forme canonique de l'équation d'un limaçon.

Sur la figure, le pôle était au point A.

COORDONNÉES POLAIRES

cos -

Le plus petit commun multiple de 2 et 3 étant 6, on a certainement toute la courbe en faisant varier w de o à 1271; mais, si l'on change w en xitz — tu, p change de signe sans changer de valeur absolue; donc, Oy est un axe de symétrie et il suffira de faire varier o) de o à ôtt. On peut encore réduire cette amplitude; en effet, si l'on change w en ôtt — co, p ne change pas; donc l'axe polaire est un axe de symétrie et il suffira de faire varier o) de o à 3tt. On repliera ensuite le dessin autour de Ox et ensuite le tout autour de Oy.

Pour ai = 3Tr, le numérateur et le

dénominateur s'annulent; pout- trouver Fig. 114.

la valeur de p, posons w = 3 tt -t- A et

faisons tendre h vers zéro. On obtient

ainsi

sin —

rii'

-sin-

donc limp = — \. On voit ensuite que p = 0 pour 0) = Tr et que p est infini pour w = o. On aura l'asymptote correspondante en cherchant la limite de p sin w.

Le facteur cos - a pour limite i; il suffit donc de chercher la limite de

3 sin ^ — 4 sin^ -

sin-

; la limite est 3; en outre, psino) est positif. On

obtient ainsi l'arc AB qui représente le quart de la courbe- Dans la formule

.tang-^-cot-j

posons (0 = 371 — h] il vient

\ h i h -cot — 1-5 cot-;

enfin, posons lang ^ = 2, ce qui donne

On voit d'abord que^ si h tend vers zéro, ^ a pour limite zéro, ce

qui prouve que tangV est infini au point B. En supposant o < A <; Sir ou o < g <^ - j on voit que z varie de + oo à o quand w varie de o

à 3Tr. Le rapport - est négatif dans l'intervalle de 4- oo à y/3, et po-

sitif de ;5 = + y/3 à s = o. Or tang . = y/3 donne A = 2 tt, w = ti.

Pour cette valeur, - est infini et passe du signe — au signe + quand

P co atteint et dépasse la valeur tc. Mais, en même temps, p passe du

signe H- au signe — ; donc, quand 10 varie de o à 3?:, la dérivée p'est

toujours négative et p est une fonction décroissante.

La courbe est représentée sur \dijig. n4.

Cette courbe est transcendante 5 il faut faire varier w de — 00 à + 00. Étudions d'abord l'intervalle de o à +go. On peut écrire

Tant que w << |, p est négatif et décroît de o à — 00; puis to croissant de t à -f-oo, p décroît de -j-oo à a; d'ailleurs on a p'= -r—

Cherchons si -la courbe peut rencontrer le cercle de rayon a et ayant le pôle pour centre. On a déjà vu que limp = a pourw infini, ce qui prouve que la courbe s'enroule asymptotiquement autour du cercle. Mais, d'autre part, si l'on pose p= — a, on trouve w = -i.

Cherchons l'asymptote, qui correspond à to = |. On a, en posant

donc la limite est \a. L'équation de l'asymptote est donc

. , a r sin/i = - ;

or, on a

de sorte que

I I 1 , . , = — sinA

Développons la parenthèse suivant les puissances de h) on peut

COORDONNÉES POLAIRES. 1^5

poser

\ ayant une limite finie quand h tend vers zéro. Donc - — - > o. Quand on suppose A > o et suffisamment petit, /' et p sont positifs et l'on a p >> /• ; c'est le contraire si h<^o. On a donc la disposition indiquée sur la y?»-. II 5.

Pour w << o, changeons to en

— (o; Il vient p^ — — ; si to

croît de o à +00, celte valeur

croît de o à a; donc la courbe est intérieurement asymptolique au

cercle. On obtient ainsi \dijig. 1 15.

149. \° Spirale d' Archiniède. — Une droite tourne dans un plan autour d'un de ses points d'un mouvement uniforme, et un point M se déplace en même temps sur cette droite d'un mouvement uniforme; la courbe décrite par le point M se nomme spirale d'Archimède.

Prenons pour pôle le centre de rotation de la droite, l'axe polaire coïncidant avec la droite au moment où le point M passe par le pôle; le sens des angles positifs étant celui de la rotation de la droite et le sens positif de l'axe polaire celui du mouvement apparent du point M. Soient a la vitesse angulaire de la droite et v la valeur relative de M ; le temps étant compté à partir du passage du mobile au pôle, on a, dans tous les cas, comme on le vérifie simplement,

oj = a^, p = vl, d'où

p = au),

en posant a = -. Cette formule suffît à représenter toute la courbe si l'on fait varier to de — 00 à -f- oc; si l'on se bornait à faire varier to de o à 271, il faudrait, pour représenter l'arc décrit dans une révolution complète de la droite, une équation particulière, de sorte

qu'on aurait, par exemple, pour le i^"", le 2^, . . . , le n'^"* tour, les équations

p = ao), p = a(a) -4- 2tc),

p = a(io -+- a/ZTi),

Fig. 116.

et il faudrait encore autant d'équations pour les tours antérieurs

au passage au pôle.

La courbe est symétrique par rapport à la perpendiculaire à l'axe polaire ; elle n'a pas d'asymptote. Sa construction ne présente aucune difficulté; elle est représentée sur \di Jig. 1 16. Les points d'intersection de la courbe avec un rayon vecteur quelconque sont équidistants les uns des autres.

Fig. 117.

2° Spirale hyperbolique. — Son équation est p :^ — ; c'est donc

Vinverse de la spirale d'Archimède.

Elle a une asymptote parallèle à l'axe polaire et dont l'équation est p sin iù=za. Quand co croît de o à + 00, on obtient un cercle qui s'enroule asymptotiquement autour du pôle. La perpendiculaire Oy à l'axe polaire est un axe de symétrie. Cette courbe est représentée sur la Jig. 117.

3° La spirale logarithmique a pour équation p = ae'"<«*; nous avons déjà indiqué sa propriété fondamentale.

4° Ovales de Cassini. — Nous avons étudié cette courbe à l'aide des coordonnées rectilignesj son étude en coordonnées polaires est aussi simple.

En gardant les mêmes notations qu'au n° 108, et prenant pour axe polaire la ligne focale, le pôle étant le milieu de la distance focale,

on a

MF = p2-f- C2— 2Cp COSO),