DE L'UN DE SES POINTS

25. Rapportons la courbe algébrique à deux axes passant par le point donné; nous sommes ainsi ramenés à l'étude des branches qui passent par

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l'origine des coordonnées. Nous laisserons d'abord de côté celles qui pourraient être tangentes à l'axe des^.

Soit p l'ordre de multiplicité de l'origine, de sorte que l'équation de la courbe soit de la forme

les différents groupes homogènes de degré p, p -\- i, . . . , tn étant mis en évidence. En posant / = tx, nous obtenons

(l) ^^<?p(l, 0-^-^^"^* '-pP+lCl) f ) -t-... '-H 37»' cp,n( 1,0 = 0.

Cette équation a /> racines nulles et ni — p autres racines déterminées par l'équation

<2) fo(t) + xfi{t)-^...= 0,

dans laquelle nous avons posé, pour abréger, et, d'une manière générale,

26. Soit a une racine de l'équation fo{t) = o, et supposons que cette racine soit simple. Il lui correspond une tangente simple ayant pour équation y — ax = o.

Posons /oit) = (t — a) ffo(t), et supposons d'abordy"i(«) ^ o.

Si nous regardons, dans l'équation (2), x comme un paramètre, on voit que, pour x = o, cette équation a une racine simple f = a; donc, comme ses coefficients sont des fonctions entières du paramètre x, quand x tend vers zéro par valeurs réelles, une détermination de t, regardée comme fonction de X, et une seule, tend vers zéro. Cette détermination est donc réelle; car, si elle était de la forme 8 -\-b'i, 6' aurait pour limite zéro et 6 aurait pour limite a; donc la racine conjuguée 6 — 6'i aurait aussi pour limite a; deux racines de l'équation (2) tendraient vers a au lieu d'une seule. Il en résulte que la courbe a un arc du côté des x positifs et un second arc du côté des X négatifs.

D'autre part, en regardant x comme fonction de t, nous observerons que, si l'on fait tendre t vers a, une seule détermination de x tend vers zéro; elle est par suite réelle. Il en résulte que toute sécante infiniment voisine de la tangente rencontre la courbe en un seul point infiniment voisin de l'origine.

Remarquons que l'on peut écrire ainsi l'équation (2) :

(f — a) ^o(0 + ^[/i(0 + ^/2(0 +•••] = o et, par suite, on peut la mettre sous la forme (3) (f a)[^„(a) + a]-l-^[/,(a)+P] = o,

a et P étant infiniment petits en même temps que x.

Supposons, pour fixer les idées, gf){a) fi{a) >o.

Lorsque x tend vers zéro, les expressions entre crochets ayant des limites de même signe, on peut trjouver un nombre positif b tel que, pour toutes les valeurs de x comprises entre — 6 et -t- b, go{a) -i- qt et fi{a) -+- P aient le même signe; il résulte de l'équation (3) que t — a et x auront alors des signes contraires, et, par suite, (t — a)x<io, c'est-à-dire

y — ax <:o;

l'arc de courbe passant par l'origine et tangent à A'A(^ — ax = o) est donc tourné du côté des j négatifs {^ff. 8).

Si l'on avait supposé go{a)fi(a)<Co, cet arc aurait été tourné du côté desjK positifs (fig. 9).

27. Supposons maintenant, a étant toujours supposée racine simple de l'équation yo(^) = o, que

/y i(a) = o, fq(a)^o

et posons

Dans ce cas, l'équation (2) pourra être mise sous la forme (4) («-«) IS-oia) + a] -1- xl[fr^{a) H- P] = o.

On voit d'abord, comme dans le premier cas, que, si x tend vers zéro par valeurs réelles, une seule valeur de t tend vers a; cette valeur étant, par suite, réelle, une détermination de y tend vers zéro par valeurs réelles, de sorte que la courbe a encore une branche réelle tangente à la droite menée par l'origine et dont le coefficient angulaire est égal à a. Mais, pour trouver la position de celte branche par rapport à la tangente, il faut distinguer deux cas.

Supposons d'abord g impair, et soit, pour fixer les idées,

ffo{a)fq{a)<o.

Dans ce cas, x'}(t — a) ou, ce qui revient au même, x(f — a), c'est-à-dire y — ax, doit avoir le signe -\-, quand on suppose x infiniment petit, positif

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OU négatif. L'inégalité jk — aa; > o exprime que l'arc de courbe considéré tourne sa concavité du côté des y positifs. Il y a donc la même disposition que dans la Jig. 8.

Si, au contraire, on suppose g<i{ci)fq{ci)^o^ on trouvera la disposition de la Jig. 9.

En second lieu, supposons que q soit pair; alors, quand x tend vers zéro, xi est toujours positif, quel que soit le signe de x\ par suite, si nous supposons go(a)fq{a) < o, l'équation (4) montre que, pour des valeurs de x suffisamment voisines de zéro, t — a aura le signe -f- ; par conséquent,

si a; > o, on a x{t — a) > o ou y — axy-o; si 37 < o, on a x{t — a) < o ou y — ax<Co;

la courbe présente donc une inflexion ascendante {fig. 10). Si l'on suppose

Fig. II.

^o(<a^)/y(«) > o, il y a encore inflexion, mais en sens inverse {fig, 11).