COMPLÉMENTS RELATIFS AUX CONIQUES
Dans les Chapitres suivants, nous ferons principalement usage des équations réduites. Les questions relatives aux aires étant traitées dans notre Cours d'' Algèbre, nous n'avons pas cru devoir les reproduire ici.
Développée de l'ellipse.
150. La normale au point {x^y) à l'ellipee rapportée à ses axes de symétrie a pour équation
avec la condition
L'équation de l'enveloppe de cette normale s'obtient en éliminant X el y entre les équations (i), (2) et la suivante :
Si l'on désigne par X la valeur commune de ces deux rapports, on a
En retranchant membre à membre et tenant compte des équations (i) et (2), on trouve \ = — c^ ; donc, les coordonnées du point de contact de la normale avec son enveloppe sont fournies par les
équations
. aX x^ bj£ __ r!
ELLIPSE. l83
Elevant Jes deux membres de ces équations à la puissance | et ajoutant, il vient
(4) (aXy-h{bYy = c^.
Pour mettre cette équation sous forme rationnelle, nous ferons usage de l'identité
A3-+- B3-^ G3— 3 ABC SE (A + B 4- C)(A -H Ba + Ca2)(xV -+- Ba24- Ga), a désignant l'une des racines cubiques imaginaires de l'unité. Si l'on pose
A=(aX)^ B = (èY)», G = — c» ,
l'équation (4) prend la forme A + B -H G = o; donc, toute solution de cette équation est solution de l'équation
(aX)2-i- (6Y)2— c<>-h 3(aXf{bYyJ= o et, par suite, de l'équation
(5) [(aX)2-f-(6Y)2— ci]3-f-27a26^c^X'-Y2 = o.
Je dis que les coordonnées de tous les points réels de la courbe du sixième degré, représentée par cette équation, vérifient l'équation (4)- En effet, si X et Y sont réels et vérifient l'équation (5), on peut écrire
[(aX)2+ (6Y)2 — c*p = — a7a»è2c4Xî Y»,
et, en extrayant les racines cubiques arithmétiques des deux nombres, on en déduit
A3 -4- B3 -i- G3 — 3 ABG = o.
Or
(A 4- Ba + Ga2)( A + Ba2-+- Ga) = |[(A — B)2-i- (B — G)s+ (G — A)2].
Le second membre ne peut être nul, en supposant A, B, G réels, que si l'on pose A = B = G, ce qui est impossible, attendu que A et B sont positifs et G négatif; donc on a bien
La courbe représentée par l'équation (5) est du sixième degré, mais, comme
on ne peut mener par un point que quatre normales à l'ellipse, elle est de la
quatrième classe. Par suite, la développée de l'ellipse a des points multiples.
On reconnaît aisément, par exemple, en employant la transformation de
Newton (61), qu'elle a deux points de rebroussement à l'infini; nous allons
voir qu'elle a quatre rebroussements situés sur les axes de l'ellipse, ce qui
diminue la classe de 6 x 3, ou i8 unités ; en outre, les points dont les coor-
données vérifient les équations (aX)^ = (èY)^ = — c^ sont des points doubles
dont la présence diminue encore la classe de 4 X 2 ou 8 unités, de sorte que
la classe est bien égale à 3o — 26, ou 4* D'ailleurs, il est aisé de voir que la
l84 CHAPITRE XI.
développée est unicursale. Effectivement, on vérifie l'équation de l'ellipse en
posant
x = acoso, y = bsinr^,
ou, en faisant tang|(p = f :
I— <« -ibt
de sorte que les coordonnées X, Y d'un point de la développée soient définies par les équations
Il est aisé de construire la développée. On voit que les axes de symétrie de l'ellipse sont aussi des axes de symétrie de sa développée. Cela étant, si l'on suppose que x croisse de zéro à a, et par suite que y décroisse de & à zéro, on voit que X croît de zéro à —
et que Y croît de — "X ^ o. D'ailleurs l'équation (4) donne
dX
ce qui prouve que, pour les valeurs considérées (qui correspondent à l'arc DGE), -r^ est positif et décroît de -h oo à zéro. Remarquons enfin que — est toujours moindre que, c tandis que -j- peut être intérieur, égal ou supérieur à b, suivant que a est inférieur, égal ou supérieur à èy/a.
En résumé, on obtient quatre arcs symétriques disposés comme le montre la /ig. 1 19 dans laquelle on a supposé « > fty/a.
Hyperbole d'Apollonius relative à un point donné.
loi. Les pieds des normales issues du point P(a, f^) sont sur la
courbe définie par l'équation
il) ou (2)
c'^-xy -\- b'^^x — a^ay = o.
Cette courbe est une hyperbole équilatère qui passe par le point donné P et par le centre de l'ellipse. Ses asymptotes sont parallèles aux axes de l'ellipse; on la nomme l'hyperbole d'Apollonius relative au point P et à l'ellipse donnée. Son centre a pour coordonnées
il est donc sur une droite facile à construire, définie par l'équation
et aussi sur la droite ayant pour équation
c'est-à-dire sur le diamètre conjugué à la direction (^, a).
On peut encore faire usage de la construction suivante. Abaissons du point P des perpendiculaires sur les diagonales du rectangle formé par les tangentes aux sommets de l'ellipse et soient H et K les points oîi la perpendiculaire à chaque diagonale rencontre l'autre diagonale ; le centre cherché est le milieu de HK(/f^. 120). En effet, les points H et K appartiennent à l'hyperbole d'Apollonius. Écrivons l'équation (i) sous cette forme
tX
on voit bien que le point d'intersection des droites définies par le? équations
et
appartient à la courbe; or la première droite est la perpendiculaire à la diagonale OD menée par P et la seconde est la diagonale OC. Même vérification pour le point K. Les droites PH et PK sont également inclinées sur les asymptotes de l'hyperbole d'Apollonius, donc elles ont des directions conjuguées et par suite H et K sont diamétralement opposés; ce qui prouve que le milieu de HK est le centre.
l86 CHAPITRE XI.
Remarquons enfin que l'équation (2) ne change pas quand on remplace l'ellipse donnée par une ellipse homothétique et concentrique.
Théorème de Joachimsthal.
152. Le cercle qui passe par les pieds de trois des normales à une ellipse issues d'un point P passe par Icj^ied de la quatrième norm.ale.
Soient M(^<, y^ un point pris sur une ellipse et P(a, [3) un point de la normale en M; on peut mener du point P, outre la normale PM, trois autres normales PM,, PM2, PM3. Désignons par x^ y les coordonnées du pied de l'une quelconque de ces trois normales.
Des équations
on tire
xi y'i.
De même, les équations
xv ri ' ' '
donnent
xxi yyi
En divisant membre à membre les équations (i) et (2), on obtient
xxi(x^xi) yrtif-hri) ^ ( <^«^w4 x^v, (3) ^^ + ^ =0. ^^^,)
Si l'on regarde x et y comme des coordonnées courantes, cette
équation représente une conique passant par M), M2, M3 et aussi
^ / par le point M' symétrique de M par rapport au centre de l'ellipse.
Les axes de celte seconde conique étant parallèles à ceux de l'ellipse
donnée, les quati'e points communs à ces deux coniques sont sur un cercle, ce qui démontre le théorème. Il nous reste à former l'équation de ce cercle.
Pour cela remarquons que l'on a
en désignant par h la valeur commune de ces deux expressions, nous avons
•^1 ri
ce qui permet d'écrire l'équation (3) sous la forme - ^ ^Jr }
ou bien
En ajoutant membre à membre cette équation et celle de l'ellipse, après avoir multiplié les deux membres de cette dernière par — h, on obtient l'équation du cercle de Joachimsthal
, /ariPi yy, \
Sous cette forme qui lui a été donnée par Laguerre, on reconnaît que le cercle passe encore par le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de l'ellipse sur la tangente au point M'. Cette propriété a été obtenue également, en suivant une autre voie, par M. G. de Longchamps.
Nombre des normales réelles issues d'un point P.
153. Il s'agit de discuter la nature des points communs à l'ellipse donnée et à l'hyperbole d'Apollonius relative au point P. En écrivant que l'équation
2C*a7/-+- aè'Pa; — la'^ty -^\ ( ^ -t- ^ — 1 ] =0
ibO CHAPITRE XI.
représente deux droites, on obtient l'équation en X
X3-+-a2i,2(a,îaî-+-62!3î— c*)X + 2a*6*c«ap = o.
La condition pour que cette équation ait ses trois racines réelles et inégales est
(rt^a'-t- 6îp2— c't)»-f-27a2 62c4a2pî<o,
ce qui exprime que le point P doit être à l'intérieur de la développée, c'està-dire dans la même région que le centre. Si cette condition est remplie, les quatre points communs aux deux coniques sont de même nature ; mais, comme l'hyperbole passe par le centre de l'ellipse, l'une de ses brancjies rencontre nécessairement l'ellipse en deux points réels, et, par suite, les quatre points sont réels. On arrive ainsi aux conclusions suivantes :
1° Si le point P est à l'intérieur de la développée, les quatre normales issues de P sont réelles.
2° Si le point P est sur la développée, deux des normales sont confondues et il n'y a que trois normales réelles distinctes.
3° Si le point P est extérieur à la développée, on ne peut mener par ce point que deux normales réelles.
Autre méthode. — Entre les coordonnées du point P(a, [B) et les coordonnées (:r, y) du pied d'une des normales issues de P, nous avons trouvé la relation
qui nous permet d'exprimer les coordonnées d'un point de l'hyperbole d'x4pollonius à l'aide d'un paramètre. Désignons en effet par t la valeur commune des rapports précédents, ce qui donne immédiatement
Pour que le point défini par ces équations appartienne à l'ellipse, il faut et il suffit que t soit racine de l'équation
Désignons pary(<) le premier membre de l'équation précédente et calculons sa dérivée
La dérivée /'(<) est nulle pour t infini et pour une valeur réelle ^, donnée par l'équation
(aa)ï (h'àY iaif-\-{h^^^
ce qui montre que tt est compris entre — a- et — b'-.
Cela posé, la fonction y(;) est continue dans chacun des trois intervalles de — 00 à — a^, de — a^ k — b^ et de — b^ k + oc.
Si l varie de — 00 à — a^, la dérivée y'(f) étant positive dans cet intervalle, /{t) croît de — i à + 00, et, par suite, l'équation f(^t) = o a une racine réelle plus petite que — a^. On voit de même qu'elle a une racine réelle plus grande que — 6-, d'où il résulte que deux au moins des normales issues de P sont réelles. Supposons maintenant que t varie de — a'^ k — ^- ; la dérivée est nulle pour t ^= tf et elle a le signe — quand t varie de — a^ k t, et le signe 4- de ti k -\-co. Donc f(tf) est un minimum. La fonction y(i) décroît d'abord de + co k /(ti), puis croît de f{ti) à -H 00; par suite, l'équation f(^t) = o a deux racines réelles, deux racines confondues en une seule ou aucune racine réelle dans l'intervalle de — a^ k — 6^ suivant que/(f4) est négatif, nul ou positif.
On trouve
Ji'O- -, I,
donc trois cas à distinguer :
(aa)^ + (6P)3-.
4 racines réelles,
(aa)=«+(6p)3-
3 racines réelles,
(aa)ï-i-(6(i)s-
2 racines réelles,
ce qui exprime qu'il y a 4, 3 ou 2 normales réelles et distinctes suivant que le point P est intérieur à la développée, sur la développée ou à l'extérieur, comme nous l'avons trouvé par la première méthode.
Relations entre le pôle tangentiel et le pôle normal d'une droite. Formules de Desboves.
154. Soient M(^,, y,) le pôle d'une droite, P(a, ^) le point de concours des normales menées à l'ellipse aux points A, B où cette
igO CHAPITRE XI.
droite rencontre la courbe; a:, etj^i étant donnés, a et ^ sont déterminés. On se propose de trouver les formules qui lient les coordonnées du point P à celles du point M. On appelle le point P le pôle normal de la droite AB et son pôle M est appelé pôle tangentiel par opposition. On peut mener du point P deux autres normales à l'ellipse donnée : soient G et D les pieds de ces normales et M'(a:2, jKa) le pôle tangentiel de CD. L'équation générale des coniques passant par les pieds des quatre normales étant
on doit pouvoir déterminer \ de façon que cette équation soit identique à celle de l'hyperbole d'Apollonius
c^xy -h ù'^'^iX — a-xy = o.
En écrivant que le terme constant et les termes en x'^ et^- doivent manquer, on obtient immédiatement ). = i , puis
(l) XiX^=—a^-, jKiJKî= — ^'2;
enfin, en écrivant que les coefficients des termes semblables sont proportionnels, on a
Les équations (i) montrent que la droite CD a pour équation
^1 yi
ce qui permet de construire immédiatement celte droite dès que l'on connaît le pôle de AB.
En remplaçant x^ P^^r etyo par dans les formules (i).
on obtient les formules suivantes :
/jv «ri — P^i — c^a^ir,
Autre méthode. — On peut obtenir ces formules par une méthode différente qu'il importe de connaître. Nous avons trouvé l'ex-
pression des coordonnées d'un point de l'hjperbole d'Apollonius et formé l'équalion
Les pieds des quatre normales étant distribués sur les deux droites ayant pour équations
les racines de l'équation y(<) = o sont les mêmes que celles de la suivante :
a Xi Pjki ,\ / «3^2 , ^.Vi — I I —
Les premiers membres des équations précédentes sont des fractions rationnelles ayant les mêmes dénominateurs; leurs numérateurs ne peuvent différer que par un facteur constant qui est évidemment égal à — 1, puisque les coefficients de t'' sont égaux et de signes contraires; donc
On ne peut décomposer une fraction rationnelle que d'une seule manière en éléments simples; donc, en identifiant les numéi'ateurs des fractions simples semblables, on a
xiX2 = — a\ Jiy-2 = — à^:
puis, en calculant le numérateur de la fraction ayant pour dénominateur a--\- t, on obtient
et de même
— a(xi-hXz)-~ ap —^ — ^^— - = o,
On retrouve ainsi les formules précédentes.
13^). Exercice. — Trouver le lieu des sommets des angles droits dont les côtés sont normaux à une ellipse donnée.
igiZ CHAPITRE XI.
Si deux des normales issues du point P sont rectangulaires, les tangentes qui leur correspondent sont aussi rectangulaires; on aura donc l'équation du lieu en éliminant x^ et y\ entre les équations (3) et l'équation
qui exprime que les tangentes issues du point (a^i, yi) sont rectangulaires. L'équation précédente pouvant s'écrire
la première des équations (3) donne
s/ÔM^^
en remplaçant Xi el yi par les valeurs tirées de ces équations dans la seconde des équations (3), on trouve, après simplifications et en remplaçant a et ^ par X et y,
On obtient ainsi une courbe fermée du sixième degré, ayant à l'origine un point quadruple où les tangentes sont les diagonales du rectangle fermé par les tangentes aux sommets de l'ellipse. En posant y = tx, on voit que toute sécante menée par l'origine rencontre la courbe en des points réels. Les axes de l'ellipse sont des axes de symétrie du lieu; la courbe rencontre ces axes en quatre points réels situés à la
Fig. 121.
même distance de l'origine, égale à
On a
v/a2 + 62 donc la forme ci-dessus {/is^. 12)) :
Remarque. — Soient MA et MB deux tangentes rectangulaires, AP et BP les normales correspondantes; la droite MP étant la diagonale d'un parallélogramme passe par le milieu G de AB {fïg. 1 22) ; elle coïncide donc avec le diamètre OM et, par suite.
^i yi
D'autre part
