Calcul de h' . — On a ou encore
On peut exprimer 6' en fonction àe. x : on trouve immédiatement
c'est-à-dire
6'2 = pp',
p et p' désignant les rayons vecteurs de M.
Si l'on nomme N la longueur de la normale en M comprise entre le point d'incidence M et le point où elle rencontre le grand axe, on trouve sans difficulté
et si N' désigne la longueur de la normale comprise entre M et son point de rencontre avec le petit axe,
ab'
d'où
NN' = è'2
et
Réciproquement, si — = C, la formule ^, = — — montre que
C et G' étant deux constantes.
161. Variation de V angle de deux diamètres conjugués. — La relation
Fig. 125.
mm = —
entre les coefficients angulaires de deux ^ diamètres conjugués montre d'abord que
ces coefficients ont des signes contraires;
supposons m positif et soit V l'angle que
le diamètre OM' {/ig. i25) fait avec le diamètre OM. Nous pouvons supposer que le demi-diamètre OM soit situé dans l'angle xOy et le demi-diamètre OM' dans l'angle œ'Oy^
de sorte que V = MOM'.
La formule
tangV =
devient, en remplaçant m' par 1 — ,
mm'
tangV —
€6 qui prouve que l'angle MOM' est obtus. Supposons que m varie de zéro à +00, de sorte que le point M parcoure l'arc AB; la somme
" ' ' '' ' ■ ^ 00 à son minimum qu'elle
m ira d'abord en décroissant de
atteindra pour 7^1= - et qui a pour valeur — ; puis elle ira en croissant et grandira indéfiniment en même temps que m ; il en résulte que l'angle V croît de 90° à un maximum correspondant à m =- — m'= -
et dont la valeur est définie par la formule tangV = — — - et
décroît ensuite de ce maximum à 90". Les diagonales du rectangle ayant pour côtés les tangentes aux sommets ont précisément pour
coefficients angulaires - et : le maximum de l'angle V est donc
égal à l'angle COD {^g. 126); l'angle supplémentaire TT — Va pour minimum COC; lorsque la direction de OM coïncide avec OC, celle de OM' coïncide avec OD. Les diagonales OC et OD sont donc les directions de deux diamètres conjugués dont les longueurs sont égales; en appliquant le premier des théorèmes d'Apollonius, on voit que la longueur a' des diamètres conjugués égaux est
déterminée parla formule a'^= ; on a ensuite a'2sinV = ab,
Enfin, il convient de remarquer que le grand axe de l'ellipse est à l'intérieur de chacun des angles aigus formés par deux diamètres conjugués quelconques, et, par suite, ^le petit axe à l'intérieur de chacun des angles obtus formés par ces mêmes diamètres.
Fig.
igS CHAPITRE XI.
162:. Problème. — Une ellipse étant tracée, construire deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné.
Pour cela, il suffira démener par le centre de l'ellipse, que nous savons déterminer, une droite quelconque; puis, sur le diamètre DE ainsi obtenu, de construire un segment capable de l'angle donné; le cercle correspondant coupera l'ellipse en deux points ; enjoignant ces deux points aux extrémités du diamètre considéré on aura deux systèmes des cordes supplémentaires parallèles aux diamètres cherchés. En particulier, si l'on décrit sur DE comme diamètre un cercle, on aura, en joignant les points de rencontre du cercle avec l'ellipse aux extrémités du diamètre DE, des parallèles aux axes de l'ellipse.
163. Remarque. — On peut, en suivant ce procédé, retrouver les limites entre lesquelles varie l'angle de deux diamètres conjugués. Pour cela, construisons sur le grand axe un segment capable de l'angle V; l'équation du lieu des points d'où l'on voit le grand axe sous l'angle V est
^2 -f-^2 — 2 ay cot V — a2 = o ; l'équation
représente deux sécantes communes au cercle et à l'ellipse; l'une est l'axe des X, l'autre a pour équation
(i— I^JJK — 2acotV = o.
Pour que cette sécante coupe l'ellipse en des points réels, il faut et il suffit que la valeur absolue de
lah^ -.
— .- cotV c'^
soit moindre que 6, c'est-à-dire que l'on ait
— lab ,, lah
' tangV <
164. Théorème. — Deux diamètres conjugués interceptent surune tangente /ixe deux segments ayant pour origine Le point de contact et dont le produit est constant et égal, au signe près, au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente. Et réciproquement.
En effet, si l'on rapporle l'ellipse au diamètre parallèle à la tan-
gente et à son conjugué, ce dernier étant pris pour axe des x, l'équation de l'ellipse est
Les équations de deux diamètres conjugués étant
y = mx, y — m' X,
les segments interceptés sur la tangente dont l'équation est x = a' ont pour mesures algébriques
don(
Yx = ma , y 2 = ma
Yi y 3 — mm.' a'^ = — a'^ — — b'^.
Réciproquement, si jki ^"2 ^ — ^'^7 on a nini' a''^ =^ — b'-, d'où mm = -; ce qui prouve que les diamètres considères sont conjugués.
Remarque. — Les diamètres conjugués d'une conique étant en involution tracent sur une droite fixe une involution; si cette droite fixe est la tangente en un point M, ce point est évidemment le point central, ce qui prouve que le produit y^y-i. est constant. En prenant sur la tangente, de part et d'autre, deux segments de longueurs égales à b' et joignant les extrémités de ces segments au centre, on a deux diamètres conjugués; àoxvc y^y^ = — b"^.
165. Construire une ellipse dont on connaît deux diamètres conjugués en grandeur et position.
— Soient {Jig. 127) OA = a', 0B = 6' les deux diamètres donnés et supposons que les axes de symétrie de l'ellipse soient dirigés suivant OC et OD ; ces droites déterminent sur la tangente en B, c'est-à-dire sur la parallèle à OA menée par B, deux segments
BC, BD tels que BC. BD :^ — ÔÂ\ Donc si l'on prend sur la perpendiculaire menée par B à OA des longueurs BG = BH
Flg. 127.
a , on aura
