OM + OP
OM
OR étant le demi-diamètre de l'ellipse dirigé suivant OM; de sorte que
OP
22L-ÔM.
OM
Or, si l'on nomme a, P les coordonnées de P, on a, d'une part,
ÔM = v^a2H-^>2,
et un calcul simple donne l'équation du lieu est donc
62a2-i-a2p2 on retrouve bien l'équation précédemment obtenue.
Diamètres. Formules de Chasles. Théorèmes d'Apollonius.
156. Soient OM el OM' deux demi-diamètres conjugués d'une ellipse. Rapportons cette ellipse à ses deux axes de s^ymétrie el soient x^y les coordonnées de M; on demande de calculer les coordonnées x' ^ y de M'. On a
Si l'on pose — =:= X^ 1 on aura aussi, en vertu de la relation précé-
dente, ~ = — A-? d'où l'on tire 0 a
c'est-à-dire X- =:= I , et, par suite, }> = ±i. On a ainsi les formules suivantes, dues à Chasles,
Kn particulier, si l'on suppose OM dans l'angle xOy, le coefficient angulaire de OM' est négatif, comme le montre la relation entre les coefficients angulaires de deux ^'S- '^"'" diamètres conjugués; on peut donc supposer que le demi-diamètre OM' {fig. 128) est situé dans l'angle x'Oy^ dans ces conditions, les coordonnées de M' sont déterminées par les formules
Remarque. — Les formules précédentes subsistent quand les axes de NiKWKNGLOWSKr. ~ G. an.. II. i3
194 CHAPITUE XI.
coordonnées sont deux diamètres conjugués; dans ce cas, ia et 2b sont les longueurs de ces deux diamètres.
157. Applications. — Si nous posons OM = a', OM'— b', les formules de Ghasles nous donnent les relations suivantes
ab
xy âb'
donc x'y -^ xy
2° par suite
De même
En ajoutant membre à membre ces deux équations, on obtient
On retrouve ainsi l'un des théorèmes d'Apollonius : la somme des carrés de deux diamètres conjugués d'une ellipse est constante et égale à la somme des carrés des deux axes.
En second lieu, le parallélogramme construit sur OM et OM' a pour mesure xy' — xy' , c'est-à-dire
ab;
ab
donc l'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante et égale à l'aire du rectangle construit sur les axes.
Il'est à remarquer que la réciproque du second théorème est exacte tandis que celle du premier ne l'est pas.
En effet, soient OM et OM' deux demi-diamètres; menons celle des tangentes parallèles à OM qui se trouve du même côté que M' par rapport à OM et soit M" son point de contact; si le parallélogramme construit sur OM et OM'est équivalent au rectangle construit sur les deux demi-axes, il est aussi équivalent au parallélogramme construit sur OM et OM"; mais ces deux parallélogrammes ayant même base OM doivent avoir aussi même hauteur, d'où il résulte que M' devant être sur la tangente en M" se confond avec M" {fig. 124), ce qui démontre la proposition.
En second lieu, si a'2-t- b'^— a^-{- 62, a' et b' sont bien les longueurs de deux demi-diamètres conjugués; mais il est évident que, si
ÔM^-t-ÔM"'^ = (22^ è2,
il peut se faire queOM'soit le conjugué de OM ou seulement le symétrique du conjugué de OM par rapport à l'un des axes, puisque deux diamètres symétriques par rapport aux axes d'une ellipse sont égaux.
Fig. 124.
ELLIPSE. XgS
158. Théorème. — La somme des carrés des projections de deux diamètres conjugués d'une ellipse sur une droite quelconque est constante.
Soient M{x,y) et W{x',y') les extrémités de deux demi-diamètres conjugués.
Considérons une droite que nous pouvons supposer menée par le centre et soit X l'angle que cette droite fait avec Oa7; la somme des carrés des projections de OM et de OM' sur cette droite est égale à
(a? cosX -i-;^ sinX)2-f- (ar'cosX -+- j''sinX)2,
c'est-à-dire, en tenant compte des relations obtenues plus haut,
a^ cos2 X -i- 6'2 sin- X.
La proposition s'étend au cas où l'on projette sur une droite non située dans le plan de l'ellipse, car si a est l'angle d'une droite avec le plan P, la projection d'un segment situé dans le plan P sur cette droite s'obtient en multipliant par cosa la projection de ce segment sur la droite suivant laquelle la droite donnée se projette sur le plan P.
159. Théorème. — Trouver le lieu des sommets des parallélogrammes construits sur deux diamètres conjugués d'une ellipse donnée.
Soient O.M et OM' deux demi-diamètres conjugues; les tangentes menées en M {x,y) et en W{x'.,y) ayant respectivement pour équations
X ^ , Y r Xx' Y y'
en faisant la somme des carrés et tenant compte des relations obtenues plus haut, on trouve
équation d'une ellipse homothétique et concentrique à la proposée.
Autre méthode. — L'équation de l'ellipse rapportée à deux diamètres conjugués OM, OM' pris pour axes de coordonnées étant
on en conclut l'identité
«2 "*" P ~ ^ '^ T/i (\m a lieu pour tout point du plan. Or les coordonnées du point de concours
des tangentes en M et M' sont X = a', Y = b'\ pour ce point -7^ -h 77, = 2;
donc on a aussi — -H t^ = 1^ x tt y désignant les coordonnées d'un point du lieu par rapport aux axes primitifs.
